Navier-Stokes方程推导：从动量守恒到不可压缩系统

每一个纳维-斯托克斯方程的推导都从同一个思想开始:将牛顿第二定律应用于一小团运动的流体。力等于质量乘以加速度。这是基本的出发点。

选取一小团水、空气或任何其他流体。它有一定的质量。力作用在它上面:压力从四面八方挤压它,内部摩擦拖拽它,重力向下拉它。牛顿定律说,净力决定了这团流体如何加速。

但流体微团不是台球。它在运动时会变形。它在随流动而移动时会拉伸、扭曲、变形。所以"加速度"不像追踪单个物体那么简单。我们需要在所有这些过程中跟随这团流体。

这样想:想象你坐在河上的独木舟里。你的加速度取决于你所在位置的水流如何随时间变化,以及水流将你带入流速更快或更慢区域这一事实。这两种效应都对你的速度如何变化有贡献。

为流体中的每一点同时写下这种平衡,就得到了纳维-斯托克斯方程推导的起点。

纳维-斯托克斯方程推导始于柯西动量方程:牛顿第二定律应用于随流体运动的物质体积 $\Omega(t)$ 的连续介质力学形式。

对于密度为 $\rho$、速度场为 $u(x,t)$ 的流体,线动量守恒表述为

$$\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)} \rho\, u\, dV = \int_{\partial\Omega(t)} T\, n\, dS + \int_{\Omega(t)} \rho\, f\, dV,$$

其中 $T$ 是柯西应力张量,$n$ 是向外的单位法向量,$f$ 表示单位质量的体积力(通常是重力)。

利用雷诺输运定理进行局部化,得到微分形式

$$\rho\frac{Du}{Dt} = \nabla \cdot T + \rho f,$$

其中物质导数

$$\frac{Du}{Dt} = \partial_t u + (u \cdot \nabla)u$$

同时捕捉了局部时间变化率和对流加速度。这在连续介质的每一点都是 $ma = F$。

在纳维-斯托克斯方程的推导中出现三种力:

1. 压力。 流体从各个方向推动微团。如果一侧的压力高于另一侧,微团就会被推向低压侧。这种不平衡由压力梯度 $-\nabla p$ 捕捉:一个从高压指向低压的矢量,告诉流体该往哪个方向去。

2. 粘性力。 以不同速度运动的相邻流体层相互拖拽。较快的层拉动较慢的邻层;较慢的层阻碍较快的层。这种内部摩擦平滑了速度差异。对于像水这样的简单流体,这种摩擦的强度归结为一个单一的数:粘度 $\mu$。

3. 外力。 从外部作用于流体的任何力,最常见的是重力。这些是体积力:它们作用于体积内流体的每一部分,而不仅仅是在表面。

纳维-斯托克斯方程就是当你在每一点写下"质量乘以加速度 = 压力 + 粘性力 + 外力"时得到的结果。

柯西应力张量 $T$ 编码了所有内部接触力。对于任何流体,它分解为各向同性的压力部分和偏应力(粘性)部分:

$$T = -pI + \tau,$$

其中 $p$ 是机械压力(对于可压缩流动定义为 $-\tfrac{1}{3}\mathrm{tr}\,T$),$\tau$ 是粘性应力张量。

压力梯度。 对 $-pI$ 应用散度定理,得到单位体积的力 $-\nabla p$。这是应力散度的各向同性部分。

粘性应力。 张量 $\tau$ 取决于将应力与变形率联系起来的特定本构定律。其散度 $\nabla \cdot \tau$ 给出单位体积的粘性力。$\tau$ 的形式在这里仍未确定;这来自下一节中的牛顿流体假设。

