Che cosa sono le equazioni di Navier-Stokes?

Le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono il moto di fluidi viscosi come l'acqua e l'aria.

Sono usate per descrivere l'acqua in un tubo, l'aria intorno all'ala di un aeroplano, il sangue in un'arteria e innumerevoli altri flussi.

A grandi linee, dicono che: un fluido cambia il proprio moto a causa della pressione, della viscosità e di qualunque forza agisca su di esso. La pressione spinge il fluido, la viscosità smussa le differenze brusche nel moto e forze esterne come la gravità possono guidare il flusso.

Queste equazioni non sono solo uno slogan della fisica. Sono il linguaggio operativo di gran parte della dinamica dei fluidi, dell'ingegneria e della simulazione computazionale.

Le equazioni di Navier-Stokes sono le equazioni di bilancio della quantità di moto per un fluido newtoniano viscoso. Nel caso incomprimibile, accoppiano il campo di velocità $u(x,t)$ e la pressione $p(x,t)$ attraverso un sistema di PDE non lineari.

A rigore, Navier-Stokes è un sistema di equazioni piuttosto che una singola equazione. Modellano la conservazione della quantità di moto insieme alla legge costitutiva secondo cui lo sforzo viscoso è proporzionale al gradiente simmetrico della velocità. L'incomprimibilità aggiunge il vincolo che il volume sia preservato localmente.

Per il problema del millennio del Clay e per la maggior parte di questo sito, l'ambientazione rilevante è il sistema incomprimibile 3D.

Nella loro forma comune più semplice, le equazioni hanno questo aspetto:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Qui:

• $u$ è la velocità del fluido
• $p$ è la pressione
• $\nu$ è la viscosità cinematica
• $f$ è una qualunque forza esterna, come la gravità

Il lato sinistro descrive come la velocità cambia nel tempo e come il fluido trasporta il proprio moto. Il lato destro contiene le forze che spingono e regolarizzano il flusso.

Il sistema di Navier-Stokes incomprimibile su $\mathbb{R}^3$ è

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

I termini hanno interpretazioni standard:

• $\partial_t u$: variazione temporale locale
• $(u \cdot \nabla)u$: avvezione non lineare, cioè il fluido trasporta la propria velocità
• $-\nabla p$: forza di pressione
• $\nu \Delta u$: diffusione viscosa
• $f$: forzante esterna
• $\nabla \cdot u = 0$: vincolo di incomprimibilità

Questa è la forma usata in tutte le pagine del sito sul problema del millennio, sulla difficoltà e sulle strategie di dimostrazione.

Le equazioni derivano da un'idea semplice: applicare la seconda legge di Newton a una minuscola particella di fluido. La massa di quella particella moltiplicata per la sua accelerazione deve essere uguale alla forza totale che agisce su di essa.

Per un fluido viscoso, queste forze provengono principalmente dalla pressione e dall'attrito interno. Quando si scrive con cura questo bilancio in ogni punto del fluido, si ottengono le equazioni di Navier-Stokes.

Dunque le equazioni non sono arbitrarie. Sono una versione della meccanica dei continui di forza uguale massa per accelerazione. Per la derivazione completa passo per passo, vedi Come si derivano le equazioni di Navier-Stokes.

La derivazione parte dalla conservazione della quantità di moto per un continuo. Si scrive il bilancio della quantità di moto lineare su un volume materiale e poi si localizza l'identità per ottenere una PDE.

Per un fluido newtoniano incomprimibile, il tensore degli sforzi di Cauchy ha la forma

$$T = -pI + 2\mu D(u), \qquad D(u)=\frac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T),$$

dove $\mu$ è la viscosità dinamica. Sostituendo questa legge costitutiva nell'equazione della quantità di moto e dividendo per la densità si ottiene il familiare sistema incomprimibile con viscosità cinematica $\nu = \mu/\rho$.

