ポアズイユ流れとハーゲン・ポアズイユ方程式

ポアズイユ流れとは、まっすぐな円管内を流れるニュートン流体の、定常かつ十分に発達した流れです。入口の圧力が出口より高ければ、速度は壁面でゼロとなり、管の中心に向かって放物線状に増加して中心で最大になります。

管の半径を $R$、長さを $L$、粘性係数を $\mu$、圧力降下を $\Delta p=p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}>0$ とすると、体積流量は

$$Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}=\frac{\pi D^4\Delta p}{128\mu L}.$$

中心軸から距離 $r$ における軸方向速度は

$$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right).$$

これらがハーゲン・ポアズイユ方程式で、ポアズイユの法則とも呼ばれます。定常、非圧縮、ニュートン流体、十分に発達した流れ、剛体の円管、壁面での滑りなし、という条件が必要です。この範囲を外れると、式の補正が必要になるか、式自体を適用できません。

半径 $R$、軸方向座標 $z\in[0,L]$ のまっすぐな円管を考えます。一定の圧力勾配に対して $G=-dp/dz=\Delta p/L>0$ とおきます。ここで、圧力降下は $\Delta p=p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}$ です。非圧縮ニュートン流体のナビエ・ストークス方程式に対するハーゲン・ポアズイユ解は

$$\mathbf{u}(r)=u_z(r)\mathbf{e}_z,\qquad u_z(r)=\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2),$$

であり、

$$u_{\max}=\frac{GR^2}{4\mu},\qquad \bar{u}=\frac{GR^2}{8\mu}=\frac{u_{\max}}{2},\qquad Q=\pi R^2\bar{u}=\frac{\pi GR^4}{8\mu}.$$

同じ結果は $Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)=\pi D^4\Delta p/(128\mu L)$ とも書けます。ここで $\mu$ は粘性係数（絶対粘度）であり、動粘度は $\nu=\mu/\rho$ です。この解は、まっすぐで剛体、一定半径の円管内を流れるニュートン流体について、定常、非圧縮、軸対称、十分に発達した流れ、一定の有効軸方向圧力勾配、滑りなしを仮定します。

この方程式が強力なのは、非常に明確な実験条件を記述するからです。断面が一定の円で、長く、まっすぐで、変形しない管を考えます。流体は入口からの発達を終え、下流のどの位置でも同じ速度分布になっています。すべての流体粒子は管軸と平行に動き、圧力は管に沿って一様に低下します。

流れを層流と呼ぶのは、乱れた状態や乱流に置き換わらず、この整った速度分布が物理的に実現しているという意味です。レイノルズ数が普遍的なオン・オフのスイッチになるわけではなく、遷移は外乱や実験装置にも依存します。

円筒座標 $(r,\theta,z)$ を用い、次の仮定形を置きます。

$$\mathbf{u}=u_z(r)\mathbf{e}_z,\qquad p=p(z).$$

定常性から $\partial_t\mathbf{u}=0$、十分に発達していることから $\partial_z u_z=0$、軸対称性から $\partial_\theta u_z=0$ となり、半径方向と方位角方向の速度成分はありません。傾いた管に沿う一様な重力のような保存的な軸方向体積力は、有効圧力に吸収できます。吸収しない場合は、その軸方向項を明示的に残す必要があります。

境界条件と正則性条件は

$$u_z(R)=0,\qquad u_z(0)\text{ 有限},\qquad u_z'(0)=0.$$

滑りなし条件が壁面での値を与えます。有限性と軸対称性により、$r=0$ で現れ得る対数型の積分項は除かれます。長さが有限の実在の管では、この速度分布は入口と出口の影響から離れた十分発達領域を記述するものであり、入口から出口までの完全な解ではありません。

ナビエ・ストークス方程式で難しいのは自己移流項です。流体が、自らの速度を速度の異なる場所へ運びます。十分に発達したポアズイユ流れでは、速度は管に沿う方向だけを向く一方で、その大きさは管を横切る方向だけに変化します。流体粒子にはその変化を横切って自らを運ぶ半径方向速度がなく、進行方向にも速度分布は変化しません。したがって、自己移流項は厳密にゼロです。

圧力は流体を下流へ押し、粘性は壁の抵抗を内部へ伝えます。この2つの効果が各半径位置で釣り合います。

$$0=-\frac{dp}{dz}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right)\right].$$

