Problème du prix du Millénaire

Navier-Stokes expliqué : équations, prix Clay et statut

Découvrez comment Navier-Stokes décrit le mouvement des fluides, dans quels cas il existe des solutions exactes et pourquoi le problème du Millénaire en 3D reste ouvert.

Commencer ici

01

Comprendre les équations

Découvrez ce que décrivent les équations et le rôle de chaque terme.

 02

Solutions détaillées et exemples

Découvrez des écoulements particuliers que l’on peut calculer exactement — et pourquoi ils ne résolvent pas le problème ouvert.

 03

Comprendre le problème ouvert

Découvrez pourquoi le problème en 3D reste ouvert et ce qu’une démonstration doit établir.

 04

Voir les progrès de la recherche

Découvrez ce que les mathématiciens ont démontré, les approches qu’ils ont essayées et ce qui reste inconnu.

Première visite ? Commencez par les équations.

Une simulation fluide en direct. Faites glisser pour remuer.

Eau Miel

L'équation derrière la simulation

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
Que signifient ces termes ?
Viscositéν∆u
L'épaisseur du fluide — le miel résiste aux tourbillons, l'eau s'écoule librement. Le curseur ci-dessus la contrôle Diffusion visqueuse — lisse et étale l'écoulement. Contrôlée par le curseur ν ci-dessus
Quantité de mouvement(u·∇)u Le mouvement transporte le mouvement — un courant rapide entraîne le fluide voisin et crée des tourbillons Advection non linéaire — la vitesse se transporte elle-même, produisant étirement tourbillonnaire et cascade
Pression−∇p Quand le fluide se tasse, la pression le repousse — le solveur gère cela automatiquement Gradient de pression — calculé par l'étape de projection pour imposer la contrainte de divergence nulle
Variation∂ₜu Le résultat — la variation de la vitesse du fluide en chaque point, calculée à partir de tous les autres termes Taux net de variation — le membre de gauche, déterminé par l'équilibre entre advection, pression et viscosité
Conservation∇·u = 0 Le fluide ne peut ni se comprimer ni se dilater — il se réorganise seulement, ce qui fait que l'eau se comporte comme de l'eau Contrainte de divergence nulle — satisfaite à chaque étape par la projection de Helmholtz-Hodge

Ce que le problème 3D demande réellement

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des fluides. Elles servent à étudier l’air, l’eau, la circulation sanguine, la météo et la turbulence.

Ce site ne traite pas principalement de l’utilité des équations. Il porte sur la question ouverte précise derrière le prix du Millénaire de Clay : si un écoulement 3D commence de façon parfaitement lisse, reste-t-il lisse pour toujours ? Ou peut-il exploser ?

Personne ne le sait. C’est ce qui rend ce problème exceptionnel.

Ci-dessous, le sujet est séparé en chemins distincts : les équations elles-mêmes, le statut actuel résolu ou ouvert, l’énoncé formel de Clay, les obstacles mathématiques, les réductions standard et les stratégies de preuve déjà tentées.

Ce site est centré sur le problème de régularité globale des équations de Navier-Stokes incompressibles en 3D sur R3\mathbb{R}^3 ou T3\mathbb{T}^3.

L'équation est

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

Dans le cadre de Clay, on étudie des données initiales lisses à divergence nulle, soit à décroissance rapide sur R3\mathbb{R}^3, soit périodiques lisses sur T3\mathbb{T}^3. La question est de savoir si de telles données engendrent toujours une solution globale lisse unique, ou si la régularité peut être perdue en temps fini. La théorie de Leray fournit des solutions faibles globales, mais la régularité globale et l'unicité en trois dimensions restent ouvertes.

Les sections ci-dessous séparent l'EDP elle-même, l'énoncé formel de Clay, les obstacles de changement d'échelle, les sous-problèmes classiques et les approches qui ont façonné le domaine.

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