¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de fluidos viscosos como el agua y el aire.

Se utilizan para describir el agua en una tubería, el aire alrededor del ala de un avión, la sangre en una arteria y muchos otros flujos.

En un nivel alto, dicen: un fluido cambia su movimiento debido a la presión, la viscosidad y cualquier fuerza que actúe sobre él. La presión empuja el fluido, la viscosidad suaviza las diferencias marcadas en el movimiento y las fuerzas externas, como la gravedad, pueden impulsar el flujo.

Estas ecuaciones no son sólo un eslogan de física. Son el lenguaje de trabajo de gran parte de la dinámica de fluidos, la ingeniería y la simulación computacional.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son las ecuaciones de equilibrio de momento para un fluido newtoniano viscoso. En el entorno incompresible, acoplan el campo de velocidad $u(x,t)$ y la presión $p(x,t)$ a través de un sistema de EDP no lineal.

Estrictamente hablando, Navier-Stokes es un sistema de ecuaciones en lugar de una sola ecuación. Modelan la conservación del impulso junto con la ley constitutiva de que la tensión viscosa es proporcional al gradiente de velocidad simétrico. La incompresibilidad añade la restricción de que el volumen se conserva localmente.

Para el problema de del Milenio de Clay y para la mayor parte de este sitio, la configuración relevante es el sistema 3D incompresible.

En su forma común más simple, las ecuaciones se ven así:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Aquí:

• $u$ es la velocidad del fluido
• $p$ es la presión
• $\nu$ es la viscosidad cinemática
• $f$ es cualquier fuerza externa, como la gravedad

El lado izquierdo describe cómo la velocidad cambia en el tiempo y cómo el fluido transporta su propio movimiento. El lado derecho contiene las fuerzas que empujan y suavizan el flujo.

El sistema incompresible de Navier-Stokes en $\mathbb{R}^3$ es

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

Los términos tienen interpretaciones estándar:

• $\partial_t u$: variación horaria local
• $(u \cdot \nabla)u$: advección no lineal, lo que significa que el fluido transporta su propia velocidad
• $-\nabla p$: fuerza de presión
• $\nu \Delta u$: viscoso difusión
• $f$: forzamiento externo
• $\nabla \cdot u = 0$: restricción de incompresibilidad

Esta es la forma utilizada en las páginas del sitio sobre el problema, la dificultad y las estrategias de prueba del Milenio.

Las ecuaciones surgen de una idea simple: aplicar la segunda ley de Newton a una pequeña porción de fluido. La masa de ese paquete multiplicada por su aceleración debe igualar la fuerza total que actúa sobre él.

Para un fluido viscoso, esas fuerzas provienen principalmente de la presión y la fricción interna. Cuando escribes ese equilibrio cuidadosamente en cada punto del fluido, obtienes las ecuaciones de Navier-Stokes.

Así que las ecuaciones no son arbitrarias. Son una versión de mecánica continua de la fuerza es igual a la masa por la aceleración. Para obtener la derivación completa paso a paso, consulte Cómo se derivan las ecuaciones de Navier-Stokes.

La derivación comienza a partir de la conservación del impulso para un continuo. Se escribe el equilibrio del momento lineal en un volumen de material y luego se localiza la identidad para obtener una EDP.

Para un fluido incompresible newtoniano, el tensor de tensión de Cauchy tiene la forma

$$T = -pI + 2\mu D(u), \qquad D(u)=\frac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T),$$

donde $\mu$ es la viscosidad dinámica. Sustituyendo esta ley constitutiva en la ecuación de momento y dividiéndola por la densidad se obtiene el conocido sistema incompresible con viscosidad cinemática $\nu = \mu/\rho$.

En el entorno estándar incompresible de densidad constante, la ecuación de continuidad se reduce a $\nabla \cdot u = 0$. Para obtener la derivación completa del equilibrio de impulso y la ley constitutiva de Newton, consulte Derivación.

La parte difícil es el término no lineal $(u \cdot \nabla)u$. El fluido no sólo responde a fuerzas externas; también se empuja a sí mismo. Esa retroalimentación es lo que hace posible la turbulencia y el movimiento de aspecto caótico.

En dos dimensiones espaciales, las ecuaciones se comportan mucho mejor. En tres dimensiones, todavía no sabemos si todo flujo inicial suave seguirá siendo suave para siempre.

Es por eso que estas ecuaciones son famosas mucho más allá de la ingeniería: conducen directamente al Problema del Milenio de Navier-Stokes.

La principal dificultad analítica es que la estimación de la energía natural es más débil que la escala de la ecuación 3D. En términos generales, el control estándar $L^2$ no es lo suficientemente fuerte como para descartar una concentración a muy pequeña escala.

Esta es la fuente de la brecha entre lo que se conoce como soluciones globales débiles y lo que se necesitaría para demostrar la suavidad global. El término de advección no lineal es supercrítico en energía: el control natural del nivel de energía es supercrítico con respecto a la escala de la ecuación, por lo que es demasiado débil para descartar la concentración a escalas pequeñas.

Para una discusión más completa, consulte Por qué es difícil y Enfoques.

Las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan todos los días en ciencia e ingeniería. Las aplicaciones típicas incluyen:

• flujo de aire alrededor de alas y vehículos
• modelos meteorológicos y climáticos
• circulación oceánica
• transporte de fluidos industriales
• flujo sanguíneo y otros problemas de transporte biológico

En la práctica, las personas resuelven aproximaciones de estas ecuaciones numéricamente, a menudo con suposiciones de modelado adicionales. Ese éxito práctico es una de las razones por las que las cuestiones matemáticas restantes son tan sorprendentes.

El trabajo aplicado normalmente utiliza aproximaciones numéricas de Navier-Stokes o modelos relacionados bajo regímenes específicos: flujo incompresible, flujo compresible, cierres de turbulencia, aproximaciones de capa límite y modelos reducidos.

La simulación numérica directa, la simulación de grandes remolinos y los cierres promediados de Reynolds se remontan al mismo marco de EDP continuo, pero no eliminan la cuestión fundamental de la regularidad en tres dimensiones.

Esta división entre efectividad práctica y la teoría incompleta es parte de lo que hace que el tema sea tan convincente.

Si su pregunta principal es si el problema está resuelto, comience con ¿Está resuelto el problema de Navier-Stokes?.

Si desea conocer los retos matemáticos generales, continúe con El problema del Milenio.

Si quiere comprender en qué se diferencia Navier-Stokes de las ecuaciones invisibles de Euler y por qué es importante la viscosidad, lea Euler vs. Navier-Stokes.

Si desea conocer la intuición física detrás de la turbulencia y las pequeñas escalas, lea Número de Reynolds, Turbulencias y por qué son importantes las pequeñas escalas.

Si desea conocer los obstáculos principales, vaya a Por qué es difícil.

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