Esistenza e regolarità per Navier-Stokes: enunciato del Problema del Millennio Clay

Nel 2000, il Clay Mathematics Institute scelse sette dei problemi irrisolti più difficili della matematica e mise in palio 1 milione di dollari per ciascuno. Il problema di esistenza e regolarità per Navier-Stokes entrò nella lista.

Questa pagina spiega l’enunciato Clay: la domanda esatta su Navier-Stokes 3D incomprimibile, quali dati sono ammessi e che cosa conterebbe come prova o controesempio. Se vuoi solo lo stato attuale, vedi il problema di Navier-Stokes è stato risolto?

La domanda, ridotta all’essenziale: le equazioni del moto dei fluidi producono sempre soluzioni lisce e ben comportate, oppure possono esplodere?

Nessuno ha rivendicato il premio. Neppure lontanamente. Ci sono stati veri progressi nel capire che aspetto avrebbe una soluzione (o una rottura), ma il problema in sé resta completamente aperto.

Il Millennium Prize di Clay per Navier-Stokes è enunciato nella descrizione ufficiale del problema di Charles Fefferman (2000). Sono date due formulazioni, una su $\mathbb{R}^3$ e una su $\mathbb{T}^3$ (condizioni al bordo periodiche). Una soluzione valida deve affrontarne una delle due.

Il premio richiede alternativamente:

• (A) Esistenza e regolarità: Dimostrare che per ogni $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ con $\nabla \cdot u_0 = 0$ e opportuno decadimento, esiste una soluzione liscia $(u, p)$ per ogni $t \geq 0$ con crescita controllata.
• (B) Rottura: Esibire dati iniziali lisci, a divergenza nulla, e una forza esterna liscia per cui non esiste alcuna soluzione liscia per tutti gli $t > 0$.

Ecco che cosa chiede davvero il problema, in parole semplici:

Impostazione: Prendi una qualunque velocità iniziale del fluido perfettamente liscia (senza spigoli, senza discontinuità) e che si annulli all’infinito. Lontano dalla zona interessante, il fluido è fermo.

Domanda: La velocità resta liscia e finita per tutto il tempo futuro? Oppure può esplodere?

Due risposte. Solo due.

1. Sì, sempre liscia. Dimostrare che, qualunque stato iniziale liscio si scelga, la soluzione rimane liscia per sempre. Ogni condizione iniziale, ogni tempo.
2. No, avviene il blow-up. Trovare una specifica configurazione iniziale liscia, eventualmente insieme a una forza esterna liscia, in cui la soluzione si rompe. Ne basta una sola.

Seguendo la formulazione di Fefferman su $\mathbb{R}^3$ con $f \equiv 0$:

Ipotesi: Sia $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ a divergenza nulla. Supponiamo che per ogni $\alpha$ e $K$ esistano costanti $C_{\alpha,K}$ tali che

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{on } \mathbb{R}^3.$$

Conclusione (da dimostrare): Esistono $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ e $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ che soddisfano le equazioni di Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, e il vincolo di energia

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{for all } t \geq 0.$$

Tre cose hanno portato Navier-Stokes in quella rosa ristretta:

• Importanza pratica. Queste equazioni governano gran parte della fluidodinamica: progettazione aeronautica, modelli climatici, flusso sanguigno, correnti oceaniche. Anche senza una dimostrazione completa, gli ingegneri usano con successo queste equazioni in molti regimi; il problema aperto riguarda se le equazioni 3D possano sempre essere giustificate matematicamente.
• Profondità matematica. Chiama in causa simultaneamente analisi, geometria, topologia e fisica.
• Pura ostinazione (scopri perché). Oltre 180 anni di sforzi da parte di alcuni dei più grandi matematici mai esistiti, e ancora non conosciamo la risposta.

Uno studente brillante dei primi anni può enunciare la domanda in cinque minuti. Nessuno ha trovato una risposta. Questo divario tra un enunciato semplice e una dimostrazione irraggiungibile è ciò che definisce un Problema del Millennio.

