Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

Cada derivación de Navier-Stokes comienza con la misma idea: aplicar la segunda ley de Newton a una pequeña porción de fluido en movimiento. La fuerza es igual a la masa por la aceleración. Ese es el punto de partida básico.

Elige una pequeña gota de agua, aire o cualquier otro fluido. Tiene algo de masa. Sobre él actúan fuerzas: la presión lo aprieta por todos lados, la fricción interna lo tira, la gravedad lo tira hacia abajo. Newton dice que la fuerza neta determina cómo se acelera la masa.

Pero una masa fluida no es una bola de billar. Se deforma al moverse. Se estira, se retuerce y se distorsiona mientras sigue la corriente. Entonces, la "aceleración" no es tan simple como rastrear un solo objeto. Necesitamos seguir la masa a través de todo eso.

Piénsalo de esta manera: imagina estar sentado en una canoa en un río. Tu aceleración depende de cómo cambia la corriente en el tiempo en tu ubicación, y del hecho de que la corriente te lleva a regiones donde el flujo es más rápido o más lento. Ambos efectos contribuyen a cómo cambia tu velocidad.

Escribir este equilibrio para cada punto del fluido simultáneamente nos da el punto de partida de la derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes.

La derivación de la ecuación de Navier-Stokes comienza con la ecuación del momento de Cauchy: la forma mecánica continua de la segunda ley de Newton aplicada a un volumen de material $\Omega(t)$ que se mueve con el fluido.

Para un fluido con densidad $\rho$ y campo de velocidad $u(x,t)$, conservación del momento lineal estados

$$\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)} \rho\, u\, dV = \int_{\partial\Omega(t)} T\, n\, dS + \int_{\Omega(t)} \rho\, f\, dV,$$

donde $T$ es el tensor de tensión de Cauchy, $n$ es la unidad normal exterior y $f$ representa fuerzas corporales por unidad de masa (típicamente gravedad).

La localización con el teorema de transporte de Reynolds da la forma diferencial

$$\rho\frac{Du}{Dt} = \nabla \cdot T + \rho f,$$

donde la derivada del material

$$\frac{Du}{Dt} = \partial_t u + (u \cdot \nabla)u$$

captura tanto la tasa de cambio de la hora local como la aceleración convectiva. Esto es $ma = F$ en cada punto del continuo.

Tres tipos de fuerzas aparecen en la derivación de la ecuación de Navier-Stokes:

1. Fuerzas de presión. El fluido empuja el paquete desde todas las direcciones. Si la presión es mayor en un lado que en el otro, el paquete es empujado hacia el lado de baja presión. Este desequilibrio es capturado por el gradiente de presión $-\nabla p$: un vector que apunta desde la presión alta a la baja, indicando al fluido qué camino tomar.

2. Fuerzas viscosas. Las capas adyacentes de fluido que se mueven a diferentes velocidades se arrastran entre sí. Las capas más rápidas arrastran a las vecinas más lentas; las capas más lentas retienen a las más rápidas. Esta fricción interna suaviza las diferencias de velocidad. Para un fluido simple como el agua, la fuerza de esta fricción se reduce a un solo número: la viscosidad $\mu$.

3. Fuerzas externas. Cualquier cosa que actúe sobre el fluido desde el exterior, más comúnmente la gravedad. Estas son fuerzas corporales: actúan sobre cada partícula de fluido en el volumen, no solo en la superficie.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son lo que se obtiene cuando se escribe "masa multiplicada por aceleración = fuerza de presión + fuerza viscosa + fuerza externa" en cada punto.

El tensor de tensión de Cauchy $T$ codifica todas las fuerzas de contacto internas. Para cualquier fluido, se descompone en una parte de presión isotrópica y una parte desviatoria (viscosa):

$$T = -pI + \tau,$$

donde $p$ es la presión mecánica (definida como $-\tfrac{1}{3}\mathrm{tr}\,T$ para flujo compresible) y $\tau$ es el tensor de tensión viscosa.

Presión gradiente. Al aplicar el teorema de la divergencia a $-pI$ se obtiene la fuerza $-\nabla p$ por unidad de volumen. Esta es la parte isotrópica de la divergencia de tensiones.

