Navier-Stokes spiegato: equazioni, Premio Clay e stato

Le equazioni di Navier-Stokes descrivono come si muovono i fluidi. Governano aria, acqua, sangue, meteo e turbolenza.

Ma questo sito non riguarda il fatto che le equazioni funzionino o meno. Funzionano, e hanno un enorme successo nelle applicazioni. La vera domanda è quella dietro il Premio del Millennio Clay: se si parte da un flusso 3D perfettamente liscio, resta liscio per sempre? Oppure può esplodere?

Nessuno lo sa. Questo rende il problema straordinario.

Qui sotto separiamo il tema in percorsi distinti: le equazioni, lo stato attuale risolto o aperto, l’enunciato formale di Clay, gli ostacoli matematici, le riduzioni standard e le strategie di dimostrazione tentate.

Questo sito è incentrato sul problema della regolarità globale per Navier-Stokes incomprimibile 3D su $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{T}^3$.

L’equazione è

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

Nel contesto Clay, consideriamo dati iniziali lisci a divergenza nulla, o rapidamente decrescenti su $\mathbb{R}^3$ oppure lisci e periodici su $\mathbb{T}^3$. La domanda: tali dati producono sempre una soluzione liscia globale unica, oppure la regolarità può rompersi in tempo finito? La teoria di Leray del 1934 fornisce soluzioni deboli globali. Regolarità globale e unicità in tre dimensioni? Ancora aperte.

Le sezioni seguenti distinguono la PDE stessa, l’enunciato formale Clay, gli ostacoli di scaling, i sottoproblemi standard e gli approcci che hanno plasmato il campo.