Écoulement de Poiseuille et équation de Hagen–Poiseuille

L’écoulement de Poiseuille est l’écoulement stationnaire et pleinement développé d’un fluide newtonien dans une conduite circulaire droite. Si la pression est plus élevée à l’entrée qu’à la sortie, la vitesse est nulle à la paroi et croît suivant une parabole jusqu’à son maximum au centre.

Pour une conduite de rayon $R$, de longueur $L$, un fluide de viscosité dynamique $\mu$ et une chute de pression $\Delta p=p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}>0$, le débit volumique vaut

$$Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}=\frac{\pi D^4\Delta p}{128\mu L}.$$

La vitesse axiale à la distance $r$ de l’axe est

$$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right).$$

Ces formules constituent l’équation de Hagen–Poiseuille, aussi appelée loi de Poiseuille. Elles supposent un écoulement stationnaire, incompressible, newtonien et pleinement développé dans une conduite circulaire rigide, avec non-glissement à la paroi. En dehors de ce cadre, la formule peut nécessiter une correction ou ne pas s’appliquer.

Considérons une conduite circulaire droite de rayon $R$, avec la coordonnée axiale $z\in[0,L]$. Posons $G=-dp/dz=\Delta p/L>0$ pour un gradient de pression constant, où $\Delta p=p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}$. La solution de Hagen–Poiseuille des équations de Navier–Stokes incompressibles et newtoniennes est

$$\mathbf{u}(r)=u_z(r)\mathbf{e}_z,\qquad u_z(r)=\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2),$$

avec

$$u_{\max}=\frac{GR^2}{4\mu},\qquad \bar{u}=\frac{GR^2}{8\mu}=\frac{u_{\max}}{2},\qquad Q=\pi R^2\bar{u}=\frac{\pi GR^4}{8\mu}.$$

De manière équivalente, $Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)=\pi D^4\Delta p/(128\mu L)$. Ici, $\mu$ est la viscosité dynamique ; la viscosité cinématique est $\nu=\mu/\rho$. Le résultat suppose un écoulement stationnaire, incompressible, axisymétrique et pleinement développé d’un fluide newtonien dans une conduite circulaire droite, rigide et de rayon constant, avec un gradient de pression axial effectif constant et sans glissement.

L’équation est puissante parce qu’elle décrit une expérience très précise. Imaginons un tube long, droit et rigide, de section circulaire constante. Le fluide a atteint le même profil à chaque position en aval : il ne se développe plus depuis l’entrée. Chaque particule fluide se déplace parallèlement à l’axe de la conduite et la pression décroît uniformément le long de celle-ci.

Qualifier l’écoulement de laminaire signifie que ce profil ordonné se réalise physiquement, au lieu d’être remplacé par un état perturbé ou turbulent. Cela ne fait pas du nombre de Reynolds un interrupteur universel ; la transition dépend des perturbations et du dispositif.

Utilisons les coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$ et l’ansatz

$$\mathbf{u}=u_z(r)\mathbf{e}_z,\qquad p=p(z).$$

Le régime stationnaire donne $\partial_t\mathbf{u}=0$ ; l’écoulement pleinement développé donne $\partial_z u_z=0$ ; l’axisymétrie donne $\partial_\theta u_z=0$ ; enfin, les composantes radiale et azimutale de la vitesse sont nulles. Une force volumique axiale conservative, telle qu’une gravité uniforme le long d’une conduite inclinée, peut être absorbée dans une pression effective. Sinon, son terme axial doit être conservé explicitement.

Les conditions aux limites et de régularité sont

$$u_z(R)=0,\qquad u_z(0)\text{ finie},\qquad u_z'(0)=0.$$

La condition de non-glissement fournit la valeur à la paroi. La finitude et l’axisymétrie éliminent un terme d’intégration logarithmique en $r=0$. Pour une conduite physique de longueur finie, ce profil décrit une région pleinement développée, loin des effets d’entrée et de sortie ; il ne constitue pas la solution complète de l’entrée à la sortie.