Esfuerzo viscoso. El tensor $\tau$ depende de la ley constitutiva específica que relaciona el estrés con la velocidad de deformación. Su divergencia $\nabla \cdot \tau$ da la fuerza viscosa por unidad de volumen. La forma de $\tau$ aún no se especifica aquí; eso proviene del supuesto del fluido newtoniano en la siguiente sección.

Fuerzas corporales. Las fuerzas externas como la gravedad entran como $\rho f$ por unidad de volumen. Sustituyendo la descomposición de tensiones en la ecuación de momento de Cauchy se obtiene

$$\rho\frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f.$$

Esta es la ecuación de momento general para cualquier fluido simple, newtoniano o no. Para cerrar el sistema, necesitamos una ley constitutiva que especifique $\tau$.

No todos los fluidos se comportan de la misma manera bajo estrés. La miel resiste el movimiento de manera diferente que el agua. El ketchup se vuelve más líquido cuando lo agitas. La maicena mezclada con agua se vuelve más rígida cuando la golpeas.

Las ecuaciones de Navier-Stokes parten de una suposición específica: el fluido es newtoniano. Esto significa que la fricción interna es directamente proporcional a la rapidez con la que se deforma el fluido. Duplica la tasa de deformación, duplica la tensión. Es una relación lineal.

El agua y el aire están muy bien modelados como newtonianos. Pero esto es una suposición, no una consecuencia de las leyes de Newton. La derivación lo requiere. Sin él, se obtiene una clase de ecuaciones completamente diferente (modelos de fluidos no newtonianos).

La constante de proporcionalidad es la viscosidad dinámica $\mu$. Es una propiedad del material que mide cuánto resiste un fluido al corte. Agua: baja viscosidad. Miel: alta viscosidad.

También hay un segundo parámetro de viscosidad $\lambda$, a veces llamado segundo coeficiente de viscosidad, que importa cuando el fluido se comprime o expande. Una simplificación adicional común, la hipótesis de Stokes, establece $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$. Esta es una suposición adicional, no un teorema.

La ley constitutiva de un fluido newtoniano supone que la tensión viscosa $\tau$ es una función lineal e isotrópica del tensor de tasa de deformación $D(u) = \tfrac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T)$. Según el teorema de representación de funciones tensoriales isotrópicas, la ley más general es

$$\tau = 2\mu\, D(u) + \lambda (\nabla \cdot u)\, I,$$

escrito de manera equivalente como

$$\tau = \mu(\nabla u + \nabla u^T) + \lambda(\nabla \cdot u)\, I,$$

donde $\mu > 0$ es la viscosidad dinámica (de corte) y $\lambda$ es el segundo coeficiente de viscosidad.

Esta es la suposición que define un fluido newtoniano. No se deriva de primeros principios; es una hipótesis constitutiva validada empíricamente para muchos fluidos comunes.

La hipótesis de Stokes postula además que $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, lo que hace que la viscosidad aparente $\kappa = \lambda + \frac{2}{3}\mu$ desaparezca. Esta simplificación se utiliza ampliamente, pero es una suposición independiente, no una consecuencia de la termodinámica ni de la hipótesis newtoniana en sí. La teoría cinética clásica predice una viscosidad aparente cero para gases ideales monoatómicos bajo supuestos idealizados; para muchos gases y líquidos reales, la hipótesis de Stokes es sólo aproximada.

La restricción termodinámica de la desigualdad de Clausius-Duhem requiere sólo $\mu \geq 0$ y $3\lambda + 2\mu \geq 0$ (equivalentemente, $\kappa \geq 0$).

