Soluzioni deboli, forti e lisce delle equazioni di Navier-Stokes

Ecco la situazione. Il Premio del Millennio offre un milione di dollari per risolvere se le Navier-Stokes 3D abbiano sempre soluzioni lisce che durano per sempre, oppure se possa verificarsi un blow-up. Liscia significa che il campo di velocità si comporta perfettamente bene: nessun salto improvviso, nessuna velocità infinita, nessun punto in cui la matematica si rompe. Ma il miglior risultato di esistenza che sia mai stato dimostrato, in quasi un secolo di tentativi, garantisce soltanto qualcosa di più debole. Queste si chiamano soluzioni deboli.

Allora che cos'è una soluzione debole? Non è un'approssimazione. Non è "quasi giusta". È una soluzione esatta delle equazioni, ma che segue regole rilassate. Una soluzione normale ("classica") richiede che la velocità sia abbastanza liscia da poterne calcolare il tasso di variazione in ogni singolo punto. Una soluzione debole evita questo requisito. Invece di verificare le equazioni punto per punto, le si verifica "in media" su regioni dello spazio.

Ecco un'analogia. Una soluzione classica è uno studente che risolve ogni problema d'esame mostrando tutti i passaggi, passo dopo passo. Una soluzione debole è uno studente che non può mostrarti i passaggi intermedi, ma le cui risposte finali sono dimostrabilmente corrette per ogni possibile domanda che potresti porre. Non puoi vederlo lavorare, ma le risposte tornano sempre.

Perché accettarlo? Perché a volte le equazioni sono troppo selvagge per le soluzioni classiche. Il fluido potrebbe sviluppare regioni in cui la velocità cambia così bruscamente che semplicemente non si può calcolare lì un tasso di variazione. La matematica si rompe. Le soluzioni deboli permettono di proseguire dove le soluzioni classiche si fermano. Sono la rete di sicurezza che mantiene vive le equazioni quando le cose si fanno difficili.

Il problema: le soluzioni deboli potrebbero non essere uniche. Potresti ottenere più soluzioni deboli a partire dallo stesso identico flusso, e nessuno può dirti quale sia "la vera risposta". Questo è un problema, perché la fisica dice che il fluido dovrebbe fare una cosa specifica, non diverse. E le soluzioni deboli potrebbero non essere lisce. La regolarità è ciò che il Premio del Millennio richiede, ed è ciò che nessuno riesce a dimostrare.

Una soluzione debole delle equazioni di Navier-Stokes sostituisce la PDE puntuale con una formulazione distribuzionale. Consideriamo il sistema incomprimibile su $\mathbb{R}^3 \times (0,T)$:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

Un campo vettoriale a divergenza nulla $u \in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3 \times [0,T))$ è una soluzione debole se per ogni funzione test liscia, a supporto compatto e a divergenza nulla $\varphi$:

$$\int_0^T \!\int_{\mathbb{R}^3} \bigl[-u \cdot \partial_t \varphi - (u \otimes u) : \nabla \varphi - \nu \, u \cdot \Delta \varphi \bigr] \, dx \, dt = \int_{\mathbb{R}^3} u_0 \cdot \varphi(x,0) \, dx.$$

La pressione scompare da questa formulazione perché $\varphi$ è a divergenza nulla. Tutte le derivate sono state spostate da $u$ a $\varphi$ tramite integrazione per parti. Il punto è: $u$ non deve essere differenziabile in senso classico. Deve solo essere abbastanza integrabile perché questi integrali convergano.

La formulazione debole non è un'approssimazione. Una soluzione classica che soddisfa la PDE puntualmente soddisfa anche la formulazione debole per ogni funzione test (integrando per parti nella direzione opposta). Il viceversa fallisce: una soluzione debole non deve necessariamente essere abbastanza liscia da soddisfare la PDE puntualmente.