Le terme difficile de Navier–Stokes est l’auto-advection : le fluide transporte sa propre vitesse vers des régions où la vitesse diffère. Dans l’écoulement de Poiseuille pleinement développé, la vitesse est uniquement dirigée le long de la conduite, mais ne varie que transversalement. Une particule n’a aucune vitesse radiale pour se transporter à travers cette variation, et le profil ne change pas dans la direction de son déplacement. Le terme d’auto-advection est donc exactement nul.

La pression pousse vers l’aval tandis que la viscosité transmet vers l’intérieur la résistance de la paroi. Ces deux effets s’équilibrent à chaque rayon :

$$0=-\frac{dp}{dz}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right)\right].$$

Avec $G=-dp/dz>0$, il ne reste qu’une équation différentielle ordinaire du second ordre en $r$. L’EDP tridimensionnelle non linéaire initiale devient un problème radial linéaire parce que la géométrie a supprimé le terme de rétroaction.

Pour connaître l’origine du système complet, consultez la dérivation des équations de Navier–Stokes. Pour le système directeur spécialisé ici, consultez les équations de Navier–Stokes incompressibles.

À masse volumique et viscosité constantes, sans force volumique non absorbée,

$$\rho\left(\partial_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\mu\Delta\mathbf{u},\qquad \nabla\cdot\mathbf{u}=0.$$

Le champ $\mathbf{u}=u_z(r)\mathbf{e}_z$ est à divergence nulle, car $u_r=u_\theta=0$ et $\partial_z u_z=0$. Son terme d’advection matérielle est

$$(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=u_z(r)\,\partial_z\big(u_z(r)\mathbf{e}_z\big)=0.$$

Les équations de quantité de mouvement radiale et azimutale donnent $\partial_r p=\partial_\theta p=0$. La composante axiale devient

$$0=-\frac{dp}{dz}+\mu\left(\frac{d^2u_z}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du_z}{dr}\right).$$

En posant $G=-dp/dz>0$, on obtient

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_z}{dr}\right)=-\frac{G}{\mu}.$$

Cette annulation est exacte pour l’ansatz ; ce n’est pas une approximation qui néglige l’inertie au motif que le nombre de Reynolds serait faible.

Partons de l’équation réduite et multiplions-la par $r$ :

$$\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right)=-\frac{G}{\mu}r.$$

Intégrons une première fois. La symétrie exclut un terme singulier au centre, d’où

$$\frac{du}{dr}=-\frac{G}{2\mu}r.$$

Intégrons à nouveau :

$$u(r)=-\frac{G}{4\mu}r^2+C.$$

Le non-glissement impose $u(R)=0$, donc $C=GR^2/(4\mu)$. Par conséquent,

$$u(r)=\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2).$$

La courbe est une parabole. Elle est nulle pour $r=R$, symétrique autour de l’axe et maximale pour $r=0$. Sous forme normalisée, toute la famille possède la même forme :

$$\frac{u(r)}{u_{\max}}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^2.$$

L’intégration de

$$\frac{d}{dr}(ru_z')=-\frac{G}{\mu}r$$

donne

$$ru_z'=-\frac{G}{2\mu}r^2+C_1,\qquad u_z'=-\frac{G}{2\mu}r+\frac{C_1}{r}.$$

Si $C_1\ne0$, une seconde intégration produit $C_1\log r$, qui est singulier sur l’axe de la conduite. La régularité sur l’axe impose donc $C_1=0$. Une seconde intégration donne

$$u_z(r)=-\frac{G}{4\mu}r^2+C_2.$$

La condition de non-glissement $u_z(R)=0$ fixe $C_2=GR^2/(4\mu)$, d’où

$$u_z(r)=\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2).$$

On en déduit directement $u_z'(0)=0$ et $u_{\max}=u_z(0)=GR^2/(4\mu)$. Avec $\hat r=r/R$ et $\hat u=u_z/u_{\max}$, le profil adimensionné est $\hat u=1-\hat r^2$.

