비압축성 나비에-스토크스 방정식: 형태, 제약, 의미

비압축성 나비에-스토크스 방정식은 밀도를 일정하게 보는 점성 유체를 기술합니다:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0.$$

$u$는 속도, $p$는 압력, $\nu$는 동점성계수, $f$는 외력입니다.

$\mathbb{R}^3$ 위의 표준형은 $$\partial_t u+(u\cdot\nabla)u=-\nabla p+\nu\Delta u+f,\quad \nabla\cdot u=0,\quad u(x,0)=u_0(x).$$ 초기 데이터도 $\nabla\cdot u_0=0$을 만족해야 합니다.

비압축성은 유체가 움직이지 않는다는 뜻이 아닙니다. 작은 유체 입자가 움직이는 동안 부피를 보존한다는 뜻입니다. 수학적으로는 $\nabla\cdot u=0$입니다.

밀도 변화가 중요하다면 압축성 나비에-스토크스 방정식을 사용합니다.

발산 없는 조건은 국소 체적 보존을 뜻합니다. 일정 밀도에서는 연속 방정식이 이 조건으로 줄어듭니다.

비압축성 시스템에서 압력은 상태 방정식으로 정해지지 않습니다. 대신 속도장을 발산 없이 유지하도록 조정됩니다.

운동량 방정식의 발산을 취하면 $$-\Delta p=\partial_i\partial_j(u_i u_j)-\nabla\cdot f$$ 같은 압력 포아송 방정식이 나옵니다. 압력은 비압축성 제약의 라그랑주 승수 역할을 합니다.

클레이 밀레니엄 문제는 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식에 관한 문제입니다. 현재 상태는 나비에-스토크스 문제는 해결되었는가?, 정확한 공식화는 존재성과 매끄러움을 참고하십시오.

이 문제는 3차원에서 전역 르레-호프 약한 해와 전역 고전적 매끄러운 해 사이의 간극을 묻습니다. 비교는 비압축성 vs. 압축성을 참고하십시오.