비압축성 나비에-스토크스 방정식: 형태, 제약, 의미

비압축성 나비에-스토크스 방정식은 밀도를 일정하게 취급하는 점성 유체를 기술합니다. 표준형은 다음과 같습니다.

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0.$$

여기서 $u$는 속도, $p$는 압력, $\nu$는 동점성계수, $f$는 외력입니다. 두 번째 줄이 핵심적인 비압축성 제약입니다: 유체는 국소적으로 쌓이거나 옅어질 수 없습니다.

$\mathbb{R}^3$ 위에서 비압축성 시스템은 다음과 같습니다.

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

미지수는 $u : \mathbb{R}^3 \times [0,T) \to \mathbb{R}^3$와 $p : \mathbb{R}^3 \times [0,T) \to \mathbb{R}$입니다. 초기 데이터는 $\nabla \cdot u_0 = 0$을 만족해야 합니다.

비압축성은 유체가 움직일 수 없다는 뜻이 아닙니다. 작은 유체 입자가 움직이는 동안 부피를 유지한다는 뜻입니다. 수학적으로는 조건 $\nabla \cdot u = 0$입니다.

이는 물, 기름, 그리고 많은 저속 공기 유동에 좋은 근사입니다. 밀도 변화가 중요하다면 대신 압축성 나비에-스토크스 방정식을 사용하십시오.

조건 $\nabla \cdot u = 0$은 유동 사상의 국소 부피 보존을 뜻합니다. $\Phi_t$가 입자 유동이라면, 속도장이 발산 없는 경우 형식적으로 $\det D\Phi_t = 1$입니다.

일정 밀도 유도에서는 연속 방정식이 $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0$에서 $\nabla \cdot u=0$으로 줄어듭니다.

압력은 비압축성 방정식에서 특별한 역할을 합니다. 이상 기체 법칙 같은 상태 방정식으로 정해지지 않습니다. 대신 압력은 속도장을 발산 없이 유지하도록 조정됩니다.

이것이 비압축성 유동이 압축성 유동과 수학적으로 다른 이유 중 하나입니다: 압력이 전역적인 공간 제약에 묶여 있기 때문입니다.

운동량 방정식의 발산을 취하고 $\nabla \cdot u = 0$을 사용하면 압력 포아송 방정식이 나옵니다. 예를 들어

$$-\Delta p = \partial_i\partial_j(u_i u_j) - \nabla \cdot f.$$

따라서 압력은 비압축성 제약에 대한 라그랑주 승수 역할을 합니다. 이 타원형 결합은 비압축성 시스템을 규정하는 구조적 특징 중 하나입니다.

클레이 밀레니엄 문제는 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식에 관한 문제입니다. 발산 없는 매끄러운 초기 속도마다 모든 시간에 대해 매끄러운 해가 존재하는지, 아니면 매끄러운 유동이 붕괴할 수 있는지를 묻습니다.

현재의 해결/미해결 상태는 나비에-스토크스 문제는 해결되었는가?를, 정확한 클레이 공식화는 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움을 참고하십시오.

페퍼먼의 클레이 공식화는 $\mathbb{R}^3$ 또는 $\mathbb{T}^3$ 위의 발산 없는 매끄러운 데이터를 지정하고, 전역 매끄러운 존재성 또는 허용되는 붕괴 시나리오 중 하나를 요구합니다.

압축성 시스템에도 그 자체의 깊은 질문이 있지만, 밀레니엄 문제는 비압축성 정칙성 질문, 즉 3차원에서 전역 르레-호프 약한 해와 전역 고전적 매끄러운 해 사이의 간극을 분리해 다룹니다.

더 넓은 비교는 비압축성 vs. 압축성 나비에-스토크스를 읽어 보십시오. 항별 입문은 나비에-스토크스 방정식이란 무엇인가를, 방정식이 어디에서 오는지는 유도 과정을 참고하십시오.

다음 읽을거리: 압축성 시스템과의 비교, 운동량 균형에서의 유도, 3차원 정칙성 문제가 어려운 이유.