Le profil de vitesse indique la vitesse de chaque anneau circulaire de fluide. Additionnons ces anneaux sur la section :

$$Q=\int_Au\,dA=\int_0^R u(r)\,2\pi r\,dr=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}.$$

En divisant par l’aire de la section, on obtient la vitesse moyenne, exactement égale à la moitié de la vitesse sur l’axe :

$$\bar u=\frac{Q}{\pi R^2}=\frac{\Delta p R^2}{8\mu L}=\frac{u_{\max}}{2}.$$

La même équation s’écrit comme une loi de résistance entre pression et débit :

$$\Delta p=\mathcal{R}_hQ,\qquad \mathcal{R}_h=\frac{8\mu L}{\pi R^4}.$$

Elle rappelle la loi d’Ohm : la chute de pression joue le rôle de la tension, le débit volumique celui du courant et $\mathcal{R}_h$ celui de la résistance hydraulique. L’analogie n’est exacte que tant que les hypothèses linéaires de Poiseuille sont satisfaites.

La valeur absolue du cisaillement visqueux est maximale à la paroi :

$$|\tau_w|=\frac{\Delta p R}{2L}.$$

Pour un profil axisymétrique, $dA=2\pi r\,dr$, donc

$$Q=2\pi\int_0^R\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2)r\,dr=\frac{\pi GR^4}{8\mu}.$$

Ainsi,

$$\bar u=\frac{Q}{\pi R^2}=\frac{GR^2}{8\mu},\qquad u_{\max}=2\bar u.$$

En substituant $G=\Delta p/L$, on obtient les deux formes usuelles :

$$Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}=\frac{\pi D^4\Delta p}{128\mu L},\qquad \Delta p=\frac{128\mu LQ}{\pi D^4}.$$

La composante de cisaillement est

$$\tau_{rz}=\mu\frac{du_z}{dr}=-\frac{G}{2}r.$$

Son signe indique que la traction visqueuse s’oppose au mouvement vers l’aval ; sa valeur absolue à la paroi est $|\tau_w|=GR/2=\Delta pR/(2L)$. La résistance hydraulique $\mathcal{R}_h=8\mu L/(\pi R^4)$ vaut pour le tube circulaire et le régime linéaire spécifiés, pas pour des conduits quelconques ni des réseaux turbulents.

Prenons un fluide newtonien proche de l’eau, de viscosité $\mu=1.00\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}$, dans une conduite de rayon $R=1.00\,\mathrm{mm}$ et de longueur $L=1.00\,\mathrm{m}$. Appliquons une chute de pression $\Delta p=1.00\,\mathrm{kPa}$.

Convertissons les millimètres en mètres avant d’élever à la puissance quatre : $R=1.00\times10^{-3}\,\mathrm{m}$, donc $R^4=1.00\times10^{-12}\,\mathrm{m^4}$. Alors

$$Q=\frac{\pi(1.00\times10^{-3})^4(1.00\times10^3)}{8(1.00\times10^{-3})(1.00)}=3.93\times10^{-7}\,\mathrm{m^3/s}.$$

Soit $0.393\,\mathrm{mL/s}$. La vitesse moyenne vaut

$$\bar u=\frac{Q}{\pi R^2}=0.125\,\mathrm{m/s},$$

et la vitesse sur l’axe vaut $u_{\max}=0.250\,\mathrm{m/s}$. Avec $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$, on obtient $\mathrm{Re}_D=\rho\bar uD/\mu=250$, valeur compatible avec un écoulement laminaire ordonné dans une conduite lisse et bien contrôlée.

Les unités offrent un bon moyen de repérer une erreur : $R^4\Delta p/(\mu L)$ se réduit à $\mathrm{m^3/s}$.