$G=-dp/dz>0$ とおけば、これは $r$ に関する2階の常微分方程式にすぎません。形状によってフィードバック項が消えるため、もとの非線形3次元偏微分方程式が線形の半径方向問題になります。

方程式全体がどこから得られるかは、ナビエ・ストークス方程式の導出をご覧ください。ここで特殊化する支配方程式については、非圧縮ナビエ・ストークス方程式で解説しています。

密度と粘性係数が一定で、吸収されていない体積力がない場合、

$$\rho\left(\partial_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\mu\Delta\mathbf{u},\qquad \nabla\cdot\mathbf{u}=0.$$

場 $\mathbf{u}=u_z(r)\mathbf{e}_z$ は、$u_r=u_\theta=0$ かつ $\partial_z u_z=0$ なので発散ゼロです。その物質移流項は

$$(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=u_z(r)\,\partial_z\big(u_z(r)\mathbf{e}_z\big)=0.$$

半径方向と方位角方向の運動量方程式から $\partial_r p=\partial_\theta p=0$ が得られます。軸方向成分は

$$0=-\frac{dp}{dz}+\mu\left(\frac{d^2u_z}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du_z}{dr}\right).$$

$G=-dp/dz>0$ と定義すると、

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_z}{dr}\right)=-\frac{G}{\mu}.$$

この消去は仮定形に対して厳密です。レイノルズ数が小さいことを理由に慣性を捨てる近似ではありません。

簡約された方程式から始め、両辺に $r$ を掛けます。

$$\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right)=-\frac{G}{\mu}r.$$

1回積分します。対称性によって中心で特異となる項は除かれるので、

$$\frac{du}{dr}=-\frac{G}{2\mu}r.$$

さらに積分すると、

$$u(r)=-\frac{G}{4\mu}r^2+C.$$

滑りなし条件から $u(R)=0$ なので、$C=GR^2/(4\mu)$ です。したがって、

$$u(r)=\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2).$$

この曲線は放物線です。$r=R$ でゼロ、中心軸について対称で、$r=0$ で最大になります。正規化すると、どのパラメータに対しても同じ形です。

$$\frac{u(r)}{u_{\max}}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^2.$$

次の式を積分すると、

$$\frac{d}{dr}(ru_z')=-\frac{G}{\mu}r$$

より

$$ru_z'=-\frac{G}{2\mu}r^2+C_1,\qquad u_z'=-\frac{G}{2\mu}r+\frac{C_1}{r}.$$

$C_1\ne0$ なら、2回目の積分によって管軸上で特異となる $C_1\log r$ が現れます。したがって、中心軸での正則性から $C_1=0$ でなければなりません。もう一度積分すると、

$$u_z(r)=-\frac{G}{4\mu}r^2+C_2.$$

滑りなし条件 $u_z(R)=0$ によって $C_2=GR^2/(4\mu)$ と定まり、

$$u_z(r)=\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2).$$

ここから直ちに $u_z'(0)=0$ および $u_{\max}=u_z(0)=GR^2/(4\mu)$ が得られます。$\hat r=r/R$、$\hat u=u_z/u_{\max}$ とすれば、無次元速度分布は $\hat u=1-\hat r^2$ です。

速度分布から、流体の各同心円状リングがどれだけ速く進むかが分かります。断面全体にわたってそれらを足し合わせると、

$$Q=\int_Au\,dA=\int_0^R u(r)\,2\pi r\,dr=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}.$$

断面積で割れば平均速度が得られます。これは中心軸上の速度のちょうど半分です。

$$\bar u=\frac{Q}{\pi R^2}=\frac{\Delta p R^2}{8\mu L}=\frac{u_{\max}}{2}.$$

同じ方程式を、圧力–流量の抵抗則として書くこともできます。

$$\Delta p=\mathcal{R}_hQ,\qquad \mathcal{R}_h=\frac{8\mu L}{\pi R^4}.$$

これはオームの法則に似ています。圧力降下が電圧、体積流量が電流、$\mathcal{R}_h$ が流体抵抗の役割を果たします。この対応が厳密なのは、線形なポアズイユ流れの仮定が成り立つ間だけです。

