Navier-Stokes 方程式推導：從動量守恆到非壓縮系統

方程式從何而來：從 Newton 第二定律到 Clay 千禧年問題背後的非壓縮系統之逐步推導

流體的 Newton 第二定律

每一個 Navier-Stokes 推導 都始於同一個想法：將 Newton 第二定律套用到一小塊正在運動的流體。力等於質量乘以加速度。這就是基本的起點。

取一小團水、空氣或任何其他流體。它有一定的質量。各種力作用在它上面：壓力從四面八方擠壓它，內部摩擦拉扯它，重力把它往下拉。Newton 告訴我們，淨力決定這團流體如何加速。

但流體質點不是撞球。它在運動時會變形。它隨著流動伸展、扭轉、變形。因此，「加速度」並不像追蹤單一物體那麼簡單。我們需要在所有這些變化中跟隨這團流體。

可以這樣想：想像你坐在河上的獨木舟裡。你的加速度取決於你所在位置的水流如何隨時間改變，以及 水流正把你帶到流速較快或較慢的區域這件事。這兩種效應都會影響你的速度如何改變。

同時在流體中的每一點寫下這個平衡式，就得到 Navier-Stokes 方程式推導 的起點。

Navier-Stokes 方程式推導 始於 Cauchy 動量方程式：這是將 Newton 第二定律套用於一個物質體積時，在連續介質力學中的形式，該物質體積$\Omega(t)$ 隨流體一起運動。

對於密度為 $\rho$ 且速度場為 $u(x,t)$ 的流體，線動量守恆表明

$$\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)} \rho\, u\, dV = \int_{\partial\Omega(t)} T\, n\, dS + \int_{\Omega(t)} \rho\, f\, dV,$$

其中 $T$ 是 Cauchy 應力張量，$n$ 是外向單位法向量，而 $f$ 表示單位質量所受的體力（通常為重力）。

利用 Reynolds 輸運定理將其局部化，可得微分形式

$$\rho\frac{Du}{Dt} = \nabla \cdot T + \rho f,$$

其中 物質導數

$$\frac{Du}{Dt} = \partial_t u + (u \cdot \nabla)u$$

同時捕捉局部時間變化率與對流加速度。這就是連續介質中每一點上的 $ma = F$。

流體質點上的力

在 Navier-Stokes 方程式的推導中，會出現三類力：

1. 壓力。 流體從每個方向推擠這個質點。如果一側的壓力高於另一側，質點就會被推向低壓的一側。這種不平衡由壓力梯度 $-\nabla p$刻畫：它是一個從高壓指向低壓的向量，告訴流體該往哪個方向運動。

2. 粘性力。 以不同速度運動的相鄰流體層會彼此拖曳。較快的流層拉著較慢的鄰近流層前進；較慢的流層則拖住較快的流層。這種內部摩擦會抹平速度差異。對水這樣的簡單流體而言，這種摩擦的強度可歸結為一個數：粘性 $\mu$。

3. 外力。 從外部作用在流體上的任何力，最常見的是重力。這些是體力：它們作用於體積中的每一小部分流體，而不只是作用在表面。

Navier-Stokes 方程式就是在每一點寫下「質量乘以加速度 = 壓力 + 粘性力 + 外力」所得到的結果。

Cauchy 應力張量 $T$ 編碼了所有內部接觸力。對任何流體而言，它可分解為各向同性的壓力部分與偏差（粘性）部分：

$$T = -pI + \tau,$$

其中 $p$ 是機械壓力（對壓縮流定義為 $-\tfrac{1}{3}\mathrm{tr}\,T$）而 $\tau$ 是粘性應力張量。

壓力梯度。 對 $-pI$ 套用散度定理，得到單位體積所受的力 $-\nabla p$。這是應力散度的各向同性部分。

粘性應力。 張量 $\tau$ 取決於將應力與形變率相聯繫的具體本構律。它的散度 $\nabla \cdot \tau$ 給出單位體積所受的粘性力。$\tau$ 的形式在此仍未指定；它將由下一節的 Newtonian 流體假設給出。

體力。 重力等外力以單位體積 $\rho f$ 的形式進入。將應力分解代入 Cauchy 動量方程式可得

$$\rho\frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f.$$

這是任何簡單流體的一般動量方程式，無論它是否為 Newtonian。為了封閉系統，我們需要指定 $\tau$ 的本構律。

Newtonian 流體假設

並非所有流體在受應力時都表現相同。蜂蜜抗拒運動的方式不同於水。番茄醬在搖晃時會變得較稀。玉米澱粉加水後，在你敲打它時會變得更硬。

Navier-Stokes 方程式作出一個特定假設：流體是Newtonian。這表示內部摩擦與流體變形的速度成正比。變形速率加倍，應力也加倍。這是一種線性關係。

水和空氣都能很好地以 Newtonian 流體來建模。但這是一個假設，不是 Newton 定律的推論。推導需要這個假設。沒有它，就會得到完全不同的一類方程式（非 Newtonian 流體模型）。