Avec $\mu=10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}$, $R=10^{-3}\,\mathrm{m}$, $L=1\,\mathrm{m}$ et $\Delta p=10^3\,\mathrm{Pa}$,

$$G=\frac{\Delta p}{L}=10^3\,\mathrm{Pa/m},\qquad Q=\frac{\pi GR^4}{8\mu}=3.927\times10^{-7}\,\mathrm{m^3/s}.$$

Puisque $A=\pi R^2=3.142\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$,

$$\bar u=0.125\,\mathrm{m/s},\qquad u_{\max}=0.250\,\mathrm{m/s},\qquad |\tau_w|=\frac{GR}{2}=0.500\,\mathrm{Pa}.$$

Pour $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$ et $D=2R=2\times10^{-3}\,\mathrm{m}$, $\mathrm{Re}_D=250$. La vérification dimensionnelle est

$$\frac{[R]^4[\Delta p]}{[\mu][L]}=\frac{\mathrm{m^4}(\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-2}})}{(\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-1}})\mathrm{m}}=\mathrm{m^3/s}.$$

Les valeurs d’entrée sont illustratives ; elles ne constituent pas une prédiction étalonnée pour un dispositif particulier.

À chute de pression, longueur et viscosité fixées, doubler le rayon multiplie $Q$ par $2^4=16$. Diviser le rayon par deux réduit le débit à $1/16$. Cette sensibilité extrême est la caractéristique la plus connue de la loi de Poiseuille.

Deux facteurs se combinent pour produire $R^4$. Une conduite plus large offre une plus grande aire, qui contribue approximativement comme $R^2$. Elle permet aussi à la parabole des vitesses de devenir plus haute : la vitesse moyenne elle-même croît comme $R^2$. L’aire multipliée par la vitesse moyenne donne $R^4$.

La loi sert à estimer la résistance de capillaires circulaires, à concevoir des expériences en régime laminaire et à interpréter les viscosimètres capillaires. Des idées similaires de relation pression–débit guident la microfluidique, mais nombre de microcanaux sont rectangulaires plutôt que circulaires ; leur coefficient de conductance est donc différent.

Les écoulements biologiques demandent une prudence particulière. La formule peut fournir une approximation dans certains petits vaisseaux, mais le sang peut être non newtonien, l’écoulement pulsatile et les parois vasculaires déformables. Ce n’est pas un modèle complet d’une artère, et l’équation seule ne doit pas servir à tirer une conclusion médicale.

À partir de

$$Q=\frac{\pi\Delta p}{8\mu L}R^4,$$

les sensibilités logarithmiques sont $\partial\log Q/\partial\log R=4$, $\partial\log Q/\partial\log\Delta p=1$, $\partial\log Q/\partial\log\mu=-1$ et $\partial\log Q/\partial\log L=-1$, à condition de maintenir les autres variables et le régime du modèle fixes.

La dépendance en $R^4$ se factorise selon $Q=A\bar u$, avec $A\sim R^2$ et $\bar u\sim GR^2/\mu$. Modifier $R$ peut aussi modifier $\mathrm{Re}_D$ : à $G$ fixé, $\bar u\sim R^2$ et $D\sim R$, donc $\mathrm{Re}_D\sim R^3$. Une variation suffisamment grande du rayon peut ainsi rendre impossible la réalisation physique laminaire avant que la prédiction extrapolée en $R^4$ ne soit atteinte.

Pour les conduits non circulaires, un écoulement newtonien pleinement développé et entraîné par la pression conserve une relation de conductance linéaire, mais le facteur géométrique résulte de la résolution d’un problème de Poisson sur la section ; remplacer simplement le rayon par un rayon hydraulique dans la formule circulaire en $R^4$ ne donne pas en général un résultat exact.

Avant d’utiliser l’équation, comparons le problème physique à ses hypothèses.