粘性せん断応力の絶対値は壁面で最大です。

$$|\tau_w|=\frac{\Delta p R}{2L}.$$

軸対称速度分布では $dA=2\pi r\,dr$ なので、

$$Q=2\pi\int_0^R\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2)r\,dr=\frac{\pi GR^4}{8\mu}.$$

したがって、

$$\bar u=\frac{Q}{\pi R^2}=\frac{GR^2}{8\mu},\qquad u_{\max}=2\bar u.$$

$G=\Delta p/L$ を代入すると、よく使われる2つの形が得られます。

$$Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}=\frac{\pi D^4\Delta p}{128\mu L},\qquad \Delta p=\frac{128\mu LQ}{\pi D^4}.$$

せん断成分は

$$\tau_{rz}=\mu\frac{du_z}{dr}=-\frac{G}{2}r.$$

負号は、粘性による表面力が下流方向の運動に逆らうことを示します。壁面での絶対値は $|\tau_w|=GR/2=\Delta pR/(2L)$ です。流体抵抗 $\mathcal{R}_h=8\mu L/(\pi R^4)$ は、ここで指定した円管と線形領域に適用されるもので、任意のダクトや乱流ネットワークに適用できるわけではありません。

水に近いニュートン流体を考え、粘性係数を $\mu=1.00\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}$、管の半径を $R=1.00\,\mathrm{mm}$、長さを $L=1.00\,\mathrm{m}$ とします。圧力降下 $\Delta p=1.00\,\mathrm{kPa}$ を加えます。

4乗する前にミリメートルをメートルへ換算します。$R=1.00\times10^{-3}\,\mathrm{m}$ なので、$R^4=1.00\times10^{-12}\,\mathrm{m^4}$ です。したがって、

$$Q=\frac{\pi(1.00\times10^{-3})^4(1.00\times10^3)}{8(1.00\times10^{-3})(1.00)}=3.93\times10^{-7}\,\mathrm{m^3/s}.$$

これは $0.393\,\mathrm{mL/s}$ です。平均速度は

$$\bar u=\frac{Q}{\pi R^2}=0.125\,\mathrm{m/s},$$

中心軸上の速度は $u_{\max}=0.250\,\mathrm{m/s}$ です。$\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$ とすれば $\mathrm{Re}_D=\rho\bar uD/\mu=250$ となり、滑らかで外乱をよく抑えた管内に整った層流が実現することと整合します。

単位は計算ミスの確認に役立ちます。$R^4\Delta p/(\mu L)$ の単位は $\mathrm{m^3/s}$ に帰着します。

$\mu=10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}$、$R=10^{-3}\,\mathrm{m}$、$L=1\,\mathrm{m}$、$\Delta p=10^3\,\mathrm{Pa}$ とすると、

$$G=\frac{\Delta p}{L}=10^3\,\mathrm{Pa/m},\qquad Q=\frac{\pi GR^4}{8\mu}=3.927\times10^{-7}\,\mathrm{m^3/s}.$$

$A=\pi R^2=3.142\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$ なので、

$$\bar u=0.125\,\mathrm{m/s},\qquad u_{\max}=0.250\,\mathrm{m/s},\qquad |\tau_w|=\frac{GR}{2}=0.500\,\mathrm{Pa}.$$

$\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$、$D=2R=2\times10^{-3}\,\mathrm{m}$ に対して $\mathrm{Re}_D=250$ です。次元の確認は

$$\frac{[R]^4[\Delta p]}{[\mu][L]}=\frac{\mathrm{m^4}(\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-2}})}{(\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-1}})\mathrm{m}}=\mathrm{m^3/s}.$$

入力値は説明のための例であり、特定の装置について校正された予測ではありません。

圧力降下、長さ、粘性係数を一定に保って半径を2倍にすると、$Q$ は $2^4=16$ 倍になります。半径を半分にすると、流量は $1/16$ に減ります。この非常に強い感度が、ポアズイユの法則の最もよく知られた特徴です。

$R^4$ は2つの要因から生まれます。管が太くなると断面積が増え、これがおよそ $R^2$ に比例します。同時に速度の放物線も高くなり、平均速度そのものが $R^2$ に比例して増えます。断面積と平均速度の積が $R^4$ を与えます。

この法則は、円形毛細管の抵抗の見積もり、層流実験の設計、毛細管粘度計の解釈に役立ちます。マイクロ流体工学でも同様の圧力–流量の考え方が使われますが、多くのマイクロ流路は円形ではなく長方形なので、コンダクタンスの係数は異なります。