Nel caso incomprimibile standard a densità costante, l'equazione di continuità si riduce a $\nabla \cdot u = 0$. Per la derivazione completa dal bilancio della quantità di moto e dalla legge costitutiva newtoniana, vedi Derivazione.

La parte difficile è il termine non lineare $(u \cdot \nabla)u$. Il fluido non si limita a rispondere alle forze esterne; si spinge anche da sé. Questo feedback è ciò che rende possibili la turbolenza e moti dall'aspetto caotico.

In due dimensioni spaziali, le equazioni si comportano molto meglio. In tre dimensioni, non sappiamo ancora se ogni flusso iniziale liscio resti liscio per sempre.

Ecco perché queste equazioni sono famose ben oltre l'ingegneria: conducono direttamente al Problema del millennio di Navier-Stokes.

La principale difficoltà analitica è che la stima di energia naturale è più debole dello scaling dell'equazione 3D. In parole povere, il controllo standard $L^2$ non è abbastanza forte da escludere concentrazioni su scale molto piccole.

Questa è l'origine del divario tra ciò che è noto per le soluzioni deboli globali e ciò che servirebbe per dimostrare la regolarità globale. Il termine di avvezione non lineare è supercritico rispetto all'energia: il controllo naturale a livello dell'energia è supercritico rispetto allo scaling dell'equazione, quindi è troppo debole per escludere concentrazioni a piccole scale.

Per una discussione più completa, vedi Perché è difficile e Approcci.

Le equazioni di Navier-Stokes sono usate ogni giorno nella scienza e nell'ingegneria. Applicazioni tipiche includono:

• flusso d'aria intorno ad ali e veicoli
• modelli meteorologici e climatici
• circolazione oceanica
• trasporto industriale di fluidi
• flusso sanguigno e altri problemi di trasporto biologico

In pratica, si risolvono numericamente approssimazioni di queste equazioni, spesso con ulteriori ipotesi di modellizzazione. Questo successo pratico è uno dei motivi per cui le questioni matematiche ancora aperte sono così notevoli.

Il lavoro applicato usa tipicamente approssimazioni numeriche di Navier-Stokes o di modelli correlati in regimi specifici: flusso incomprimibile, flusso comprimibile, chiusure per la turbolenza, approssimazioni di strato limite e modelli ridotti.

La simulazione numerica diretta, la large-eddy simulation e le chiusure mediate alla Reynolds risalgono tutte allo stesso quadro di PDE del continuo, ma non eliminano la questione fondamentale della regolarità in tre dimensioni.

Questa separazione tra efficacia pratica e teoria incompleta è parte di ciò che rende l’argomento così affascinante.

Se la tua domanda principale è se il problema sia risolto, inizia da Il problema di Navier-Stokes è risolto?.

Se vuoi capire la posta in gioco matematica più ampia, continua con Il problema del millennio.

Se vuoi capire in che cosa Navier-Stokes differisce dalle equazioni di Euler inviscide e perché la viscosità è importante, leggi Euler vs. Navier-Stokes.

Se vuoi l’intuizione fisica alla base della turbolenza e delle piccole scale, leggi Numero di Reynolds, turbolenza e perché le piccole scale contano.

Se vuoi conoscere i principali ostacoli, vai a Perché è difficile.

Passi successivi naturali su questo sito:

• Il problema di Navier-Stokes è risolto? per la questione dello stato dell’arte e la distinzione tra esistenza debole e teoria globale liscia
• Il problema del millennio per la formulazione precisa del Clay
• Euler vs. Navier-Stokes per il ruolo della viscosità e le differenze chiave tra sistemi inviscidi e viscosi
• Navier-Stokes incomprimibile vs. comprimibile per la differenza tra formulazioni a densità costante e a densità variabile
• Numero di Reynolds, turbolenza e perché le piccole scale contano per l’intuizione a livello di regime dietro i flussi multiscala
• Perché è difficile per scaling, supercriticità e scenari di blowup