千禧年大奖难题

Navier-Stokes指南：方程、Clay奖与当前状态

了解方程、精确解、2026年9月的声明，以及无外力正则性仍待解决的问题。

从这里开始

01

学习方程

了解方程描述什么，以及每一项的作用。

 02

查看具体解与示例

查看可以精确计算的特殊流动，以及它们为何不能解决这个Clay问题。

 03

了解Clay问题

2026年9月：OpenAI宣布光滑外力下的三维爆破（Clay C/D）；Clay表示问题看来已解决。评估和颁奖是不同阶段。

 04

查看研究进展

了解数学家已经证明了什么、尝试过哪些方法，以及哪些问题仍无答案。

初次访问？建议从方程开始。

实时流体模拟。拖动以搅动。

水 蜂蜜

模拟背后的方程

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
这些项是什么意思?
粘性ν∆u
流体的粘稠程度——蜂蜜抵抗旋转,水则自由流动。上方滑块控制此参数 粘性扩散——平滑并扩散流动。由上方的ν滑块控制
动量(u·∇)u 运动传递运动——快速流动拖动附近的流体,产生漩涡 非线性平流——速度自我输运,产生涡旋拉伸和级联
压力−∇p 当流体聚集时,压力将其推开——求解器自动处理此项 压力梯度——通过投影步骤计算,以强制执行无散约束
变化∂ₜu 结果——流体速度在各点的变化,由所有其他项计算得出 净变化率——左端项,由平流、压力和粘性的平衡决定
守恒∇·u = 0 流体不能压缩或膨胀——只能重新排列,这正是水表现为水的原因 无散约束——通过Helmholtz-Hodge投影在每步中得到满足

三维问题究竟在问什么

无外力三维Navier–Stokes的全局正则性仍未解决：所宣布的有外力构造并不解决这一问题。以下技术讨论中的正则性和唯一性未解问题，除非明确另述背景，均指无外力系统。

Navier-Stokes方程描述流体如何运动。它们用于研究空气、水、血液、天气和湍流。

资料状态核查日期：2026-09-12（JST）。9月8日，OpenAI宣布三维不可压Navier–Stokes在光滑外力下发生有限时间爆破，声称满足Clay的选项C和D，并公开了论文稿和Lean形式化。9月11日，Clay表示问题“看来已得到解决”，并说明评估和功劳归属将有意从容进行。这不是颁奖公告，也不是本站对证明的验证。

一手资料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay官方问题陈述.

Clay在2000年把Navier–Stokes选为七个千禧年问题之一，因为它兼具根本性的数学困难和流体动力学中方程的核心地位。2026年9月的声明改变了问题状态，而非这些重要性理由。

无外力三维Navier–Stokes的全局正则性仍未解决：所宣布的有外力构造并不解决这一问题。以下技术讨论中的正则性和唯一性未解问题，除非明确另述背景，均指无外力系统。

资料状态核查日期：2026-09-12（JST）。9月8日，OpenAI宣布三维不可压Navier–Stokes在光滑外力下发生有限时间爆破，声称满足Clay的选项C和D，并公开了论文稿和Lean形式化。9月11日，Clay表示问题“看来已得到解决”，并说明评估和功劳归属将有意从容进行。这不是颁奖公告，也不是本站对证明的验证。

一手资料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay官方问题陈述.

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

本网站聚焦于三维不可压缩Navier-Stokes方程在R3\mathbb{R}^3或T3\mathbb{T}^3上的整体正则性问题。

Clay在2000年把Navier–Stokes选为七个千禧年问题之一，因为它兼具根本性的数学困难和流体动力学中方程的核心地位。2026年9月的声明改变了问题状态，而非这些重要性理由。

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