生体内の流れには特別な注意が必要です。この式は、条件が限られた細い血管で近似として使えることがありますが、血液は非ニュートン性を示し、流れは脈動し、血管壁は変形し得ます。動脈の完全なモデルではなく、この式だけから医学的な結論を出すべきではありません。

次の式から、

$$Q=\frac{\pi\Delta p}{8\mu L}R^4,$$

ほかの変数とモデルの適用領域を固定すれば、対数感度は $\partial\log Q/\partial\log R=4$、$\partial\log Q/\partial\log\Delta p=1$、$\partial\log Q/\partial\log\mu=-1$、$\partial\log Q/\partial\log L=-1$ です。

$R^4$ 依存性は $Q=A\bar u$ と分解でき、$A\sim R^2$、$\bar u\sim GR^2/\mu$ です。$R$ を変えると $\mathrm{Re}_D$ も変わり得ます。$G$ を一定とすると $\bar u\sim R^2$、$D\sim R$ なので、$\mathrm{Re}_D\sim R^3$ です。そのため半径を大きく変えると、外挿した $R^4$ の予測値に達する前に、層流として物理的に実現するという前提が破れる場合があります。

非円形ダクトでも、ニュートン流体の圧力駆動・十分発達流れには線形のコンダクタンス関係があります。ただし幾何学係数は断面上のポアソン問題を解いて求めるものであり、円管の $R^4$ の式へ単純に水力半径を代入しても、厳密な結果にはなりません。

方程式を使う前に、対象とする物理問題が仮定に合うかを確認してください。

• 入口付近：速度分布がまだ発達中で半径方向成分もあるため、十分発達した流れの解だけでは不完全です。
• 外乱のある流れや円管乱流：放物線状の層流分布が実際の状態にならないことがあります。直径に基づくレイノルズ数がおよそ2,300という値は、よく使われる工学上の目安であり、普遍的な定理ではありません。
• 非ニュートン流体：せん断薄化、せん断増粘、降伏応力などのレオロジーでは、異なる速度分布と圧力–流量則が生じます。
• 強い非定常流や脈動流：慣性によって時間依存性と位相遅れが生じるため、瞬時の定常式では動力学を捉えられない場合があります。
• 圧縮性流れ：管に沿って密度が大きく変化する場合は、質量流量と熱力学の関係が必要です。
• 異なる境界条件や形状：壁面滑り、多孔質壁、曲がった管や先細り・先広がり管、非円形ダクト、変形する壁では問題が変わります。

理想的な十分発達モデルでは、放物線速度場はパラメータの値によらず、ナビエ・ストークス方程式の厳密な定常解です。レイノルズ数によって変わるのは、この状態が実際の外乱のもとで維持され、観測される流れを表すかどうかです。詳しくはレイノルズ数と乱流をご覧ください。

よく引用される $\mathrm{Re}_D\approx2300$ は工学上の遷移の目安であり、この式が存在するか否かを分ける明確な境界ではありません。ここで

$$\mathrm{Re}_D=\frac{\rho\bar uD}{\mu}=\frac{\bar uD}{\nu}.$$

ハーゲン・ポアズイユ速度場は、数値的なレイノルズ数がこれより大きい場合でも、理想化された十分発達方程式の厳密解です。遷移に関わるのは、安定性、有限振幅の外乱、入口条件、壁面粗さ、そして層流解が物理的に実現するかどうかです。したがって、検証で問うべきなのは Re は 2300 未満か？ だけではありません。形状、構成則、境界条件、助走距離、外乱環境がモデルと一致するかも確認する必要があります。

剛体円管内の非定常圧力勾配には、定常分布に代わってウォマスリー問題を用います。一般化ニュートン流体では $\tau_{rz}$ と $du_z/dr$ の間の構成関係が変わります。圧縮性流れでは密度が圧力と温度に結合します。非円形断面では半径方向の常微分方程式が2次元ポアソン問題に置き換わります。いずれも別の簡約であり、常に $\mu$ や $R$ の中へ隠せる補正ではありません。

円管内の十分に発達した層流について、ポアズイユの法則とダルシー・ワイスバッハの圧力損失式は、異なる記法で同じことを述べています。平均速度 $\bar u$ と直径 $D$ を用いると、

$$\Delta p=f_D\frac{L}{D}\frac{\rho\bar u^2}{2},\qquad f_D=\frac{64}{\mathrm{Re}_D}.$$