這個比例常數是動力粘度 $\mu$。它是一種材料性質，用來衡量流體抵抗剪切的程度。水：低粘度。蜂蜜：高粘度。

還有第二個粘度參數$\lambda$，有時稱為第二粘度係數，在流體壓縮或膨脹時會起作用。一個常見的進一步簡化，Stokes 假設，令$\lambda = -\frac{2}{3}\mu$。這是一個額外假設，不是定理。

本構律對 Newtonian 流體假設，粘性應力$\tau$是應變率張量的線性、各向同性函數$D(u) = \tfrac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T)$。根據各向同性張量函數的表示定理，最一般的這類定律是

$$\tau = 2\mu\, D(u) + \lambda (\nabla \cdot u)\, I,$$

等價地可寫為

$$\tau = \mu(\nabla u + \nabla u^T) + \lambda(\nabla \cdot u)\, I,$$

其中$\mu > 0$是動力（剪切）粘度而$\lambda$是第二粘度係數。

這是 Newtonian 流體的定義性假設。它不是從第一原理推導出來的；它是一個本構假設，並已在許多常見流體中得到經驗驗證。

Stokes 假設進一步假定$\lambda = -\frac{2}{3}\mu$，這使得體積粘度$\kappa = \lambda + \frac{2}{3}\mu$消失。這個簡化被廣泛使用，但它是一個獨立假設，並非熱力學或 Newtonian 假設本身的推論。古典動力學理論預測，在理想化假設下，單原子理想氣體的體積粘度為零；但對許多真實氣體與液體而言，Stokes 假設只是近似成立。

來自 Clausius-Duhem 不等式的熱力學約束只要求$\mu \geq 0$以及$3\lambda + 2\mu \geq 0$（等價地，$\kappa \geq 0$）。

組合動量方程式

現在我們把各部分放在一起。我們有：

  • 左邊是質量乘以加速度（速度的物質導數）
  • 右邊是壓力、粘性摩擦與重力
  • Newtonian 流體規則把摩擦與變形速率連結起來

代入並化簡後得到壓縮 Navier-Stokes 動量方程式：

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u\Big) = -\nabla p + \mu\, \Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho\, f$$

每一項都有物理意義：

  • $\rho\,\partial_t u$：固定點處的速度如何隨時間變化
  • $\rho(u \cdot \nabla) u$：流體把自身的速度從一處帶到另一處（平流）
  • $-\nabla p$：壓力由高處推向低處
  • $\mu\,\Delta u$：粘性使速度差異變得平滑
  • $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$：只有在流體壓縮或膨脹時才重要的額外粘性項
  • $\rho f$：像重力這樣的外力

這就是完整的動量方程式。把它與質量守恆和狀態方程式（連結壓力與密度）配對，就得到壓縮 Navier-Stokes 系統。

將 Newtonian 本構律$\tau = 2\mu D(u) + \lambda(\nabla \cdot u)I$代入動量方程式$\rho \frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f$並計算其散度$\tau$：

$$\nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \big[\mu(\nabla u + \nabla u^T)\big] + \nabla\big[\lambda(\nabla \cdot u)\big].$$

若$\mu$且$\lambda$為常數（在許多推導中是標準假設），則可化簡為

$$\nabla \cdot \tau = \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u),$$

使用向量恆等式$\nabla \cdot (\nabla u^T) = \nabla(\nabla \cdot u)$。此時壓縮 Navier-Stokes 動量方程式為

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho f.$$

這必須與質量守恆（連續方程式）

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

以及一個狀態方程式 $p = p(\rho, \theta)$（或一個能量方程式）來封閉此系統。在 Stokes 假設 $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$ 下，係數 $\mu + \lambda = \frac{1}{3}\mu$。若要與非壓縮系統作詳細比較，請參見 非壓縮與壓縮 Navier-Stokes。

非壓縮的特化情形

管中的水。緩慢的氣流。海洋環流。這些流動涉及密度基本保持不變的流體。做出這個簡化後，一般方程式會變成乾淨得多的形式。

常密度 表示 $\rho$ 在任何地方、任何時候都不改變。於是質量守恆迫使 $\nabla \cdot u = 0$：流體不能壓縮或膨脹。這就是 非壓縮性約束。

這個簡化會完全移除一項。額外的粘性項 $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ 會完全消失。第二粘性係數 $\lambda$ 也會消去。當流體不能壓縮時，它根本不起作用。動量方程式變為：

