Navier-Stokes explicado: ecuaciones, Premio Clay y estado

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen cómo se mueven los fluidos. Gobiernan el aire, el agua, la sangre, el clima y la turbulencia.

Pero este sitio no trata sobre si las ecuaciones funcionan. Funcionan, y tienen un éxito extraordinario en aplicaciones. La verdadera pregunta es la que está detrás del Premio del Milenio de Clay: si se empieza con un flujo 3D perfectamente suave, ¿permanece suave para siempre? ¿O puede explotar?

Nadie lo sabe. Eso es lo que hace extraordinario a este problema.

Abajo separamos el tema en rutas claras: las ecuaciones, el estado actual de si está resuelto o abierto, el enunciado formal de Clay, los obstáculos matemáticos, las reducciones estándar y las estrategias de prueba que se han intentado.

Este sitio se centra en el problema de regularidad global incompresible de Navier-Stokes en 3D en $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{T}^3$.

La ecuación es

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

En la configuración Clay, consideramos datos iniciales suaves y libres de divergencia, ya sea que decaen rápidamente en $\mathbb{R}^3$ o son periódicos suaves en $\mathbb{T}^3$. La pregunta: ¿estos datos siempre producen una solución global única y suave, o la suavidad puede fallar en un tiempo finito? La teoría de Leray de 1934 ofrece soluciones globales débiles. ¿Suavidad global y unicidad en tres dimensiones? Aún abierto.

Las secciones a continuación separan la EDP en sí, la declaración formal de Clay, los obstáculos de escala, los subproblemas estándar y los enfoques que han dado forma al campo.