ここで $f_D$ はダルシーの管摩擦係数です。ファニングの摩擦係数はその4分の1、$16/\mathrm{Re}_D$ であり、この違いは4倍の計算間違いを生む典型的な原因です。

この厳密解は、ナビエ・ストークス方程式について何が解けていて、何が未解決かも明確にします。対称性の高いこの定常流れは完全に解けています。しかし、滑らかな初期条件から始まる3次元非圧縮流れが、常に永久に滑らかであり続けることは証明されていません。ポアズイユ流れの形状では、一般の場合を難しくする非線形自己移流が消えています。

続いてナビエ・ストークス方程式の厳密解一覧を読むか、未解決の主張について存在と滑らかさの問題をご覧ください。

ポアズイユの法則から $\Delta p=32\mu L\bar u/D^2$ です。これをダルシー・ワイスバッハ式

$$\Delta p=f_D\frac{L}{D}\frac{\rho\bar u^2}{2}$$

と等置すると、

$$f_D=\frac{64\mu}{\rho\bar uD}=\frac{64}{\mathrm{Re}_D}.$$

これは、円管内を流れる十分に発達したニュートン流体の層流に対するダルシーの管摩擦係数です。ファニングの規約では $f_F=f_D/4=16/\mathrm{Re}_D$ となります。

この導出が成り立つのは、不変な仮定形 $\mathbf{u}=u_z(r)\mathbf{e}_z$ が $(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}$ を消去し、偏微分方程式を強圧性をもつ半径方向の境界値問題へ簡約するからです。クレイ問題は、このような対称性を持たずに発展する、広いクラスの滑らかで発散ゼロの3次元初期データを対象とします。明示的な大域解が1つあっても、すべての許容データに対する大域正則性の証明にも、破綻例の構成にもなりません。

ハーゲン・ポアズイユ方程式とは何ですか？
まっすぐな円管内の体積流量は、定常、非圧縮、ニュートン流体、十分に発達した流れ、滑りなしという条件のもとで $Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)$ です。

ポアズイユ流れの速度分布はなぜ放物線になるのですか？
一定の圧力勾配と粘性拡散が釣り合うからです。円管では、半径方向ラプラシアンを2回積分し、中心軸での対称性と滑りなし条件を適用すると $u(r)\propto R^2-r^2$ が得られます。

最大速度と平均速度の関係は何ですか？
円管内のポアズイユ速度分布では、$u_{\max}=2\bar u$ です。

流量が半径の4乗に依存するのはなぜですか？
断面積から $R^2$ の因子が生じ、圧力勾配と粘性係数を固定すると平均速度も $R^2$ に比例して増加します。その積により $Q\propto R^4$ となります。

ポアズイユの法則は血流に適用できますか？
剛体管、ニュートン流体、定常、十分に発達した流れという仮定が妥当な場合に限り、限定的な近似として使えます。脈動、血管壁の変形、分岐、非ニュートン性はいずれも重要になり得ます。

ハーゲン・ポアズイユ方程式とは何ですか？
ここで述べた円管の仮定のもとで、$Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)=\pi D^4\Delta p/(128\mu L)$、$u_z(r)=\Delta p(R^2-r^2)/(4\mu L)$ です。

ポアズイユ流れの速度分布はなぜ放物線になるのですか？
軸方向方程式 $r^{-1}(ru_z')'=-G/\mu$ から特異な $\log r$ モードを除き、$u_z(R)=0$ を課して積分すると2次式になります。

最大速度と平均速度の関係は何ですか？
断面積分から $\bar u=GR^2/(8\mu)$、一方で $u_{\max}=GR^2/(4\mu)$ なので、$u_{\max}=2\bar u$ です。

流量が半径の4乗に依存するのはなぜですか？
$G$ と $\mu$ を固定すると、断面積の尺度が $R^2$、速度の尺度が $GR^2/\mu$ であるため、$Q\sim GR^4/\mu$ となります。

ポアズイユの法則は血流に適用できますか？
局所的な理想化としては使えますが、普遍的な血行力学の法則ではありません。妥当な適用には、非ニュートン・レオロジー、脈動、壁の変形、分岐、流れの発達の影響を評価する必要があります。