Navier-Stokes存在性与光滑性：Clay千禧年问题陈述

2000年,克雷数学研究所挑选了数学界七个最难的未解问题,并为每个问题悬赏100万美元。纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题名列其中。

本页解释Clay问题陈述：三维非压缩Navier-Stokes的精确问题、允许的初始数据，以及什么算作证明或反例。如果只想看当前状态，请见Navier-Stokes问题解决了吗？

简化后的问题是:流体运动方程是否总能产生光滑、良好的解,还是说解可能会爆破?

至今无人获得这笔奖金。甚至还差得很远。虽然在理解解(或解的崩溃)会是什么样子方面取得了实质性进展,但问题本身仍然完全开放。

Clay千禧年大奖中关于Navier-Stokes方程的问题陈述见Charles Fefferman(2000)的官方问题描述。给出了两种表述,一种在$\mathbb{R}^3$上,另一种在$\mathbb{T}^3$(周期边界条件)上。有效的解答必须解决其中之一。

该奖项要求以下两者之一:

• (A) 存在性与光滑性:证明对于任意$u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$满足$\nabla \cdot u_0 = 0$且具有适当衰减,存在光滑解$(u, p)$对所有$t \geq 0$成立且增长受控。
• (B) 爆破:给出光滑的无散初始数据和光滑的外力,使得不存在对所有$t > 0$成立的光滑解。

以下是问题的实际要求,用通俗语言表达:

设定: 取任意完全光滑(没有尖锐边缘,没有不连续)且在无穷远处衰减为零的初始流体速度。远离作用区域,流体保持静止。

问题: 速度在所有未来时刻是否保持光滑且有限?还是可能会爆破?

两个答案。只有两个。

1. 是,始终光滑。 证明无论你选择什么光滑的初始状态,解永远保持光滑。每个初始条件,每次都是。
2. 否,会发生爆破。 找到一个特定的光滑起始配置,可能配合一个光滑的外力,使得解会崩溃。只需一个就够了。

按照Fefferman在$\mathbb{R}^3$上满足$f \equiv 0$的表述:

假设:设$u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$无散。假设对每个$\alpha$和$K$存在常数$C_{\alpha,K}$使得

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{on } \mathbb{R}^3.$$

结论(待证):存在$p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$和$u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$满足Navier-Stokes方程,$u(x,0) = u_0(x)$,以及能量界

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{for all } t \geq 0.$$

纳维-斯托克斯被列入那份简短名单有三个原因:

• 实际重要性。 这些方程支配着大部分流体动力学:飞行器设计、气候模型、血液流动、洋流。即使没有完整证明,工程师在许多领域成功使用这些方程;开放问题在于3D方程是否总能在数学上得到证明。
• 数学深度。 它同时涉及分析、几何、拓扑和物理。
• 纯粹的顽固性(探索原因)。 超过180年来一些最伟大的数学家的努力,我们仍然不知道答案。

一个聪明的本科生可以在五分钟内陈述这个问题。但无人找到答案。简单陈述与无法触及的证明之间的这种差距,正是千禧年问题的定义。

该问题的难度根源于三维方程的超临界性质。自然的能量估计

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

将$u$置于$L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$中,这低于临界尺度。Navier-Stokes方程在变换

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

下不变,临界空间是$L^3(\mathbb{R}^3)$(或$\dot{H}^{1/2}$)。能量类$L^2$是超临界的。它位于临界尺度阈值之下,本身无法控制小尺度非线性级联,留下了一个所有现有技术都难以弥合的缺口。

关键里程碑:

• 1822年: Navier从分子考虑推导出方程。
• 1845年: Stokes从连续介质力学给出现代推导。
• 1934年: Leray证明"弱"解总是存在。这是巨大的成果,但这些解可能不光滑。
• 1982年: Caffarelli、Kohn和Nirenberg证明奇点(更多关于部分正则性)如果存在,是极其小的:在这些方程自然的抛物几何中,奇异集具有零的一维抛物 Hausdorff 测度。
• 1984年: Beale、Kato和Majda证明(最初针对Euler,纳维-斯托克斯有类似结果)爆破只能在涡度变为无穷时发生。
• 2000年: 克雷将其命名为千禧年问题。
• 今天: 仍然开放。在临界空间方法、I型/II型爆破分类和计算机辅助证明方面的活跃工作。

基础性结果,精选:

• Leray (1934):全局弱解 $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$存在,通过紧性证明。他引入了Leray投影算子和湍流解的概念。随后一切工作的起点。
• Hopf (1951):将Leray的构造推广到有界区域。
• Ladyzhenskaya, Prodi, Serrin (1960年代):正则性准则。若$u \in L^p_t L^q_x$满足$2/p + 3/q \leq 1$且$q > 3$,则解是光滑的。Escauriaza, Seregin和Šverák在2003年解决了端点情形$L^\infty_t L^3_x$。
• Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982):$\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$。奇异集的一维抛物Hausdorff测度为零。
• Beale, Kato, Majda (1984):最初为不可压Euler方程证明:当且仅当$\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$时发生爆破。类似准则对Navier-Stokes方程成立。
• Koch, Tataru (2001):在$\mathrm{BMO}^{-1}$中小数据的局部适定性。这是已知适定性成立的最大临界空间。
• Seregin (2012):在爆破时刻$T^*$,$L^3$范数必发散:当$\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$时$t \to T^*$。这严格强于ESS(2003),后者只证明了一致有界性不可能维持。

本文是问题的一部分。

如果你来这里想知道是否有人已经解决了它,从纳维-斯托克斯问题解决了吗?开始。

然后探索为什么它如此困难,或者看看数学家如何将其分解为子问题。关于2D问题可处理而3D问题仍然开放的结构性原因,参见为什么2D比3D容易。

本文是问题的一部分。

想要关于它是否已被解决的简短答案?参见纳维-斯托克斯问题解决了吗? 该页面还澄清了弱存在性与全局光滑正则性之间的差距。

数学障碍在为什么困难中阐述。关于可处理部分的分解(弱解、部分正则性、爆破分类),参见子问题。关于为什么2D情况已解决而3D未解决,参见为什么2D比3D容易。