• Près de l’entrée : le profil est encore en développement et possède une composante radiale ; la solution pleinement développée est donc incomplète.
• Écoulement perturbé ou turbulent en conduite : le profil laminaire parabolique peut ne pas être l’état observé. Un nombre de Reynolds fondé sur le diamètre voisin de 2 300 est un repère d’ingénierie courant, pas un théorème universel.
• Fluides non newtoniens : les rhéologies rhéofluidifiantes, rhéoépaississantes, à seuil et autres produisent des profils et des relations pression–débit différents.
• Écoulement fortement instationnaire ou pulsatile : l’inertie introduit une dépendance temporelle et un déphasage ; une formule stationnaire instantanée peut manquer la dynamique.
• Écoulement compressible : des variations importantes de masse volumique le long de la conduite exigent des relations de débit massique et de thermodynamique.
• Autres limites ou géométries : glissement à la paroi, parois poreuses, conduites courbes ou coniques, sections non circulaires et parois déformables modifient le problème.

Dans le modèle idéal pleinement développé, le champ parabolique reste une solution stationnaire exacte de Navier–Stokes pour toute valeur des paramètres. Ce qui change avec le nombre de Reynolds, c’est la capacité de cet état à persister sous des perturbations réelles et à décrire l’écoulement observé. Pour approfondir, consultez le nombre de Reynolds et la turbulence.

La valeur souvent citée $\mathrm{Re}_D\approx2300$ est une convention de transition en ingénierie, pas une frontière d’existence nette pour la formule. Ici,

$$\mathrm{Re}_D=\frac{\rho\bar uD}{\mu}=\frac{\bar uD}{\nu}.$$

Le champ de Hagen–Poiseuille est une solution exacte des équations idéales pleinement développées même lorsque la valeur numérique du nombre de Reynolds est plus élevée. La transition concerne la stabilité, les perturbations finies, les conditions d’entrée, la rugosité de la paroi et la réalisation physique de la solution laminaire. La bonne question de validation n’est donc pas seulement Re est-il inférieur à 2300 ?, mais aussi : la géométrie, la loi de comportement, les conditions aux limites, la longueur d’établissement et l’environnement perturbateur correspondent-ils au modèle ?

Pour des gradients de pression instationnaires dans une conduite circulaire rigide, le problème de Womersley remplace le profil stationnaire. Les fluides newtoniens généralisés modifient la relation constitutive entre $\tau_{rz}$ et $du_z/dr$. Les écoulements compressibles couplent la masse volumique à la pression et à la température. Les sections non circulaires remplacent l’EDO radiale par un problème de Poisson bidimensionnel. Chacun constitue une réduction différente, et non une correction que l’on peut toujours dissimuler dans $\mu$ ou $R$.

Pour un écoulement laminaire pleinement développé dans une conduite circulaire, la loi de Poiseuille et l’équation de perte de charge de Darcy–Weisbach expriment le même résultat avec des notations différentes. Avec la vitesse moyenne $\bar u$ et le diamètre $D$,

$$\Delta p=f_D\frac{L}{D}\frac{\rho\bar u^2}{2},\qquad f_D=\frac{64}{\mathrm{Re}_D}.$$

Ici, $f_D$ est le coefficient de frottement de Darcy. Le coefficient de frottement de Fanning est quatre fois plus petit, soit $16/\mathrm{Re}_D$ ; cette différence est une source fréquente d’erreurs d’un facteur quatre.

Cette solution exacte précise aussi ce qui est résolu, ou non, pour Navier–Stokes. Nous avons complètement résolu cet écoulement stationnaire hautement symétrique. Nous n’avons pas démontré que tout écoulement incompressible tridimensionnel issu de données initiales lisses reste lisse pour toujours. La géométrie de Poiseuille supprime l’auto-advection non linéaire qui est au cœur de la difficulté générale.

Poursuivez avec le catalogue des solutions exactes de Navier–Stokes, ou consultez le problème d’existence et de régularité pour l’énoncé qui reste ouvert.

