ナビエ–ストークス方程式とは何ですか？

ナビエ–ストークス方程式は、粘性流体の運動を記述する偏微分方程式の系です。航空機設計から気象予測まで、流体の流れを予測するために速度、圧力、粘性をモデル化します。クロード＝ルイ・ナビエ（1823年）とジョージ・ガブリエル・ストークス（1845年）によって開発されました。

ナビエ–ストークス方程式は解かれていますか？

3次元非圧縮ナビエ–ストークスの存在と滑らかさの問題は、2026年3月時点で未解決のままです。ルレイは1934年に大域弱解を証明し、2次元では大域的な滑らかな適切性が知られていますが、滑らかな3次元非圧縮データが有限時間特異点を生じうるかどうかは依然として不明です。これはクレイ・ミレニアム懸賞問題の7問のうちの一つです。

なぜナビエ–ストークス問題はミレニアム懸賞問題なのですか？

クレイ数学研究所は、深い数学的意義と実用的重要性を兼ね備えているため、2000年にナビエ–ストークスの存在と滑らかさの問題をミレニアム懸賞問題に選びました。この方程式は科学と工学の流体力学を支えていますが、数学者はクレイの設定において、すべての滑らかな3次元非圧縮初期状態が大域的な滑らかな解を生むことをまだ証明できていません。正しい解答には100万ドルの賞金が与えられます。

オイラー方程式とナビエ–ストークス方程式の違いは何ですか？

オイラー方程式は非粘性（摩擦なし）の流体の流れを記述し、ナビエ–ストークス方程式は粘性拡散項を追加します。違いは一つの項 — 粘性ラプラシアン — であり、これが平滑化とエネルギー散逸を提供します。この区別は正則性の問題の核心です：粘性は特異点の防止に役立つはずですが、3次元ではそれが十分であることは証明されていません。

非圧縮と圧縮のナビエ–ストークスの違いは何ですか？

非圧縮ナビエ–ストークス方程式は一定密度を仮定し、発散なし速度場を強制します。圧縮系は密度を独自の発展方程式を持つ変数として追加し、エネルギー方程式と状態方程式を含みます。クレイ・ミレニアム問題は特に非圧縮3次元系に関するものです。

ミレニアム懸賞問題

ナビエ–ストークス問題の解説：方程式・Clay賞・2026年の状況

ナビエ–ストークス方程式が流体の運動をどう記述するか、どこで厳密解が得られるか、そして3次元のミレニアム問題がなぜ未解決なのかを学べます。

ここから始める

方程式を学ぶ

方程式が何を記述し、各項がどう働くかを学びます。

具体的な解と例を見る

厳密に計算できる特殊な流れと、それでも未解決問題の解答にはならない理由を見ていきます。

未解決問題を理解する

3次元問題が今も未解決である理由と、証明すべき内容を解説します。

研究の進展を見る

数学者が証明したこと、試みてきたアプローチ、なお不明な点をたどります。

初めての方は、まず方程式から。

ライブ流体シミュレーション。ドラッグしてかき混ぜてください。

水蜂蜜

シミュレーションの背後にある方程式

\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}

これらの項は何を意味するのか？

粘性ν∆u

流体の粘り気 — 蜂蜜は渦を抑え、水は自由に流れる。上のスライダーで制御粘性拡散 — 流れを滑らかにし広げる。上のνスライダーで制御

運動量(u·∇)u 運動が運動を運ぶ — 速い流れが近くの流体を引きずり、渦を生む非線形移流 — 速度が自身を輸送し、渦伸張とカスケードを生む

圧力−∇p 流体が密集すると、圧力がそれを押し広げる — ソルバーが自動的に処理圧力勾配 — 発散なし拘束条件を強制する射影ステップで計算

変化∂ₜu 結果 — 各点での流体の速度変化を他の全項から計算正味の変化率 — 移流、圧力、粘性のバランスで決まる左辺

保存∇·u = 0 流体は圧縮も膨張もできない — ただ再配置するだけ。水が水のように振る舞う理由発散なし拘束条件 — ヘルムホルツ–ホッジ射影により各ステップで満たされる

3次元問題が問うていること

Navier-Stokes方程式は、流体の運動を記述します。空気、水、血流、気象、乱流の研究に使われています。

このサイトの主題は、方程式が役に立つかどうかではありません。Clayミレニアム賞の背後にある未解決問題です。すなわち、完全に滑らかな3次元流れから始めると、それは永遠に滑らかなままでいるのか、それとも爆発しうるのか？

誰にもわかりません。そこがこの問題の特別な点です。

以下では、方程式そのもの、解決済みか未解決かの現在の状況、Clayの正式な問題文、数学的障害、標準的な帰着、試みられてきた証明戦略を分けて案内します。

本サイトは、 $\mathbb{R}^3$ または $\mathbb{T}^3$ 上の3次元非圧縮ナビエ–ストークス方程式の大域正則性問題を中心に据えています。

方程式は

$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$

クレイの設定では、 $\mathbb{R}^3$ 上で急減少する滑らかな発散なし初期データ、または $\mathbb{T}^3$ 上の滑らかな周期データを扱います。問題は、そのようなデータが常に一意の大域滑らかな解を生成するのか、それとも滑らかさが有限時間で破綻しうるのかです。ルレイの理論は大域弱解を与えますが、3次元における大域的な滑らかさと一意性は未解決のままです。

以下のセクションでは、PDE自体、クレイの正式な問題文、スケーリングの障害、標準的な部分問題、そしてこの分野を形作ってきたアプローチを整理しています。

研究/arXiv フィード (更新 2026年7月14日)

Navier-Stokes に関連する新規・改訂・クロスリストの arXiv 論文を毎日更新する横スクロールの一覧です。

2026年7月13日新規 physics.flu-dyn

Coherence as Thermodynamic Organization: Toward a Non-Equilibrium Turbulence Theory

Sharath S. Girimaji

Since the foundational studies in the late nineteenth century, fluid turbulence has stood as a profound, unsolved challenge in classical physics.