La difficoltà del problema è radicata nella natura supercritica delle equazioni 3D. La stima naturale dell’energia

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

colloca $u$ in $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, che è al di sotto della scala critica. Le equazioni di Navier-Stokes sono invarianti sotto

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

e lo spazio critico è $L^3(\mathbb{R}^3)$ (o $\dot{H}^{1/2}$). La classe energetica $L^2$ è supercritica. Si trova al di sotto della soglia di scala critica e da sola non controlla la cascata non lineare alle piccole scale, lasciando un divario che tutte le tecniche esistenti faticano a colmare.

Le tappe essenziali:

• 1822: Navier deriva le equazioni da considerazioni molecolari.
• 1845: Stokes dà la derivazione moderna dalla meccanica dei continui.
• 1934: Leray dimostra che soluzioni “deboli” esistono sempre. Un risultato enorme, ma queste soluzioni potrebbero non essere lisce.
• 1982: Caffarelli, Kohn e Nirenberg dimostrano che le singolarità (altro sulla regolarità parziale), se esistono, sono estremamente piccole: nella geometria parabolica naturale per queste equazioni, l’insieme singolare ha misura di Hausdorff parabolica unidimensionale nulla.
• 1984: Beale, Kato e Majda dimostrano (originariamente per Euler, con analoghi per Navier-Stokes) che il blow-up può avvenire solo se la vorticità diventa infinita.
• 2000: Clay lo nomina Problema del Millennio.
• Oggi: Ancora aperto. Lavori attivi su approcci tramite spazi critici, classificazione dei blow-up di Tipo I/II e dimostrazioni assistite dal computer.

Risultati fondamentali, in modo selettivo:

• Leray (1934): soluzioni deboli globali $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ esistono, dimostrate tramite compattezza. Introdusse il proiettore di Leray e il concetto di soluzioni turbolente. Il colpo di partenza per tutto ciò che seguì.
• Hopf (1951): Estese la costruzione di Leray a domini limitati.
• Ladyzhenskaya, Prodi, Serrin (anni 1960): Criteri di regolarità. Se $u \in L^p_t L^q_x$ con $2/p + 3/q \leq 1$, $q > 3$, allora la soluzione è liscia. Escauriaza, Seregin e Šverák risolsero nel 2003 il caso di endpoint $L^\infty_t L^3_x$.
• Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982): $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$. L’insieme singolare ha misura di Hausdorff parabolica unidimensionale nulla.
• Beale, Kato, Majda (1984): Originariamente dimostrato per le equazioni di Euler incomprimibili: il blow-up avviene se e solo se $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$. Criteri analoghi valgono per Navier-Stokes.
• Koch, Tataru (2001): Buona posizione locale per dati piccoli in $\mathrm{BMO}^{-1}$. Questo è il più grande spazio critico in cui sia nota la buona posizione.
• Seregin (2012): In un tempo di blow-up $T^*$, la norma $L^3$ deve divergere: $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ per $t \to T^*$. Stretta­mente più forte di ESS (2003), che mostrava solo il fallimento della limitatezza uniforme.

Questo articolo fa parte di Il problema.

Se sei arrivato qui chiedendoti se qualcuno lo abbia già risolto, inizia da Il problema di Navier-Stokes è stato risolto?.

Poi esplora perché è così difficile, oppure guarda come i matematici lo hanno scomposto in sottoproblemi. Per le ragioni strutturali per cui il problema 2D è trattabile mentre il 3D rimane aperto, vedi Perché il 2D è più facile del 3D.

Questo articolo fa parte di Il problema.

Vuoi la risposta breve sul fatto che sia stato risolto? Vedi Il problema di Navier-Stokes è stato risolto? Quella pagina chiarisce anche il divario tra esistenza debole e regolarità liscia globale.

Gli ostacoli matematici sono esposti in Perché è difficile. Per una decomposizione in parti trattabili (soluzioni deboli, regolarità parziale, classificazione del blow-up), vedi Sottoproblemi. E per capire perché il caso 2D è risolto mentre il 3D no, vedi Perché il 2D è più facile del 3D.