Derivação das Equações de Navier-Stokes

Toda derivação de Navier-Stokes começa com a mesma ideia: aplicar a segunda lei de Newton a uma pequena parcela de fluido em movimento. Força é igual a massa vezes aceleração. Esse é o ponto de partida básico.

Escolha uma pequena porção de água, ar ou qualquer outro fluido. Ela tem alguma massa. Forças atuam sobre ela: a pressão a comprime de todos os lados, o atrito interno a puxa, a gravidade a empurra para baixo. Newton diz que a força resultante determina como a porção acelera.

Mas uma parcela de fluido não é uma bola de bilhar. Ela se deforma enquanto se move. Ela se estica, torce, distorce enquanto acompanha o escoamento. Então "aceleração" não é tão simples quanto rastrear um único objeto. Precisamos seguir a porção através de tudo isso.

Pense desta forma: imagine estar sentado em uma canoa em um rio. Sua aceleração depende de como a corrente muda no tempo em sua localização, e do fato de que a corrente está levando você para regiões onde o escoamento é mais rápido ou mais lento. Ambos os efeitos contribuem para como sua velocidade muda.

Escrever esse balanço para cada ponto no fluido simultaneamente nos dá o ponto de partida da derivação das equações de Navier-Stokes.

A derivação da equação de Navier-Stokes começa com a equação de momento de Cauchy: a forma da mecânica do contínuo da segunda lei de Newton aplicada a um volume material $\Omega(t)$ movendo-se com o fluido.

Para um fluido com densidade $\rho$ e campo de velocidade $u(x,t)$, a conservação de momento linear estabelece

$$\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)} \rho\, u\, dV = \int_{\partial\Omega(t)} T\, n\, dS + \int_{\Omega(t)} \rho\, f\, dV,$$

onde $T$ é o tensor de tensão de Cauchy, $n$ é a normal unitária externa, e $f$ representa forças de corpo por unidade de massa (tipicamente gravidade).

Localizando com o teorema de transporte de Reynolds obtemos a forma diferencial

$$\rho\frac{Du}{Dt} = \nabla \cdot T + \rho f,$$

onde a derivada material

$$\frac{Du}{Dt} = \partial_t u + (u \cdot \nabla)u$$

captura tanto a taxa de variação temporal local quanto a aceleração convectiva. Isto é $ma = F$ em cada ponto no contínuo.

Três tipos de forças aparecem na derivação da equação de Navier-Stokes:

1. Forças de pressão. O fluido empurra a parcela de todas as direções. Se a pressão é maior de um lado do que do outro, a parcela é empurrada em direção ao lado de baixa pressão. Esse desequilíbrio é capturado pelo gradiente de pressão $-\nabla p$: um vetor apontando da alta pressão para a baixa, dizendo ao fluido para qual direção ir.

2. Forças viscosas. Camadas adjacentes de fluido movendo-se a velocidades diferentes arrastam umas às outras. Camadas mais rápidas puxam vizinhas mais lentas; camadas mais lentas seguram as mais rápidas. Esse atrito interno suaviza diferenças de velocidade. Para um fluido simples como água, a intensidade desse atrito se resume a um único número: a viscosidade $\mu$.

3. Forças externas. Qualquer coisa atuando sobre o fluido de fora, mais comumente a gravidade. Estas são forças de corpo: elas atuam em cada porção de fluido no volume, não apenas na superfície.

As equações de Navier-Stokes são o que você obtém quando escreve "massa vezes aceleração = força de pressão + força viscosa + força externa" em cada ponto.

O tensor de tensão de Cauchy $T$ codifica todas as forças de contato internas. Para qualquer fluido, ele se decomõe em uma parte de pressão isotrópica e uma parte desviadora (viscosa):

$$T = -pI + \tau,$$

onde $p$ é a pressão mecânica (definida como $-\tfrac{1}{3}\mathrm{tr}\,T$ para escoamento compressível) e $\tau$ é o tensor de tensão viscosa.

