千禧年大奖难题

Navier-Stokes指南：方程、Clay奖与当前状态

了解方程、精确解、Clay千禧年问题，以及关于三维流动能否保持光滑的百年研究。

状态更新 资料核查日期：

外力作用下有限时间爆破的证明已宣布

2026年9月8日，OpenAI宣布证明：在光滑外力作用下，三维不可压Navier–Stokes方程的解可以在有限时间内爆破，即Clay的选项C和D。9月11日，Clay表示问题“看来已得到解决”；评估将有意从容进行，目前没有颁发任何奖项。该结果并未回答无外力的流动是否总保持光滑。

从这里开始

01

学习方程

了解方程描述什么，以及每一项的作用。

 02

查看具体解与示例

查看可以精确计算的特殊流动，以及它们为何不能解决这个Clay问题。

 03

了解Clay问题

Clay官方问题究竟问什么、三维为何困难，以及问题的现状。

 04

查看研究进展

了解数学家已经证明了什么、尝试过哪些方法，以及哪些问题仍无答案。

初次访问？建议从方程开始。

实时流体模拟。拖动以搅动。

水 蜂蜜

模拟背后的方程

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
这些项是什么意思?
粘性ν∆u
流体的粘稠程度——蜂蜜抵抗旋转,水则自由流动。上方滑块控制此参数 粘性扩散——平滑并扩散流动。由上方的ν滑块控制
动量(u·∇)u 运动传递运动——快速流动拖动附近的流体,产生漩涡 非线性平流——速度自我输运,产生涡旋拉伸和级联
压力−∇p 当流体聚集时,压力将其推开——求解器自动处理此项 压力梯度——通过投影步骤计算,以强制执行无散约束
变化∂ₜu 结果——流体速度在各点的变化,由所有其他项计算得出 净变化率——左端项,由平流、压力和粘性的平衡决定
守恒∇·u = 0 流体不能压缩或膨胀——只能重新排列,这正是水表现为水的原因 无散约束——通过Helmholtz-Hodge投影在每步中得到满足

三维问题究竟在问什么

纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程是一组偏微分方程，描述水和空气等黏性流体的运动。它们在流体的惯性与压力、黏性和外力之间建立平衡，应用范围从飞机设计、管道流动，到天气预报和血液流动，无所不包。

著名的开放问题在于这些方程在三维中预言了什么。从一个能量有限的光滑流动出发：解会永远保持光滑，还是速度可能在有限时间后变为无穷大？Clay的官方问题陈述接受四种答案中的任意一种：证明在没有外力时每个光滑的初始状态都保持光滑，针对整个空间（A）或周期盒子（B）；或者在任一设定下给出破裂的例子，其中也可以选择一个光滑、快速衰减的外力（C和D）。在二维中，已知光滑解会永远存在；在无外力时，三维问题仍未解决。

精确条件在Clay官方问题陈述详解中说明，其背后一个世纪的研究成果则见Navier-Stokes问题的研究进展。

Clay在2000年把Navier–Stokes选为七个千禧年问题之一，因为它兼具根本性的数学困难和流体动力学中方程的核心地位。2026年9月的声明改变了问题状态，而非这些重要性理由。

一手资料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay官方问题陈述.

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

本站以R3\mathbb{R}^3或T3\mathbb{T}^3上的三维不可压Navier-Stokes全局正则性问题为中心：对于满足官方衰减（或周期性）条件的光滑无散度初始数据，且f≡0f\equiv0，是否存在对所有t≥0t\ge0光滑、并在R3\mathbb{R}^3上能量有界的解？Clay的表述接受全局存在性的证明（R3\mathbb{R}^3上的A、T3\mathbb{T}^3上的B，均为f≡0f\equiv0），或者一个破裂例子，其中也可以选择满足官方衰减条件的光滑外力（C、D）。二维的类似问题早已解决；对于f≡0f\equiv0，三维问题仍未解决。

形式条件：Clay官方问题陈述详解。结果与方法：进展。

Clay在2000年把Navier–Stokes选为七个千禧年问题之一，因为它兼具根本性的数学困难和流体动力学中方程的核心地位。2026年9月的声明改变了问题状态，而非这些重要性理由。

一手资料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay官方问题陈述.

常见问题

什么是纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程？

纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程是一组偏微分方程，描述水和空气等黏性流体的运动。它们在流体的惯性与压力、黏性和外力之间建立平衡，应用范围从飞机设计、管道流动，到天气预报和血液流动，无所不包。

Navier-Stokes方程已经被解决了吗？

2026年9月8日，OpenAI宣布证明：在光滑外力作用下，三维不可压Navier–Stokes方程的解可以在有限时间内爆破，即Clay的选项C和D。9月11日，Clay表示问题“看来已得到解决”；评估将有意从容进行，目前没有颁发任何奖项。该结果并未回答无外力的流动是否总保持光滑。

为什么Navier-Stokes问题是千禧年大奖难题？

Clay在2000年把Navier–Stokes选为七个千禧年问题之一，因为它兼具根本性的数学困难和流体动力学中方程的核心地位。2026年9月的声明改变了问题状态，而非这些重要性理由。

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