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u\Big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f$$

將兩邊同除以 $\rho$，並記 $\nu = \mu / \rho$（即 運動粘性係數），再重新定義壓力以吸收因子 $1/\rho$，便得到標準形式：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

這就是 Clay 千禧年問題 所研究的系統。這也是你在本站以及多數 Navier-Stokes 的數學處理中會遇到的版本。若要與壓縮系統作詳盡比較，請參見 非壓縮與壓縮 Navier-Stokes。

令 $\nu = 0$（完全沒有粘性），就得到 Euler 方程式，這是一個相關但有重要差異的系統。

常見的非壓縮特化假設整個流動中密度為常數 $\rho$。連續方程式 $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u) = 0$ 於是迫使 $\nabla \cdot u = 0$。更一般地，非壓縮性由 $\nabla \cdot u = 0$（透過連續方程式等價於 $D\rho/Dt = 0$）來表達；原則上這允許可變密度，但常密度情形是 Clay 問題的標準設定。

在非壓縮性之下，項 $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ 恆等消失。第二粘性係數 $\lambda$ 變得無關緊要：無論是 Stokes 假設，或任何其他關於 $\lambda$ 的假設，對非壓縮系統都不起作用。動量方程式化簡為

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f.$$

除以 $\rho$ 並定義 運動粘性係數 $\nu = \mu/\rho$（其中 $p$ 重新定義以吸收因子 $1/\rho$）即可得到 非壓縮 Navier-Stokes 系統 於 $\mathbb{R}^3$ 上：

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0) = u_0(x).$$

這就是 Clay 千禧年問題 所研究的系統（Fefferman, 2000）。官方問題關注標準 Clay 表述中，在 $\mathbb{R}^3$（或 $\mathbb{T}^3$）上，對光滑無散度初始資料的大域正則性（Fefferman, 2000）。

壓力 $p$ 不是一個獨立的動態變數：它由動量方程式取散度並使用 $\nabla \cdot u = 0$ 所決定（差一個常數），從而得到 Poisson 方程式 $\Delta p = -\nabla \cdot [(u \cdot \nabla)u] + \nabla \cdot f$（或 $\Delta p = -\partial_i \partial_j(u_i u_j)$，當 $f$ 無散度或不存在時）。這種橢圓耦合是非壓縮系統的一個顯著特徵。

令 $\nu = 0$ 可恢復非壓縮 Euler 方程式。這兩個系統之間的關係，是數學流體力學中許多開放問題的核心。

這個推導告訴我們什麼，又沒有告訴我們什麼

這個推導給出了 Navier-Stokes 方程式。它告訴我們 是什麼，以及為什麼它們會呈現這樣的形式。每一項都可追溯到某個物理原理或明確假設。

但是，推導方程式並不等同於理解其解。推導並未回答：

  • 解是否總是對所有時間存在？
  • 若它們一開始是光滑的，是否會保持光滑？
  • 速度是否可能在有限時間內爆發到無窮大？

這些是關於方程式數學行為的問題，而不是其物理起源。在三維中，它們仍然是未解問題。這個缺口就是Clay 千禧年問題：光滑的三維非壓縮 Navier-Stokes 初始資料是否總會產生大域光滑解，或者奇異性是否可能在有限時間內形成。

這些方程式可追溯至 19 世紀，而 Clay 數學研究所自 2000 年起提供 100 萬美元獎金，以徵求現代正則性問題的解答。

此推導確立了Navier-Stokes 方程式是一個動機充分的 PDE 系統，其根基在於動量守恆與 Newtonian 本構律。它並未處理數學適定性的核心問題。

具體而言，此推導對以下問題保持沉默：

  • 大域存在性： 給定光滑初始資料時，光滑解是否對所有$t > 0$ 都持續存在。
  • 正則性： 解是否保持在$C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ 中，或可能發展出奇異性。
  • 唯一性： 在各種函數空間設定中的解是否唯一。

Leray 的理論（1934）保證了弱解在$L^2$中的大域存在性，但 Leray-Hopf 解在三維中的唯一性與正則性仍未被證明。現有能量估計與非線性項尺度變換之間的落差，正是此困難在分析上的核心。

Clay 千禧年問題所要求的正是對$\mathbb{R}^3$中大域正則性的證明或反證。推導為此 PDE 系統提供動機，但並未解決三維中的存在性、正則性或唯一性。

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