Ahora juntamos las piezas. Tenemos:

• Masa multiplicada por aceleración a la izquierda (la derivada material de la velocidad)
• Presión, fricción viscosa y gravedad a la derecha
• La regla del fluido newtoniano que conecta la fricción con la velocidad de deformación

Sustituyendo y simplificando se obtiene la ecuación del momento compresible de Navier-Stokes:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u\Big) = -\nabla p + \mu\, \Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho\, f$$

Cada término tiene un significado físico:

• $\rho\,\partial_t u$: cómo cambia la velocidad en un punto fijo tiempo
• $\rho(u \cdot \nabla) u$: el fluido lleva su propia velocidad de un lugar a otro (advección)
• $-\nabla p$: presión que empuja de mayor a menor
• $\mu\,\Delta u$: viscosidad que suaviza las diferencias de velocidad
• $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$: un término extra viscoso que solo importa cuando el fluido se comprime o expande
• $\rho f$: fuerzas externas como la gravedad

Esa es la ecuación de momento completa. Combínelo con la conservación de la masa y una ecuación de estado (que vincula la presión con la densidad) y obtendrá el sistema compresible de Navier-Stokes.

Sustituyendo la ley constitutiva newtoniana $\tau = 2\mu D(u) + \lambda(\nabla \cdot u)I$ en la ecuación de momento $\rho \frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f$ y calculando la divergencia de $\tau$:

$$\nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \big[\mu(\nabla u + \nabla u^T)\big] + \nabla\big[\lambda(\nabla \cdot u)\big].$$

Si $\mu$ y $\lambda$ son constantes (un supuesto estándar para muchas derivaciones), esto se simplifica a

$$\nabla \cdot \tau = \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u),$$

usando la identidad del vector $\nabla \cdot (\nabla u^T) = \nabla(\nabla \cdot u)$. La ecuación de momento compresible de Navier-Stokes es entonces

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho f.$$

Esto debe combinarse con conservación de masa (la ecuación de continuidad)

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

y una ecuación de estado $p = p(\rho, \theta)$ (o una ecuación de energía) para cerrar el sistema. Con la hipótesis de Stokes $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, el coeficiente $\mu + \lambda = \frac{1}{3}\mu$. Para obtener una comparación detallada con el sistema incompresible, consulte Navier-Stokes incompresible versus compresible.

Agua en una tubería. Corrientes de aire lentas. Circulación oceánica. Estos flujos involucran fluidos cuya densidad se mantiene esencialmente constante. Hacer esa simplificación transforma las ecuaciones generales en algo mucho más limpio.

Densidad constante significa que $\rho$ no cambia, en ningún lugar, nunca. La conservación de la masa entonces fuerza $\nabla \cdot u = 0$: el fluido no puede comprimirse ni expandirse. Esta es la restricción de incompresibilidad.

Esta simplificación elimina un término por completo. El término extra viscoso $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ desaparece por completo. El segundo coeficiente de viscosidad $\lambda$ desaparece. Simplemente no importa cuando el fluido no se puede comprimir. La ecuación del momento se convierte en:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u\Big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f$$

Dividir ambos lados por $\rho$, escribir $\nu = \mu / \rho$ (la viscosidad cinemática) y redefinir presión para absorber el factor $1/\rho$ da la forma estándar:

$$\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Este es el sistema estudiado en el Problema del Milenio de la arcilla. Es la versión que encontrará en este sitio y en la mayoría de los tratamientos matemáticos de Navier-Stokes. Para una comparación detallada con el sistema comprimible, consulte Navier-Stokes incompresible versus comprimible.

Establezca $\nu = 0$ (sin viscosidad alguna) y obtendrá las ecuaciones de Euler, una ecuación relacionada pero sistema muy diferente.

Una especialización incompresible común supone una densidad constante $\rho$ en todo el flujo. La ecuación de continuidad $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u) = 0$ luego fuerza a $\nabla \cdot u = 0$. De manera más general, la incompresibilidad está codificada por $\nabla \cdot u = 0$ (equivalentemente $D\rho/Dt = 0$ a través de la continuidad), lo que permite una densidad variable en principio, pero el caso de densidad constante es la configuración estándar para el problema de Clay.

Bajo incompresibilidad, el término $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ desaparece de manera idéntica. El segundo coeficiente de viscosidad $\lambda$ se vuelve irrelevante: ni la hipótesis de Stokes ni ninguna otra suposición sobre $\lambda$ importan para el sistema incompresible. La ecuación del momento se reduce a

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f.$$

Dividiendo por $\rho$ y definiendo la viscosidad cinemática $\nu = \mu/\rho$ (con $p$ redefinido para absorber el factor $1/\rho$) produce el sistema incompresible de Navier-Stokes en $\mathbb{R}^3$:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0) = u_0(x).$$

Este es el sistema estudiado en el Problema del Milenio de Clay (Fefferman, 2000). El problema oficial tiene que ver con la regularidad global para datos iniciales suaves y libres de divergencia en $\mathbb{R}^3$ (o $\mathbb{T}^3$) en la formulación estándar de Clay (Fefferman, 2000).

