Navier-Stokes指南：方程、Clay奖与当前状态

Navier-Stokes方程描述流体如何运动。它们用于研究空气、水、血液、天气和湍流。

本网站的重点不是这些方程是否有用。它们当然有用，并且在应用中非常成功。真正的问题是Clay千禧年奖背后的问题：如果从一个完全光滑的三维流开始，它会永远保持光滑吗？还是可能爆破？

没有人知道。这正是这个问题的特殊之处。

下面把主题分成清楚的路径：方程本身、是否已解决的当前状态、Clay正式问题陈述、数学障碍、标准化简，以及人们尝试过的证明策略。

本网站聚焦于三维不可压缩Navier-Stokes方程在$\mathbb{R}^3$或$\mathbb{T}^3$上的整体正则性问题。

方程为

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

在Clay问题的设定中,我们考虑光滑无散初始数据,其在$\mathbb{R}^3$上快速衰减或在$\mathbb{T}^3$上光滑周期。问题是:这样的数据是否总能产生唯一的整体光滑解,还是光滑性会在有限时间内破裂?Leray在1934年的理论给出了整体弱解。三维空间中的整体光滑性和唯一性?仍然开放。

下面的各节分别介绍偏微分方程本身、Clay问题的正式陈述、标度障碍、标准子问题,以及塑造该领域的各种方法。