Was sind die Navier-Stokes-Gleichungen?

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein System partieller Differentialgleichungen, das die Bewegung viskoser Fluide wie Wasser und Luft beschreibt.

Sie werden verwendet, um Wasser in einem Rohr, Luft um einen Flugzeugflügel, Blut in einer Arterie und unzählige andere Strömungen zu beschreiben.

Auf einer übergeordneten Ebene besagen sie: Ein Fluid ändert seine Bewegung aufgrund von Druck, Viskosität und allen auf es wirkenden Kräften. Druck treibt Fluid umher, Viskosität glättet scharfe Unterschiede in der Bewegung, und äußere Kräfte wie die Schwerkraft können die Strömung antreiben.

Diese Gleichungen sind nicht nur ein physikalisches Schlagwort. Sie sind die Arbeitssprache großer Teile der Fluiddynamik, des Ingenieurwesens und der numerischen Simulation.

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind die Impulsbilanzgleichungen für ein viskoses Newtonsches Fluid. Im inkompressiblen Fall koppeln sie das Geschwindigkeitsfeld $u(x,t)$ und den Druck $p(x,t)$ durch ein nichtlineares PDE-System.

Streng genommen sind die Navier-Stokes-Gleichungen ein System von Gleichungen und nicht eine einzelne Gleichung. Sie modellieren die Erhaltung des Impulses zusammen mit dem Materialgesetz, dass die viskose Spannung proportional zum symmetrischen Geschwindigkeitsgradienten ist. Inkompressibilität fügt die Nebenbedingung hinzu, dass Volumen lokal erhalten bleibt.

Für das Clay-Millennium-Problem und für den Großteil dieser Website ist der relevante Rahmen das 3D-inkompressible System.

In ihrer einfachsten gebräuchlichen Form sehen die Gleichungen so aus:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Hier gilt:

• $u$ ist die Geschwindigkeit des Fluids
• $p$ ist der Druck
• $\nu$ ist die kinematische Viskosität
• $f$ ist eine äußere Kraft, etwa die Schwerkraft

Die linke Seite beschreibt, wie sich die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert und wie das Fluid seine eigene Bewegung transportiert. Die rechte Seite enthält die Kräfte, die die Strömung antreiben und glätten.

Das inkompressible Navier-Stokes-System auf $\mathbb{R}^3$ lautet

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

Die Terme haben Standardinterpretationen:

• $\partial_t u$: lokale zeitliche Änderung
• $(u \cdot \nabla)u$: nichtlineare Advektion, das heißt, das Fluid transportiert seine eigene Geschwindigkeit
• $-\nabla p$: Druckkraft
• $\nu \Delta u$: viskose Diffusion
• $f$: äußere Kraft
• $\nabla \cdot u = 0$: Inkompressibilitätsbedingung

Dies ist die Form, die auf den Seiten dieser Website zum Millennium-Problem, zur Schwierigkeit und zu Beweisstrategien durchgehend verwendet wird.

Die Gleichungen gehen von einer einfachen Idee aus: Man wendet Newtons zweites Gesetz auf ein winziges Fluidteilchen an. Die Masse dieses Teilchens mal seine Beschleunigung muss der gesamten auf es wirkenden Kraft entsprechen.

Bei einem viskosen Fluid stammen diese Kräfte hauptsächlich von Druck und innerer Reibung. Schreibt man diese Bilanz an jedem Punkt im Fluid sorgfältig auf, erhält man die Navier-Stokes-Gleichungen.

Die Gleichungen sind also nicht willkürlich. Sie sind eine kontinuumsmechanische Version von Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Die vollständige schrittweise Herleitung finden Sie unter Wie die Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet werden.

Die Herleitung beginnt mit der Impulserhaltung für ein Kontinuum. Man schreibt die Bilanz des linearen Impulses für ein materielles Volumen auf und lokalisiert anschließend die Identität, um eine PDE zu erhalten.

Für ein Newtonsches inkompressibles Fluid hat der Cauchy-Spannungstensor die Form

$$T = -pI + 2\mu D(u), \qquad D(u)=\frac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T),$$

wobei $\mu$ die dynamische Viskosität ist. Setzt man dieses Materialgesetz in die Impulsgleichung ein und dividiert durch die Dichte, erhält man das vertraute inkompressible System mit kinematischer Viskosität $\nu = \mu/\rho$.

Im standardmäßigen inkompressiblen Fall mit konstanter Dichte reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf $\nabla \cdot u = 0$. Die vollständige Herleitung aus der Impulsbilanz und dem Newtonschen Materialgesetz finden Sie unter Herleitung.

