千禧年大奖难题

Navier-Stokes指南：方程、Clay奖与当前状态

了解纳维–斯托克斯方程如何描述流体运动、哪些情形存在精确解，以及三维千禧年问题为何仍未解决。

从这里开始

01

学习方程

了解方程描述什么，以及每一项的作用。

 02

查看具体解与示例

查看可以精确计算的特殊流动，以及它们为何不能解决这个未解问题。

 03

了解未解问题

了解三维问题为何仍未解决，以及证明必须确立哪些结论。

 04

查看研究进展

了解数学家已经证明了什么、尝试过哪些方法，以及哪些问题仍无答案。

初次访问？建议从方程开始。

实时流体模拟。拖动以搅动。

水 蜂蜜

模拟背后的方程

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
这些项是什么意思?
粘性ν∆u
流体的粘稠程度——蜂蜜抵抗旋转,水则自由流动。上方滑块控制此参数 粘性扩散——平滑并扩散流动。由上方的ν滑块控制
动量(u·∇)u 运动传递运动——快速流动拖动附近的流体,产生漩涡 非线性平流——速度自我输运,产生涡旋拉伸和级联
压力−∇p 当流体聚集时,压力将其推开——求解器自动处理此项 压力梯度——通过投影步骤计算,以强制执行无散约束
变化∂ₜu 结果——流体速度在各点的变化,由所有其他项计算得出 净变化率——左端项,由平流、压力和粘性的平衡决定
守恒∇·u = 0 流体不能压缩或膨胀——只能重新排列,这正是水表现为水的原因 无散约束——通过Helmholtz-Hodge投影在每步中得到满足

三维问题究竟在问什么

Navier-Stokes方程描述流体如何运动。它们用于研究空气、水、血液、天气和湍流。

本网站的重点不是这些方程是否有用。它们当然有用，并且在应用中非常成功。真正的问题是Clay千禧年奖背后的问题：如果从一个完全光滑的三维流开始，它会永远保持光滑吗？还是可能爆破？

没有人知道。这正是这个问题的特殊之处。

下面把主题分成清楚的路径：方程本身、是否已解决的当前状态、Clay正式问题陈述、数学障碍、标准化简，以及人们尝试过的证明策略。

本网站聚焦于三维不可压缩Navier-Stokes方程在R3\mathbb{R}^3或T3\mathbb{T}^3上的整体正则性问题。

方程为

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

在Clay问题的设定中,我们考虑光滑无散初始数据,其在R3\mathbb{R}^3上快速衰减或在T3\mathbb{T}^3上光滑周期。问题是:这样的数据是否总能产生唯一的整体光滑解,还是光滑性会在有限时间内破裂?Leray在1934年的理论给出了整体弱解。三维空间中的整体光滑性和唯一性?仍然开放。

下面的各节分别介绍偏微分方程本身、Clay问题的正式陈述、标度障碍、标准子问题,以及塑造该领域的各种方法。

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