La loi de Poiseuille donne $\Delta p=32\mu L\bar u/D^2$. En l’identifiant à la forme de Darcy–Weisbach

$$\Delta p=f_D\frac{L}{D}\frac{\rho\bar u^2}{2}$$

on obtient

$$f_D=\frac{64\mu}{\rho\bar uD}=\frac{64}{\mathrm{Re}_D}.$$

Il s’agit du coefficient de frottement de Darcy pour un écoulement laminaire pleinement développé d’un fluide newtonien dans une conduite circulaire ; la convention de Fanning donne $f_F=f_D/4=16/\mathrm{Re}_D$.

La dérivation aboutit parce que l’ansatz invariant $\mathbf{u}=u_z(r)\mathbf{e}_z$ annule $(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}$ et réduit l’EDP à un problème radial coercif aux limites. Le problème de Clay porte sur de vastes classes de données tridimensionnelles lisses et à divergence nulle, dont l’évolution ne possède pas une telle symétrie. Une solution globale explicite ne démontre ni la régularité globale pour toutes les données admissibles, ni l’existence d’un exemple de singularité.

Qu’est-ce que l’équation de Hagen–Poiseuille ?
Dans une conduite circulaire droite, le débit volumique vaut $Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)$ sous les hypothèses d’un écoulement stationnaire, incompressible, newtonien, pleinement développé et sans glissement.

Pourquoi le profil de Poiseuille est-il parabolique ?
Un gradient de pression constant équilibre la diffusion visqueuse. Dans une conduite circulaire, intégrer deux fois le laplacien radial et appliquer la symétrie sur l’axe ainsi que le non-glissement donne $u(r)\propto R^2-r^2$.

Quelle relation existe-t-il entre la vitesse maximale et la vitesse moyenne ?
Pour le profil de Poiseuille dans une conduite circulaire, $u_{\max}=2\bar u$.

Pourquoi le débit dépend-il de la quatrième puissance du rayon ?
L’aire de la section apporte un facteur $R^2$, tandis que la vitesse moyenne croît elle aussi comme $R^2$ à gradient de pression et viscosité fixés. Leur produit donne $Q\propto R^4$.

La loi de Poiseuille s’applique-t-elle à l’écoulement sanguin ?
Uniquement comme approximation limitée lorsque les hypothèses de tube rigide, de fluide newtonien, de régime stationnaire et d’écoulement pleinement développé sont raisonnables. La pulsatilité, la déformabilité des vaisseaux, les bifurcations et le comportement non newtonien peuvent tous jouer un rôle.

Qu’est-ce que l’équation de Hagen–Poiseuille ?
Sous les hypothèses énoncées pour une conduite circulaire, $Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)=\pi D^4\Delta p/(128\mu L)$ et $u_z(r)=\Delta p(R^2-r^2)/(4\mu L)$.

Pourquoi le profil de Poiseuille est-il parabolique ?
L’équation axiale $r^{-1}(ru_z')'=-G/\mu$ s’intègre en un polynôme du second degré une fois le mode singulier $\log r$ exclu et la condition $u_z(R)=0$ imposée.

Quelle relation existe-t-il entre la vitesse maximale et la vitesse moyenne ?
L’intégration sur l’aire donne $\bar u=GR^2/(8\mu)$, tandis que $u_{\max}=GR^2/(4\mu)$ ; ainsi, $u_{\max}=2\bar u$.

Pourquoi le débit dépend-il de la quatrième puissance du rayon ?
À $G$ et $\mu$ fixés, l’échelle de la section est $R^2$ et celle de la vitesse est $GR^2/\mu$, d’où $Q\sim GR^4/\mu$.

La loi de Poiseuille s’applique-t-elle à l’écoulement sanguin ?
Elle peut servir d’idéalisation locale, pas de loi hémodynamique universelle. Une utilisation défendable doit prendre en compte la rhéologie non newtonienne, la pulsatilité, la déformabilité, les bifurcations et les effets d’établissement.