Der schwierige Teil ist der nichtlineare Term $(u \cdot \nabla)u$. Das Fluid reagiert nicht nur auf äußere Kräfte; es treibt sich auch selbst umher. Diese Rückkopplung macht Turbulenz und chaotisch wirkende Bewegung möglich.

In zwei Raumdimensionen verhalten sich die Gleichungen deutlich besser. In drei Dimensionen wissen wir immer noch nicht, ob jede glatte Anfangsströmung für immer glatt bleibt.

Deshalb sind diese Gleichungen weit über das Ingenieurwesen hinaus berühmt: Sie führen direkt zum Navier-Stokes-Millennium-Problem.

Die analytische Hauptschwierigkeit besteht darin, dass die natürliche Energieabschätzung schwächer ist als die Skalierung der 3D-Gleichung. Grob gesagt ist die standardmäßige $L^2$-Kontrolle nicht stark genug, um Konzentration auf sehr kleinen Skalen auszuschließen.

Dies ist die Quelle der Lücke zwischen dem, was für globale schwache Lösungen bekannt ist, und dem, was zum Beweis globaler Glattheit nötig wäre. Der nichtlineare Advektionsterm ist energie-superkritisch: Die natürliche Kontrolle auf Energieniveau ist bezüglich der Skalierung der Gleichung superkritisch und daher zu schwach, um Konzentration auf kleinen Skalen auszuschließen.

Eine ausführlichere Diskussion finden Sie unter Warum es schwierig ist und Ansätze.

Die Navier-Stokes-Gleichungen werden täglich in Wissenschaft und Technik verwendet. Typische Anwendungen sind:

• Luftströmung um Flügel und Fahrzeuge
• Wetter- und Klimamodelle
• Ozeanzirkulation
• industrieller Fluidtransport
• Blutströmung und andere biologische Transportprobleme

In der Praxis löst man Näherungen dieser Gleichungen numerisch, oft mit zusätzlichen Modellannahmen. Dieser praktische Erfolg ist ein Grund, warum die verbleibenden mathematischen Fragen so bemerkenswert sind.

Angewandte Arbeiten verwenden typischerweise numerische Näherungen der Navier-Stokes-Gleichungen oder verwandter Modelle in bestimmten Regimen: inkompressible Strömung, kompressible Strömung, Turbulenzabschlüsse, Grenzschichtnäherungen und reduzierte Modelle.

Direkte numerische Simulation, Large-Eddy-Simulation und Reynolds-gemittelte Abschlüsse gehen alle auf denselben kontinuumsmechanischen PDE-Rahmen zurück, beseitigen aber nicht die grundlegende Regularitätsfrage in drei Dimensionen.

Diese Kluft zwischen praktischer Wirksamkeit und unvollständiger Theorie ist ein Teil dessen, was das Gebiet so faszinierend macht.

Wenn Ihre Hauptfrage ist, ob das Problem gelöst ist, beginnen Sie mit Ist das Navier-Stokes-Problem gelöst?.

Wenn Sie die weitreichende mathematische Bedeutung verstehen möchten, fahren Sie fort mit Das Millennium-Problem.

Wenn Sie verstehen möchten, wie sich Navier-Stokes von den inviskosen Euler-Gleichungen unterscheidet und warum Viskosität wichtig ist, lesen Sie Euler vs. Navier-Stokes.

Wenn Sie die physikalische Intuition hinter Turbulenz und kleinen Skalen verstehen möchten, lesen Sie Reynolds-Zahl, Turbulenz und warum kleine Skalen wichtig sind.

Wenn Sie die Haupthindernisse kennenlernen möchten, gehen Sie zu Warum es schwierig ist.

Natürliche nächste Schritte auf dieser Website:

• Ist das Navier-Stokes-Problem gelöst? zur Statusfrage und zur Unterscheidung zwischen schwacher Existenz und globaler glatter Theorie
• Das Millennium-Problem zur präzisen Clay-Formulierung
• Euler vs. Navier-Stokes zur Rolle der Viskosität und zu den zentralen Unterschieden zwischen inviskosen und viskosen Systemen
• Inkompressible vs. kompressible Navier-Stokes-Gleichungen zum Unterschied zwischen Formulierungen mit konstanter Dichte und mit variabler Dichte
• Reynolds-Zahl, Turbulenz und warum kleine Skalen wichtig sind zur Intuition auf Regimeebene hinter Mehrskalenströmungen
• Warum es schwierig ist zu Skalierung, Superkritikalität und Blow-up-Szenarien