Gradiente de pressão. Aplicando o teorema da divergência a $-pI$ obtemos a força $-\nabla p$ por unidade de volume. Esta é a parte isotrópica da divergência da tensão.

Tensão viscosa. O tensor $\tau$ depende da lei constitutiva específica relacionando tensão à taxa de deformação. Sua divergência $\nabla \cdot \tau$ fornece a força viscosa por unidade de volume. A forma de $\tau$ ainda não está especificada aqui; isso vem da hipótese de fluido newtoniano na próxima seção.

Forças de corpo. Forças externas como a gravidade entram como $\rho f$ por unidade de volume. Substituindo a decomposição da tensão na equação de momento de Cauchy obtemos

$$\rho\frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f.$$

Esta é a equação de momento geral para qualquer fluido simples, newtoniano ou não. Para fechar o sistema, precisamos de uma lei constitutiva especificando $\tau$.

Nem todos os fluidos se comportam da mesma maneira sob tensão. O mel resiste ao movimento de forma diferente da água. O ketchup fica mais fluido quando você o agita. Amido de milho misturado com água fica mais rígido quando você o golpeia.

As equações de Navier-Stokes fazem uma hipótese específica: o fluido é newtoniano. Isso significa que o atrito interno é diretamente proporcional à rapidez com que o fluido está sendo deformado. Dobre a taxa de deformação, dobre a tensão. É uma relação linear.

Água e ar são muito bem modelados como newtonianos. Mas esta é uma hipótese, não uma consequência das leis de Newton. A derivação a requer. Sem ela, você obtém uma classe diferente de equações (modelos de fluidos não newtonianos).

A constante de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica $\mu$. É uma propriedade do material medindo o quanto um fluido resiste ao cisalhamento. Água: baixa viscosidade. Mel: alta viscosidade.

Há também um segundo parâmetro de viscosidade $\lambda$, às vezes chamado de segundo coeficiente de viscosidade, que importa quando o fluido comprime ou expande. Uma simplificação adicional comum, a hipótese de Stokes, estabelece $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$. Esta é uma hipótese adicional, não um teorema.

A lei constitutiva para um fluido newtoniano assume que a tensão viscosa $\tau$ é uma função linear e isotrópica do tensor de taxa de deformação $D(u) = \tfrac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T)$. Pelo teorema de representação para funções tensoriais isotrópicas, a lei mais geral é

$$\tau = 2\mu\, D(u) + \lambda (\nabla \cdot u)\, I,$$

equivalentemente escrita como

$$\tau = \mu(\nabla u + \nabla u^T) + \lambda(\nabla \cdot u)\, I,$$

onde $\mu > 0$ é a viscosidade dinâmica (de cisalhamento) e $\lambda$ é o segundo coeficiente de viscosidade.

Esta é a hipótese definidora de um fluido newtoniano. Ela não é derivada de primeiros princípios; é uma hipótese constitutiva validada empiricamente para muitos fluidos comuns.

A hipótese de Stokes postula adicionalmente que $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, o que faz a viscosidade volumétrica $\kappa = \lambda + \frac{2}{3}\mu$ desaparecer. Esta simplificação é amplamente usada mas é uma hipótese independente, não uma consequência da termodinâmica ou da própria hipótese newtoniana. A teoria cinética clássica prevê viscosidade volumétrica zero para gases ideais monoatômicos sob hipóteses idealizadas; para muitos gases e líquidos reais, a hipótese de Stokes é apenas aproximada.

A restrição termodinâmica da desigualdade de Clausius-Duhem requer apenas $\mu \geq 0$ e $3\lambda + 2\mu \geq 0$ (equivalentemente, $\kappa \geq 0$).