体积力。 诸如重力等外力以单位体积 $\rho f$ 的形式进入。将应力分解代入柯西动量方程,得到

$$\rho\frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f.$$

这是任何简单流体(无论是否为牛顿流体)的一般动量方程。为了闭合系统,我们需要指定 $\tau$ 的本构定律。

并非所有流体在应力下的行为都相同。蜂蜜抵抗运动的方式与水不同。番茄酱在摇晃时会变得更稀。玉米淀粉与水的混合物在击打时会变得更硬。

纳维-斯托克斯方程做了一个特定的假设:流体是牛顿流体。这意味着内部摩擦与流体变形的速度成正比。变形率加倍,应力加倍。这是一种线性关系。

水和空气非常适合用牛顿流体来建模。但这是一个假设,而不是牛顿定律的结果。推导需要它。没有它,你会得到完全不同类别的方程(非牛顿流体模型)。

比例常数是动力粘度 $\mu$。它是一个材料属性,衡量流体抵抗剪切的程度。水:低粘度。蜂蜜:高粘度。

还有第二个粘度参数 $\lambda$,有时称为第二粘度系数,当流体压缩或膨胀时很重要。一个常见的进一步简化,斯托克斯假设,设定 $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$。这是一个额外的假设,而不是定理。

牛顿流体的本构定律假设粘性应力 $\tau$ 是应变率张量 $D(u) = \tfrac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T)$ 的线性各向同性函数。根据各向��性张量函数的表示定理,最一般的此类定律是

$$\tau = 2\mu\, D(u) + \lambda (\nabla \cdot u)\, I,$$

等价地写为

$$\tau = \mu(\nabla u + \nabla u^T) + \lambda(\nabla \cdot u)\, I,$$

其中 $\mu > 0$ 是动力(剪切)粘度,$\lambda$ 是第二粘度系数。

这是牛顿流体的定义性假设。它不是从第一性原理推导出来的;它是一个通过许多常见流体的经验验证的本构假说。

斯托克斯假设进一步假定 $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$,这使得体积粘度 $\kappa = \lambda + \frac{2}{3}\mu$ 消失。这种简化被广泛使用,但它是一个独立的假设,而不是热力学或牛顿假设本身的结果。经典动理论预测在理想化假设下单原子理想气体的体积粘度为零;对于许多真实气体和液体,斯托克斯假设只是近似的。

来自克劳修斯-杜亥姆不等式的热力学约束只要求 $\mu \geq 0$ 和 $3\lambda + 2\mu \geq 0$(等价地,$\kappa \geq 0$)。

现在我们把各部分组合起来。我们有:

• 左侧的质量乘以加速度(速度的物质导数)
• 右侧的压力、粘性摩擦和重力
• 连接摩擦与变形率的牛顿流体规则

代入并简化,得到可压缩纳维-斯托克斯动量方程:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u\Big) = -\nabla p + \mu\, \Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho\, f$$

每一项都有物理意义:

• $\rho\,\partial_t u$:固定点的速度如何随时间变化
• $\rho(u \cdot \nabla) u$:流体将其自身的速度从一处携带到另一处(平流)
• $-\nabla p$:压力从高处推向低处
• $\mu\,\Delta u$:粘度平滑速度差异
• $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$:一个额外的粘性项,仅在流体压缩或膨胀时才重要
• $\rho f$:诸如重力等外力

这就是完整的动量方程。将它与质量守恒和状态方程(将压力与密度联系起来)配对,你就得到了可压缩纳维-斯托克斯系统。

将牛顿本构定律 $\tau = 2\mu D(u) + \lambda(\nabla \cdot u)I$ 代入动量方程 $\rho \frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f$,并计算 $\tau$ 的散度:

$$\nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \big[\mu(\nabla u + \nabla u^T)\big] + \nabla\big[\lambda(\nabla \cdot u)\big].$$

如果 $\mu$ 和 $\lambda$ 是常数(许多推导的标准假设),这简化为

$$\nabla \cdot \tau = \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u),$$

利用矢量恒等式 $\nabla \cdot (\nabla u^T) = \nabla(\nabla \cdot u)$。可压缩纳维-斯托克斯动量方程则为

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho f.$$

这必须与质量守恒(连续性方程)耦合

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

以及状态方程 $p = p(\rho, \theta)$(或能量方程)以闭合系统。采用斯托克斯假设 $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$,系数为 $\mu + \lambda = \frac{1}{3}\mu$。有关与不可压缩系统的详细比较,请参见不可压缩与可压缩纳维-斯托克斯方程。

管道中的水。缓慢的气流。海洋环流。这些流动涉及密度基本保持恒定的流体。进行这种简化将一般方程转化为更简洁的形式。

恒定密度意味着 $\rho$ 不会在任何地方、任何时候改变。质量守恒随后强制 $\nabla \cdot u = 0$:流体不能压缩或膨胀。这就是不可压缩性约束��

