Problema del Premio del Millennio

Navier-Stokes spiegato: equazioni, Premio Clay e stato

Scopri come Navier-Stokes descrive il moto dei fluidi, quando esistono soluzioni esatte e perché il problema del Millennio in 3D resta aperto.

Inizia da qui

Impara le equazioni

Scopri cosa descrivono le equazioni e il ruolo di ciascun termine.

Soluzioni svolte ed esempi

Esamina flussi speciali che possiamo calcolare esattamente e perché non risolvono il problema aperto.

Comprendi il problema aperto

Scopri perché il problema 3D è ancora aperto e cosa deve stabilire una dimostrazione.

Scopri i progressi della ricerca

Scopri cosa hanno dimostrato i matematici, quali approcci hanno tentato e cosa resta sconosciuto.

Prima visita? Inizia dalle equazioni.

Una simulazione fluida dal vivo. Trascina per agitare.

Acqua Miele

L’equazione dietro la simulazione

\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}

Che cosa significano questi termini?

Viscositàν∆u

Quanto è denso il fluido — il miele resiste ai vortici, l’acqua scorre liberamente. Il cursore sopra lo controlla Diffusione viscosa — smussa e diffonde il flusso. Controllata dal cursore ν sopra

Quantità di moto(u·∇)u Il movimento trasporta movimento — una corrente veloce trascina con sé il fluido vicino, creando vortici Avvezione non lineare — la velocità trasporta sé stessa, producendo stiramento dei vortici e cascata

Pressione−∇p Quando il fluido si addensa, la pressione lo spinge ad allontanarsi — il risolutore gestisce questo automaticamente Gradiente di pressione — calcolato dal passo di proiezione per imporre il vincolo di divergenza nulla

Variazione∂ₜu Il risultato — come cambia la velocità del fluido in ogni punto, calcolato da tutti gli altri termini Tasso netto di variazione — il membro sinistro, determinato dal bilancio tra avvezione, pressione e viscosità

Conservazione∇·u = 0 Il fluido non può comprimersi né espandersi — si limita a ridisporsi, ed è questo che fa comportare l’acqua come acqua Vincolo di divergenza nulla — soddisfatto a ogni passo dalla proiezione di Helmholtz-Hodge

Che cosa chiede davvero il problema 3D

Le equazioni di Navier-Stokes descrivono come si muovono i fluidi. Governano aria, acqua, sangue, meteo e turbolenza.

Ma questo sito non riguarda il fatto che le equazioni funzionino o meno. Funzionano, e hanno un enorme successo nelle applicazioni. La vera domanda è quella dietro il Premio del Millennio Clay: se si parte da un flusso 3D perfettamente liscio, resta liscio per sempre? Oppure può esplodere?

Nessuno lo sa. Questo rende il problema straordinario.

Qui sotto separiamo il tema in percorsi distinti: le equazioni, lo stato attuale risolto o aperto, l’enunciato formale di Clay, gli ostacoli matematici, le riduzioni standard e le strategie di dimostrazione tentate.

Questo sito è incentrato sul problema della regolarità globale per Navier-Stokes incomprimibile 3D su $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{T}^3$ .

L’equazione è

$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$

Nel contesto Clay, consideriamo dati iniziali lisci a divergenza nulla, o rapidamente decrescenti su $\mathbb{R}^3$ oppure lisci e periodici su $\mathbb{T}^3$ . La domanda: tali dati producono sempre una soluzione liscia globale unica, oppure la regolarità può rompersi in tempo finito? La teoria di Leray del 1934 fornisce soluzioni deboli globali. Regolarità globale e unicità in tre dimensioni? Ancora aperte.

Le sezioni seguenti distinguono la PDE stessa, l’enunciato formale Clay, gli ostacoli di scaling, i sottoproblemi standard e gli approcci che hanno plasmato il campo.

Feed ricerca/arXiv (Aggiornato 14 luglio 2026)

Un carosello aggiornato ogni giorno con articoli arXiv nuovi, rivisti e cross-listati su temi Navier-Stokes.

13 lug 2026 Nuovo physics.flu-dyn

Coherence as Thermodynamic Organization: Toward a Non-Equilibrium Turbulence Theory

Sharath S. Girimaji

Since the foundational studies in the late nineteenth century, fluid turbulence has stood as a profound, unsolved challenge in classical physics.