Agora juntamos as peças. Temos:

• Massa vezes aceleração à esquerda (a derivada material da velocidade)
• Pressão, atrito viscoso e gravidade à direita
• A regra de fluido newtoniano conectando atrito à taxa de deformação

Substituindo e simplificando obtemos a equação de momento de Navier-Stokes compressível:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u\Big) = -\nabla p + \mu\, \Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho\, f$$

Cada termo tem um significado físico:

• $\rho\,\partial_t u$: como a velocidade em um ponto fixo muda ao longo do tempo
• $\rho(u \cdot \nabla) u$: o fluido carregando sua própria velocidade de lugar para lugar (advecção)
• $-\nabla p$: pressão empurrando do alto para o baixo
• $\mu\,\Delta u$: viscosidade suavizando diferenças de velocidade
• $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$: um termo viscoso extra que só importa quando o fluido comprime ou expande
• $\rho f$: forças externas como gravidade

Essa é a equação de momento completa. Combine-a com conservação de massa e uma equação de estado (ligando pressão à densidade), e você tem o sistema de Navier-Stokes compressível.

Substituindo a lei constitutiva newtoniana $\tau = 2\mu D(u) + \lambda(\nabla \cdot u)I$ na equação de momento $\rho \frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f$ e calculando a divergência de $\tau$:

$$\nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \big[\mu(\nabla u + \nabla u^T)\big] + \nabla\big[\lambda(\nabla \cdot u)\big].$$

Se $\mu$ e $\lambda$ são constantes (uma hipótese padrão para muitas derivações), isto simplifica para

$$\nabla \cdot \tau = \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u),$$

usando a identidade vetorial $\nabla \cdot (\nabla u^T) = \nabla(\nabla \cdot u)$. A equação de momento de Navier-Stokes compressível é então

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho f.$$

Esta deve ser acoplada com conservação de massa (a equação de continuidade)

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

e uma equação de estado $p = p(\rho, \theta)$ (ou uma equação de energia) para fechar o sistema. Com a hipótese de Stokes $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, o coeficiente $\mu + \lambda = \frac{1}{3}\mu$. Para uma comparação detalhada com o sistema incompressível, veja Navier-Stokes Incompressível vs. Compressível.

Água em um cano. Correntes de ar lentas. Circulação oceânica. Esses escoamentos envolvem fluidos cuja densidade permanece essencialmente constante. Fazer essa simplificação transforma as equações gerais em algo muito mais limpo.

Densidade constante significa que $\rho$ não muda, em lugar nenhum, nunca. A conservação de massa então força $\nabla \cdot u = 0$: o fluido não pode comprimir ou expandir. Esta é a restrição de incompressibilidade.

Esta simplificação remove um termo inteiramente. O termo viscoso extra $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ desaparece completamente. O segundo coeficiente de viscosidade $\lambda$ cai fora. Ele simplesmente não importa quando o fluido não pode comprimir. A equação de momento torna-se:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u\Big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f$$

Dividindo ambos os lados por $\rho$, escrevendo $\nu = \mu / \rho$ (a viscosidade cinemática), e redefinindo a pressão para absorver o fator $1/\rho$ obtemos a forma padrão:

$$\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Este é o sistema estudado no Problema do Milênio Clay. É a versão que você encontrará ao longo deste site e na maioria dos tratamentos matemáticos de Navier-Stokes. Para uma comparação completa com o sistema compressível, veja Navier-Stokes Incompressível vs. Compressível.

Defina $\nu = 0$ (sem viscosidade alguma) e você obtém as equações de Euler, um sistema relacionado mas importantemente diferente.

Uma especialização incompressível comum assume densidade constante $\rho$ ao longo do escoamento. A equação de continuidade $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u) = 0$ então força $\nabla \cdot u = 0$. Mais geralmente, incompressibilidade é codificada por $\nabla \cdot u = 0$ (equivalentemente $D\rho/Dt = 0$ através da continuidade), o que permite densidade variável em princípio, mas o caso de densidade constante é o cenário padrão para o problema Clay.

Sob incompressibilidade, o termo $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ desaparece identicamente. O segundo coeficiente de viscosidade $\lambda$ torna-se irrelevante: nem a hipótese de Stokes nem qualquer outra hipótese sobre $\lambda$ importa para o sistema incompressível. A equação de momento reduz-se a

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f.$$

Dividindo por $\rho$ e definindo a viscosidade cinemática $\nu = \mu/\rho$ (com $p$ redefinida para absorver o fator $1/\rho$) obtemos o sistema de Navier-Stokes incompressível em $\mathbb{R}^3$:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0) = u_0(x).$$

Este é o sistema estudado no Problema do Milênio Clay (Fefferman, 2000). O problema oficial diz respeito à regularidade global para dados iniciais suaves livres de divergência em $\mathbb{R}^3$ (ou $\mathbb{T}^3$) na formulação padrão Clay (Fefferman, 2000).