这种简化完全消除了一项。额外的粘性项 $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ 完全消失。第二粘度系数 $\lambda$ 也消失了。当流体不能压缩时,它根本不重要。动量方程变为:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u\Big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f$$

两边除以 $\rho$,写成 $\nu = \mu / \rho$(运动粘度),并重新定义压力以吸收因子 $1/\rho$,得到标准形式:

$$\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

这是克雷千禧年难题所研究的系统。这是你将在本网站和大多数纳维-斯托克斯数学处理中遇到的版本。有关与可压缩系统的全面比较,请参见不可压缩与可压缩纳维-斯托克斯方程。

设 $\nu = 0$(完全没有粘度),你就得到了欧拉方程,一个相关但重要不同的系统。

常见的不可压缩特化假设整个流动中的密度 $\rho$ 恒定。连续性方程 $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u) = 0$ 随后强制 $\nabla \cdot u = 0$。更一般地,不可压缩性由 $\nabla \cdot u = 0$(通过连续性等价于 $D\rho/Dt = 0$)编码,原则上允许变密度,但恒定密度情况是克雷问题的标准设定。

在不可压缩性下,项 $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ 恒等消失。第二粘度系数 $\lambda$ 变得无关紧要:无论是斯托克斯假设还是关于 $\lambda$ 的任何其他假设对不可压缩系统都不重要。动量方程简化为

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f.$$

除以 $\rho$ 并定义运动粘度 $\nu = \mu/\rho$($p$ 重新定义以吸收因子 $1/\rho$),得到在 $\mathbb{R}^3$ 上的不可压缩纳维-斯托克斯系统:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0) = u_0(x).$$

这是克雷千禧年难题(Fefferman, 2000)所研究的系统。官方问题涉及标准克雷表述(Fefferman, 2000)中 $\mathbb{R}^3$(或 $\mathbb{T}^3$)上光滑无散初始数据的全局正则性。

压力 $p$ 不是独立的动力学变量:它通过对动量方程取散度并使用 $\nabla \cdot u = 0$ 确定(相差一个常数),得到泊松方程 $\Delta p = -\nabla \cdot [(u \cdot \nabla)u] + \nabla \cdot f$(或 $\Delta p = -\partial_i \partial_j(u_i u_j)$,当 $f$ 无散或不存在时)。这种椭圆耦合是不可压缩系统的一个显著特征。

设定 $\nu = 0$ 恢复不可压缩欧拉方程。这两个系统之间的关系是数学流体动力学中许多开放问题的核心。

推导给了我们纳维-斯托克斯方程。它告诉我们它们是什么以及为什么采用这种形式。每一项都可以追溯到一个物理原理或明确的假设。

但推导方程与理解它们的解不是一回事。推导没有回答:

• 解是否总是对所有时间存在?
• 如果它们开始时是光滑的,它们会保持光滑吗?
• 速度能否在有限时间内爆炸到无穷大?

这些是关于方程的数学行为的问题,而不是它们的物理起源。在三维中,它们仍然是开放的。这个差距就是克雷千禧年难题:光滑的三维不可压缩纳维-斯托克斯初始数据是否总是产生全局光滑解,或者奇点是否可能在有限时间内形成。

这些方程可以追溯到19世纪,克雷数学研究所自2000年以来为解决现代正则性问题提供了100万美元的奖金。

推导将纳维-斯托克斯方程确立为基于动量守恒和牛顿本构定律的有充分动机的偏微分方程系统。它没有解决数学适定性的核心问题。

具体而言,推导对以下问题保持沉默:

• 全局存在性: 给定光滑初始数据,光滑解是否对所有 $t > 0$ 持续存在。
• 正则性: 解是否保持在 $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ 中或可能发展出奇点。
• 唯一性: 各种函数空间设定中的解是否唯一。

勒雷理论(1934)保证了 $L^2$ 中弱解的全局存在性,但勒雷-霍普夫解的唯一性和正则性在三维中仍未证明。可用能量估计与非线性项的标度之间的差距是困难的解析核心。

克雷千禧年难题精确地要求证明或反证 $\mathbb{R}^3$ 中的全局正则性。推导激发了偏微分方程系统,但它没有解决三维中的存在性、正则性或唯一性。

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