Navier-Stokes研究进展：已知结果与开放方向

无外力三维Navier–Stokes的全局正则性仍未解决：所宣布的有外力构造并不解决这一问题。以下技术讨论中的正则性和唯一性未解问题，除非明确另述背景，均指无外力系统。

资料状态核查日期：2026-09-12（JST）。9月8日，OpenAI宣布三维不可压Navier–Stokes在光滑外力下发生有限时间爆破，声称满足Clay的选项C和D，并公开了论文稿和Lean形式化。9月11日，Clay表示问题“看来已得到解决”，并说明评估和功劳归属将有意从容进行。这不是颁奖公告，也不是本站对证明的验证。

一手资料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay官方问题陈述.

无外力三维Navier–Stokes的全局正则性仍未解决：所宣布的有外力构造并不解决这一问题。以下技术讨论中的正则性和唯一性未解问题，除非明确另述背景，均指无外力系统。

资料状态核查日期：2026-09-12（JST）。9月8日，OpenAI宣布三维不可压Navier–Stokes在光滑外力下发生有限时间爆破，声称满足Clay的选项C和D，并公开了论文稿和Lean形式化。9月11日，Clay表示问题“看来已得到解决”，并说明评估和功劳归属将有意从容进行。这不是颁奖公告，也不是本站对证明的验证。

一手资料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay官方问题陈述.

重塑该领域的五个结果:

• 1934年,Leray: 证明了对任何合理的初值数据,存在全局时间弱解。某种东西永远持续存在。但它能保持光滑吗?这是Leray无法回答的问题,九十年后,仍然无人能解。
• 1982年,Caffarelli, Kohn, Nirenberg: 可能的奇点集极其微小:在这些方程自然的抛物几何中,它具有零一维测度。微小到极致。如果发生爆破,其稀疏程度超乎想象。
• 1984年,Beale, Kato, Majda: 重大结果。光滑解只有在涡量爆破时才会崩溃,这为整个领域提供了一个精确目标:充分强地控制相关涡量范数,光滑解在该时刻就不会崩溃。
• 2016年,Tao: 构造了一个平均纳维-斯托克斯方程的爆破解,该方程与真实方程具有相同的能量和尺度性质,这意味着真实方程的证明必须使用比能量估计和尺度分析更精细的结构。这是一个障碍,而非解决方案。
• 2022年,Albritton, Brué, Colombo: 当允许外力时,Leray-Hopf弱解不唯一。坏消息:最弱的解类并不像我们希望的那样温顺,这迫使我们重新思考在这一层次上"解"的真正含义。

2026年9月：OpenAI宣布光滑外力下的三维爆破（Clay C/D）；Clay表示问题看来已解决。评估和颁奖是不同阶段。

• 1934年,Leray:对无散初值 $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^3)$,$L^2$ 中弱解的全局存在性,满足能量不等式(J Math Pures Appl)。
• 1982年,Caffarelli–Kohn–Nirenberg (CKN):部分正则性;$\mathcal{P}^1(\mathrm{sing}\, u)=0$,即奇异集的一维抛物Hausdorff测度为零。这仍是我们拥有的最强一般性结果(Comm Pure Appl Math)。
• 1984年,Beale–Kato–Majda (BKM):重塑该领域的延拓准则:在 $[0,T)$ 上的光滑解能延拓过 $T$ 当且仅当 $\int_0^T \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty}\,dt < \infty$,将正则性归结为涡量控制。最初用于Euler方程;后适用于纳维-斯托克斯(Comm Math Phys)。
• 2016年,Tao:对一个平均纳维-斯托克斯方程构造了有限时间爆破,该方程遵循与真实系统相同的能量和尺度性质,意味着任何正则性证明都必须利用更精细的结构(J Amer Math Soc)。
• 2022年,Albritton–Brué–Colombo:带外力的三维纳维-斯托克斯Leray-Hopf解的非唯一性,通过不稳定自相似解构造(Ann of Math)。

2026年9月：OpenAI宣布光滑外力下的三维爆破（Clay C/D）；Clay表示问题看来已解决。评估和颁奖是不同阶段。

本页是地图,而非领土本身。详细内容见:

关于特定研究方向的详细论述:

• 子问题:已解决和部分解决的情形,包括二维全局正则性(Ladyzhenskaya 1959)、无旋转的轴对称、临界空间结果($L^3$, $\dot{H}^{1/2}$, $BMO^{-1}$),以及超越BKM的条件正则性准则。
• 研究途径:正在积极研究的主要证明策略,包括能量与拟能方法、剖面分解、温和解理论、随机纳维-斯托克斯、凸积分方案,以及计算辅助界。

这是公开资料陈述的核查，不是独立的证明审计。仓库将审核标为“self-assessed”（自评）；这不意味着没有其他人检查过。论文稿和Lean提供可检查的材料，不能替代形式化定理与数学陈述对应关系的核验。Clay的评估和颁奖程序与所宣布的数学结果是不同层面的事。

2026-09-12 (JST).

这是公开资料陈述的核查，不是独立的证明审计。仓库将审核标为“self-assessed”（自评）；这不意味着没有其他人检查过。论文稿和Lean提供可检查的材料，不能替代形式化定理与数学陈述对应关系的核验。Clay的评估和颁奖程序与所宣布的数学结果是不同层面的事。

2026-09-12 (JST).