A pressão $p$ não é uma variável dinâmica independente: ela é determinada (a menos de uma constante) tomando a divergência da equação de momento e usando $\nabla \cdot u = 0$, resultando em uma equação de Poisson $\Delta p = -\nabla \cdot [(u \cdot \nabla)u] + \nabla \cdot f$ (ou $\Delta p = -\partial_i \partial_j(u_i u_j)$ quando $f$ é livre de divergência ou ausente). Este acoplamento elíptico é uma característica distintiva do sistema incompressível.

Definindo $\nu = 0$ recuperamos as equações de Euler incompressíveis. A relação entre esses dois sistemas é central para muitas questões abertas em dinâmica de fluidos matemática.

A derivação nos dá as equações de Navier-Stokes. Ela nos diz o que elas são e por que elas tomam a forma que tomam. Cada termo remonta a um princípio físico ou a uma hipótese explícita.

Mas derivar as equações não é o mesmo que entender suas soluções. A derivação não responde:

• As soluções sempre existem para todo tempo?
• Se elas começam suaves, elas permanecem suaves?
• A velocidade pode explodir para infinito em tempo finito?

Estas são questões sobre o comportamento matemático das equações, não sua origem física. Em três dimensões, elas ainda estão abertas. Essa lacuna é o Problema do Milênio Clay: se dados suaves de Navier-Stokes incompressível 3D sempre produzem soluções globais suaves, ou se singularidades podem se formar em tempo finito.

As equações datam do século XIX, e o Clay Mathematics Institute oferece um prêmio de $1 milhão desde 2000 para uma resolução do problema moderno de regularidade.

A derivação estabelece as equações de Navier-Stokes como um sistema de EDP bem motivado fundamentado na conservação de momento e na lei constitutiva newtoniana. Ela não aborda a questão central de boa colocação matemática.

Especificamente, a derivação é silenciosa sobre:

• Existência global: Se soluções suaves persistem para todo $t > 0$ dados dados iniciais suaves.
• Regularidade: Se soluções permanecem em $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ ou podem desenvolver singularidades.
• Unicidade: Se soluções em vários cenários de espaços de funções são únicas.

A teoria de Leray (1934) garante existência global de soluções fracas em $L^2$, mas unicidade e regularidade de soluções de Leray-Hopf permanecem não provadas em 3D. A lacuna entre as estimativas de energia disponíveis e o escalonamento da não linearidade é o coração analítico da dificuldade.

O Problema do Milênio Clay pergunta precisamente por uma prova ou refutação da regularidade global em $\mathbb{R}^3$. A derivação motiva o sistema de EDP, mas não resolve existência, regularidade ou unicidade em 3D.

Agora que você viu de onde as equações vêm:

• O Que São as Equações de Navier-Stokes? para as próprias equações, com explicação termo a termo
• Navier-Stokes Incompressível vs. Compressível para o que muda quando a densidade varia, e por que o caso incompressível é especial
• Euler vs. Navier-Stokes para o que acontece quando você remove a viscosidade inteiramente
• O Problema do Milênio para a questão aberta que torna essas equações famosas

Páginas relacionadas para estudo adicional:

• O Que São as Equações de Navier-Stokes? para as formas padrão com discussão detalhada de cada termo
• Navier-Stokes Incompressível vs. Compressível para o sistema compressível completo, fechamentos barotrópicos e o limite de baixo número de Mach
• Euler vs. Navier-Stokes para o limite invíscido, o papel de $\nu$, e o problema de viscosidade evanescente
• Existência e Suavidade de Navier-Stokes para a formulação precisa Clay, resultados conhecidos e questões abertas