ミレニアム懸賞問題

ナビエ–ストークス問題の解説：方程式・Clay賞・2026年の状況

ナビエ–ストークス方程式が流体の運動をどう記述するか、どこで厳密解が得られるか、そして3次元のミレニアム問題がなぜ未解決なのかを学べます。

ここから始める

01

方程式を学ぶ

方程式が何を記述し、各項がどう働くかを学びます。

 02

具体的な解と例を見る

厳密に計算できる特殊な流れと、それでも未解決問題の解答にはならない理由を見ていきます。

 03

未解決問題を理解する

3次元問題が今も未解決である理由と、証明すべき内容を解説します。

 04

研究の進展を見る

数学者が証明したこと、試みてきたアプローチ、なお不明な点をたどります。

初めての方は、まず方程式から。

ライブ流体シミュレーション。ドラッグしてかき混ぜてください。

水 蜂蜜

シミュレーションの背後にある方程式

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
これらの項は何を意味するのか？
粘性ν∆u
流体の粘り気 — 蜂蜜は渦を抑え、水は自由に流れる。上のスライダーで制御 粘性拡散 — 流れを滑らかにし広げる。上のνスライダーで制御
運動量(u·∇)u 運動が運動を運ぶ — 速い流れが近くの流体を引きずり、渦を生む 非線形移流 — 速度が自身を輸送し、渦伸張とカスケードを生む
圧力−∇p 流体が密集すると、圧力がそれを押し広げる — ソルバーが自動的に処理 圧力勾配 — 発散なし拘束条件を強制する射影ステップで計算
変化∂ₜu 結果 — 各点での流体の速度変化を他の全項から計算 正味の変化率 — 移流、圧力、粘性のバランスで決まる左辺
保存∇·u = 0 流体は圧縮も膨張もできない — ただ再配置するだけ。水が水のように振る舞う理由 発散なし拘束条件 — ヘルムホルツ–ホッジ射影により各ステップで満たされる

3次元問題が問うていること

Navier-Stokes方程式は、流体の運動を記述します。空気、水、血流、気象、乱流の研究に使われています。

このサイトの主題は、方程式が役に立つかどうかではありません。Clayミレニアム賞の背後にある未解決問題です。すなわち、完全に滑らかな3次元流れから始めると、それは永遠に滑らかなままでいるのか、それとも爆発しうるのか？

誰にもわかりません。そこがこの問題の特別な点です。

以下では、方程式そのもの、解決済みか未解決かの現在の状況、Clayの正式な問題文、数学的障害、標準的な帰着、試みられてきた証明戦略を分けて案内します。

本サイトは、R3\mathbb{R}^3 または T3\mathbb{T}^3 上の3次元非圧縮ナビエ–ストークス方程式の大域正則性問題を中心に据えています。

方程式は

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

クレイの設定では、R3\mathbb{R}^3 上で急減少する滑らかな発散なし初期データ、または T3\mathbb{T}^3 上の滑らかな周期データを扱います。問題は、そのようなデータが常に一意の大域滑らかな解を生成するのか、それとも滑らかさが有限時間で破綻しうるのかです。ルレイの理論は大域弱解を与えますが、3次元における大域的な滑らかさと一意性は未解決のままです。

以下のセクションでは、PDE自体、クレイの正式な問題文、スケーリングの障害、標準的な部分問題、そしてこの分野を形作ってきたアプローチを整理しています。

Navier-Stokes に関連する新規・改訂・クロスリストの arXiv 論文を毎日更新する横スクロールの一覧です。

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