La presión $p$ no es una variable dinámica independiente: se determina (hasta una constante) tomando la divergencia de la ecuación del momento y usando $\nabla \cdot u = 0$, lo que produce una ecuación de Poisson $\Delta p = -\nabla \cdot [(u \cdot \nabla)u] + \nabla \cdot f$ (o $\Delta p = -\partial_i \partial_j(u_i u_j)$ cuando $f$ está libre de divergencia o ausente). Este acoplamiento elíptico es una característica distintiva del sistema incompresible.

Establecer $\nu = 0$ recupera las ecuaciones de Euler incompresibles. La relación entre estos dos sistemas es fundamental para muchas cuestiones abiertas en la dinámica de fluidos matemática.

La derivación nos da las ecuaciones de Navier-Stokes. Nos dice qué son y por qué toman la forma que adoptan. Cada término se remonta a un principio físico o una suposición explícita.

Pero derivar las ecuaciones no es lo mismo que comprender sus soluciones. La derivación no responde:

• ¿Existen siempre las soluciones para siempre?
• Si comienzan sin problemas, ¿se mantienen suaves?
• ¿Puede la velocidad aumentar hasta el infinito en un tiempo finito?

Estas son preguntas sobre el comportamiento matemático de las ecuaciones, no sobre su origen físico. En tres dimensiones, todavía están abiertos. Esa brecha es el Problema del Milenio de Clay: si los datos 3D incompresibles de Navier-Stokes suaves siempre producen soluciones globales suaves, o si las singularidades pueden formarse en un tiempo finito.

Las ecuaciones datan del siglo XIX, y el Instituto de Matemáticas Clay ha ofrecido un premio de 1 millón de dólares desde 2000 para una resolución del problema moderno de regularidad.

La derivación establece las ecuaciones de Navier-Stokes como un sistema de EDP bien motivado basado en la conservación del impulso y la ley constitutiva newtoniana. No aborda la cuestión central del buen planteamiento matemático.

Específicamente, la derivación no dice nada sobre:

• Existencia global: si las soluciones suaves persisten para todo $t > 0$ dados datos iniciales suaves.
• Regularidad: si las soluciones permanecen en $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ o pueden desarrollar singularidades.
• Unicidad: si las soluciones en varios entornos de espacio funcional son únicas.

La teoría de Leray (1934) garantiza la existencia global de soluciones débiles en $L^2$, pero la unicidad y regularidad de las soluciones de Leray-Hopf siguen sin demostrarse en 3D. La brecha entre las estimaciones de energía disponible y la escala de la no linealidad es el corazón analítico de la dificultad.

El Problema del Milenio de Clay pide precisamente una prueba o refutación de la regularidad global en $\mathbb{R}^3$. La derivación motiva el sistema EDP, pero no resuelve la existencia, regularidad o unicidad en 3D.

Ahora que has visto de dónde vienen las ecuaciones:

• ¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes? para las ecuaciones en sí, con una explicación término por término
• Incompresible versus compresible Navier-Stokes para saber qué cambia cuando varía la densidad y por qué el caso incompresible es especial
• Euler vs. Navier-Stokes para saber qué sucede cuando se elimina la viscosidad por completo
• El problema del milenio para la pregunta abierta eso hace famosas estas ecuaciones

Páginas relacionadas para estudio adicional:

• ¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes? para los formularios estándar con una discusión detallada de cada término
• Navier-Stokes incompresible versus comprimible para el comprimible completo sistema, cierres barotrópicos y el límite de número de Mach bajo
• Euler vs. Navier-Stokes para el límite invisible, el papel de $\nu$ y el problema de la viscosidad evanescente
• Existencia y suavidad de Navier-Stokes por la formulación precisa de Clay, resultados conocidos y preguntas abiertas