Équations de Navier-Stokes incompressibles : forme et signification

Les équations de Navier-Stokes incompressibles décrivent un fluide visqueux dont la densité est traitée comme constante :

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0.$$

$u$ est la vitesse, $p$ la pression, $\nu$ la viscosité cinématique et $f$ une force extérieure.

Sur $\mathbb{R}^3$, le système incompressible est

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

La donnée initiale doit satisfaire $\nabla \cdot u_0=0$.

Incompressible ne signifie pas immobile. Cela signifie que les petites parcelles de fluide gardent leur volume. Mathématiquement, c'est la condition $\nabla \cdot u=0$.

Si les variations de densité comptent, il faut plutôt utiliser les équations de Navier-Stokes compressibles.

La condition $\nabla \cdot u=0$ exprime la préservation locale du volume. Elle remplace l'équation d'évolution de la densité dans le cas de densité constante.

Dans le système incompressible, la pression n'est pas fixée par une loi d'état. Elle s'ajuste pour garder le champ de vitesse à divergence nulle.

En prenant la divergence de l'équation de quantité de mouvement, on obtient une équation de Poisson pour la pression, par exemple $$-\Delta p = \partial_i\partial_j(u_i u_j)-\nabla\cdot f.$$ La pression agit comme multiplicateur de Lagrange de la contrainte d'incompressibilité.

Le problème du Millénaire de Clay porte sur les équations de Navier-Stokes incompressibles en trois dimensions. Pour le statut actuel, voir le problème est-il résolu ?. Pour l'énoncé précis, voir existence et régularité.

Le problème isole l'écart entre les solutions faibles globales de Leray-Hopf et les solutions classiques globalement lisses en 3D. Pour la comparaison avec le cas à densité variable, lire incompressible vs. compressible.