밀레니엄 상금 문제

Navier-Stokes 해설: 방정식, 클레이 상, 현재 상태

나비에-스토크스 방정식이 유체 운동을 어떻게 설명하는지, 언제 정확해를 구할 수 있는지, 그리고 3차원 밀레니엄 문제가 왜 미해결인지 알아보세요.

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풀이와 예제 살펴보기

정확히 계산할 수 있는 특수한 흐름과, 이것이 왜 미해결 문제를 풀지는 못하는지 살펴봅니다.

미해결 문제 이해하기

3차원 문제가 여전히 미해결인 이유와 증명에서 무엇을 보여야 하는지 살펴봅니다.

연구 진전 살펴보기

수학자들이 무엇을 증명했고 어떤 접근법을 시도했으며 무엇이 아직 밝혀지지 않았는지 살펴봅니다.

처음이라면 방정식부터 시작하세요.

실시간 유체 시뮬레이션입니다. 드래그해서 저어 보세요.

물 꿀

시뮬레이션 뒤의 방정식

\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}

이 항들은 무엇을 뜻하나요?

점성ν∆u

유체의 끈적임 — 꿀은 소용돌이에 저항하고, 물은 자유롭게 흐릅니다. 위 슬라이더가 이를 조절합니다 점성 확산 — 흐름을 매끄럽게 하고 퍼뜨립니다. 위의 ν 슬라이더로 조절됩니다

운동량(u·∇)u 움직임이 움직임을 운반합니다 — 빠른 흐름이 주변 유체를 끌고 가며 소용돌이를 만듭니다 비선형 이류 — 속도가 자기 자신을 수송하여 와류 신장과 캐스케이드를 만듭니다

압력−∇p 유체가 몰리면 압력이 밀어냅니다 — 솔버가 이를 자동으로 처리합니다 압력 기울기 — 발산 없는 제약을 강제하기 위해 투영 단계에서 계산됩니다

변화∂ₜu 결과 — 각 지점에서 유체 속도가 어떻게 변하는지, 다른 모든 항으로부터 계산됩니다 순 변화율 — 이류, 압력, 점성의 균형으로 정해지는 좌변입니다

보존∇·u = 0 유체는 압축되거나 팽창할 수 없습니다 — 그저 재배치될 뿐이며, 이것이 물이 물처럼 행동하는 이유입니다 발산 없는 제약 — 헬름홀츠-호지 투영으로 매 단계 만족됩니다

3차원 문제가 실제로 묻는 것

나비에-스토크스 방정식은 유체의 운동을 설명합니다. 공기, 물, 혈류, 기상, 난류 연구에 쓰입니다.

이 사이트의 핵심은 방정식이 유용한가가 아닙니다. 클레이 밀레니엄 상 뒤에 있는 미해결 문제입니다: 완전히 매끄러운 3차원 흐름에서 시작하면 영원히 매끄럽게 유지되는가, 아니면 폭발할 수 있는가?

아무도 모릅니다. 바로 그것이 이 문제를 특별하게 만듭니다.

아래에서는 주제를 분명히 나눕니다: 방정식 자체, 해결 또는 미해결의 현재 상태, 클레이의 공식 문제 서술, 수학적 장애물, 표준 환원, 그리고 시도된 증명 전략입니다.

이 사이트는 $\mathbb{R}^3$ 또는 $\mathbb{T}^3$ 위의 3차원 비압축성 나비에-스토크스 대역적 정칙성 문제를 중심으로 합니다.

방정식은 다음과 같습니다.

$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$

클레이 설정에서는, $\mathbb{R}^3$ 위의 급속 감소하는 매끄러운 발산 없는 초기 데이터, 또는 $\mathbb{T}^3$ 위의 매끄러운 주기 데이터를 연구합니다. 문제는 이러한 데이터가 항상 유일한 대역적 매끄러운 해를 생성하는지, 아니면 유한 시간 안에 매끄러움이 깨질 수 있는지입니다. 르레이의 이론은 대역적 약한 해를 제공하지만, 3차원에서의 대역적 매끄러움과 유일성은 여전히 미해결 상태입니다.

아래 섹션들은 PDE 자체, 클레이의 엄밀한 서술, 스케일링 장애물, 표준 부분 문제, 그리고 이 분야를 형성해 온 접근법들을 구분합니다.

연구/arXiv 피드 (업데이트 2026년 7월 13일)

Navier-Stokes 주제와 관련된 신규, 수정, 교차 등록 arXiv 논문을 매일 갱신하는 가로 스크롤 목록입니다.

2026년 7월 10일 신규 math.AP

On rotated backwards self-similar solutions of the incompressible 3D Navier-Stokes equations

Ben Pineau, Vlad Vicol

We consider backwards globally self-similar solutions of the 3D incompressible Navier-Stokes equations which are invariant under the joint action of...