Problème du prix du Millénaire

Navier-Stokes expliqué : équations, prix Clay et statut

Explorez les équations, leurs solutions exactes, le problème du Millénaire de Clay et un siècle de recherche sur la régularité des écoulements 3D.

Point d’étape sources vérifiées le

Une preuve annoncée d’explosion forcée en temps fini

Le 8 septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve que des solutions de Navier–Stokes incompressible 3D peuvent exploser en temps fini sous un forçage extérieur lisse : les alternatives C et D de Clay. Le 11 septembre, Clay a déclaré que le problème avait «apparemment été résolu» ; l’évaluation se fait délibérément sans hâte et aucun prix n’a été attribué. Le résultat ne tranche pas la question de savoir si les écoulements sans forçage restent toujours lisses.

Commencer ici

01

Comprendre les équations

Découvrez ce que décrivent les équations et le rôle de chaque terme.

 02

Solutions détaillées et exemples

Découvrez des écoulements particuliers que l’on peut calculer exactement — et pourquoi ils ne résolvent pas le problème de Clay.

 03

Comprendre le problème de Clay

Ce que demande l’énoncé officiel de Clay, pourquoi le cas 3D est difficile et où en est la question.

 04

Voir les progrès de la recherche

Découvrez ce que les mathématiciens ont démontré, les approches qu’ils ont essayées et ce qui reste inconnu.

Première visite ? Commencez par les équations.

Une simulation fluide en direct. Faites glisser pour remuer.

Eau Miel

L'équation derrière la simulation

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
Que signifient ces termes ?
Viscositéν∆u
L'épaisseur du fluide — le miel résiste aux tourbillons, l'eau s'écoule librement. Le curseur ci-dessus la contrôle Diffusion visqueuse — lisse et étale l'écoulement. Contrôlée par le curseur ν ci-dessus
Quantité de mouvement(u·∇)u Le mouvement transporte le mouvement — un courant rapide entraîne le fluide voisin et crée des tourbillons Advection non linéaire — la vitesse se transporte elle-même, produisant étirement tourbillonnaire et cascade
Pression−∇p Quand le fluide se tasse, la pression le repousse — le solveur gère cela automatiquement Gradient de pression — calculé par l'étape de projection pour imposer la contrainte de divergence nulle
Variation∂ₜu Le résultat — la variation de la vitesse du fluide en chaque point, calculée à partir de tous les autres termes Taux net de variation — le membre de gauche, déterminé par l'équilibre entre advection, pression et viscosité
Conservation∇·u = 0 Le fluide ne peut ni se comprimer ni se dilater — il se réorganise seulement, ce qui fait que l'eau se comporte comme de l'eau Contrainte de divergence nulle — satisfaite à chaque étape par la projection de Helmholtz-Hodge

Ce que le problème 3D demande réellement

Les équations de Navier-Stokes sont un système d’équations aux dérivées partielles qui décrivent le mouvement des fluides visqueux comme l’eau et l’air. Elles mettent en balance l’inertie d’un fluide avec la pression, la viscosité et les forces extérieures, et servent partout, de la conception aéronautique et des écoulements en conduite à la prévision météorologique et à la circulation sanguine.

La célèbre question ouverte porte sur ce que ces équations prédisent en trois dimensions. Partons d’un écoulement lisse d’énergie finie : la solution reste-t-elle lisse pour toujours, ou la vitesse peut-elle devenir infinie au bout d’un temps fini ? L’énoncé officiel de Clay accepte l’une quelconque de quatre réponses : une preuve que tout état initial lisse reste lisse en l’absence de force extérieure, sur tout l’espace (A) ou dans une boîte périodique (B), ou un exemple de rupture dans l’un ou l’autre cadre, où une force extérieure lisse à décroissance rapide peut aussi être choisie (C et D). En deux dimensions, on sait que les solutions lisses durent pour toujours ; sans forçage, la question en 3D reste ouverte.

Les conditions exactes sont expliquées dans l’énoncé officiel du problème de Clay expliqué, et le siècle de résultats qui les sous-tend dans Progrès sur le problème de Navier-Stokes.

Clay a choisi Navier–Stokes parmi ses sept problèmes du Millénaire en 2000 pour sa difficulté mathématique fondamentale et le rôle central des équations en dynamique des fluides. L’annonce de septembre 2026 change le statut, pas ces raisons de son importance.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

Ce site est centré sur le problème de régularité globale de Navier-Stokes incompressible 3D sur R3\mathbb{R}^3 ou T3\mathbb{T}^3 : pour des données initiales lisses à divergence nulle satisfaisant les conditions officielles de décroissance (ou de périodicité) et f≡0f\equiv0, existe-t-il une solution lisse pour tout t≥0t\ge0, d’énergie bornée sur R3\mathbb{R}^3 ? La formulation de Clay accepte une preuve d’existence globale (A sur R3\mathbb{R}^3, B sur T3\mathbb{T}^3, toutes deux avec f≡0f\equiv0) ou un exemple de rupture dans lequel une force lisse satisfaisant les conditions officielles de décroissance peut aussi être choisie (C, D). L’analogue 2D est réglé depuis longtemps ; pour f≡0f\equiv0, la question en 3D reste ouverte.

Conditions formelles : l’énoncé officiel de Clay expliqué. Résultats et méthodes : Progrès.

Clay a choisi Navier–Stokes parmi ses sept problèmes du Millénaire en 2000 pour sa difficulté mathématique fondamentale et le rôle central des équations en dynamique des fluides. L’annonce de septembre 2026 change le statut, pas ces raisons de son importance.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

Questions fréquentes

Que sont les équations de Navier-Stokes ?

Les équations de Navier-Stokes sont un système d’équations aux dérivées partielles qui décrivent le mouvement des fluides visqueux comme l’eau et l’air. Elles mettent en balance l’inertie d’un fluide avec la pression, la viscosité et les forces extérieures, et servent partout, de la conception aéronautique et des écoulements en conduite à la prévision météorologique et à la circulation sanguine.

Les équations de Navier-Stokes ont-elles été résolues ?

Le 8 septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve que des solutions de Navier–Stokes incompressible 3D peuvent exploser en temps fini sous un forçage extérieur lisse : les alternatives C et D de Clay. Le 11 septembre, Clay a déclaré que le problème avait «apparemment été résolu» ; l’évaluation se fait délibérément sans hâte et aucun prix n’a été attribué. Le résultat ne tranche pas la question de savoir si les écoulements sans forçage restent toujours lisses.

Pourquoi le problème de Navier-Stokes est-il un problème du prix du Millénaire ?

Clay a choisi Navier–Stokes parmi ses sept problèmes du Millénaire en 2000 pour sa difficulté mathématique fondamentale et le rôle central des équations en dynamique des fluides. L’annonce de septembre 2026 change le statut, pas ces raisons de son importance.

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