Équations de Navier-Stokes incompressibles : forme et signification

Les équations de Navier-Stokes incompressibles décrivent un fluide visqueux dont la densité est traitée comme constante. La forme standard est

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0.$$

Ici $u$ est la vitesse, $p$ la pression, $\nu$ la viscosité cinématique et $f$ une force extérieure. La seconde ligne est la contrainte incompressible clé : le fluide ne peut localement ni s'accumuler ni se raréfier.

Sur $\mathbb{R}^3$, le système incompressible est

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

Les inconnues sont $u : \mathbb{R}^3 \times [0,T) \to \mathbb{R}^3$ et $p : \mathbb{R}^3 \times [0,T) \to \mathbb{R}$. La donnée initiale doit satisfaire $\nabla \cdot u_0 = 0$.

Incompressible ne signifie pas que le fluide ne peut pas bouger. Cela signifie que les petites parcelles gardent leur volume en se déplaçant. Mathématiquement, c'est la condition $\nabla \cdot u = 0$.

C'est une bonne approximation pour l'eau, les huiles et de nombreux écoulements d'air à basse vitesse. Si les variations de densité comptent, il faut plutôt utiliser les équations de Navier-Stokes compressibles.

La condition $\nabla \cdot u = 0$ implique la préservation locale du volume par l'application de flot. Si $\Phi_t$ est le flot des particules, alors formellement $\det D\Phi_t = 1$ lorsque la vitesse est à divergence nulle.

Dans la dérivation à densité constante, l'équation de continuité se réduit de $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0$ à $\nabla \cdot u=0$.

La pression joue un rôle particulier dans les équations incompressibles. Elle n'est pas fixée par une loi d'état comme la loi des gaz parfaits. Au lieu de cela, la pression s'ajuste pour garder le champ de vitesse à divergence nulle.

C'est une raison pour laquelle l'écoulement incompressible est mathématiquement différent de l'écoulement compressible : la pression est liée à une contrainte spatiale globale.

En prenant la divergence de l'équation de quantité de mouvement et en utilisant $\nabla \cdot u = 0$, on obtient une équation de Poisson pour la pression, par exemple

$$-\Delta p = \partial_i\partial_j(u_i u_j) - \nabla \cdot f.$$

La pression agit donc comme un multiplicateur de Lagrange de la contrainte d'incompressibilité. Ce couplage elliptique est l'un des traits structurels caractéristiques du système incompressible.

Le problème du Millénaire de Clay porte sur les équations de Navier-Stokes incompressibles en trois dimensions. Il demande si toute vitesse initiale lisse à divergence nulle produit une solution lisse pour tout temps, ou si un écoulement lisse peut se briser.

Pour le statut résolu/ouvert actuel, voir le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?. Pour l'énoncé exact de Clay, voir existence et régularité de Navier-Stokes.

L'énoncé de Clay rédigé par Fefferman spécifie des données lisses à divergence nulle sur $\mathbb{R}^3$ ou $\mathbb{T}^3$ et demande soit l'existence globale de solutions lisses, soit un scénario de rupture admissible.

Le système compressible a ses propres questions profondes, mais le problème du prix du Millénaire isole la question de régularité incompressible : l'écart entre les solutions faibles globales de Leray-Hopf et les solutions classiques globalement lisses en 3D.

Pour une comparaison plus large, lire Navier-Stokes incompressible vs compressible. Pour une introduction terme à terme, lire ce que sont les équations de Navier-Stokes. Pour l'origine des équations, lire la dérivation.

À lire ensuite : comparaison avec le système compressible, dérivation à partir du bilan de quantité de mouvement et pourquoi le problème de régularité 3D est difficile.