Questo è importante perché: (1) le soluzioni deboli esistono globalmente per dati iniziali $L^2$ (Leray 1934), mentre per le soluzioni classiche in 3D si sa solo che esistono localmente nel tempo; (2) in generale non si sa se le soluzioni deboli siano uniche; (3) la questione se le soluzioni deboli siano sempre lisce è equivalente al Problema del Millennio Clay per dati iniziali appropriati.

Nel 1934, Jean Leray fece qualcosa che ancora oggi definisce il campo. In un unico articolo di 73 pagine, dimostrò che le soluzioni deboli delle equazioni di Navier-Stokes 3D esistono per ogni tempo, a partire da qualunque flusso iniziale ragionevole. Qualunque. Finché la velocità iniziale non ha energia infinita o non è fisicamente insensata, Leray garantisce che si ottiene una soluzione che dura per sempre. Fu la prima volta che qualcuno dimostrò un risultato di esistenza globale per le equazioni 3D, e più di novant'anni dopo è ancora il più forte teorema di esistenza incondizionato che abbiamo.

La sua strategia era ingegnosa. Le equazioni vere e proprie sono troppo ostiche da risolvere direttamente, a causa del modo in cui la velocità del fluido retroagisce su se stessa (questa è la non linearità). Così Leray sfocò leggermente le equazioni, come aggiungendo a un'immagine un minuscolo filtro gaussiano. Le equazioni sfocate sono abbastanza docili da essere risolte. Poi ridusse la sfocatura verso zero e mostrò che le soluzioni non si disgregano. Si assestano in qualcosa che soddisfa le equazioni originali, non sfocate, in senso debole.

Ma ecco ciò che Leray NON dimostrò. L'unicità. Il suo metodo produce almeno una soluzione debole, ma potrebbero essercene altre a partire dallo stesso flusso. Non poteva escluderlo. Non dimostrò nemmeno la regolarità. Le sue soluzioni hanno energia finita e soddisfano una disuguaglianza di energia: l'attrito può dissipare energia, ma l'energia non può apparire spontaneamente dal nulla. Tutto qui. Niente di più.

Leray stesso sospettava che potessero formarsi singolarità. Abbozzò come una di esse potesse apparire: il fluido che collassa verso un punto, sempre più velocemente, concentrando tutta la sua energia in una regione sempre più minuscola, come un vortice che si restringe a un punto a velocità infinita. Nel 1996, Nečas, Růžička e Šverák dimostrarono che questo esatto collasso auto-similare non può avvenire. L'ipotesi di Leray sulla forma del possibile blow-up era sbagliata. Se il blow-up avvenga davvero, in qualunque forma? Nessuno lo sa.

Nel 1951, Eberhard Hopf estese la costruzione di Leray ai fluidi in contenitori limitati (non solo in tutto lo spazio infinito), e la classe risultante divenne nota come soluzioni deboli di Leray-Hopf: soluzioni deboli che soddisfano la disuguaglianza di energia. Questa è la nozione standard. Quando i ricercatori dicono "soluzioni deboli" senza ulteriori qualificazioni, quasi sempre intendono queste.

Un'altra cosa. Anche all'interno delle soluzioni deboli di Leray-Hopf c'è una sottoclasse più esigente chiamata soluzioni deboli adatte. Queste non soddisfano la disuguaglianza di energia solo globalmente (l'energia totale non cresce). La soddisfano anche localmente: l'energia non può accumularsi di nascosto in un angolo del fluido mentre defluisce da un altro. Caffarelli, Kohn e Nirenberg (CKN) dimostrarono il loro celebre risultato di regolarità parziale nel 1982 specificamente per questa classe più piccola. Non confondere le due cose: CKN si applica alle soluzioni deboli adatte, non a tutte le soluzioni di Leray-Hopf.

L'articolo di Leray del 1934 stabilì quanto segue: per ogni $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^3)$ a divergenza nulla, esiste almeno una soluzione debole $u$ delle equazioni di Navier-Stokes su $\mathbb{R}^3 \times (0,\infty)$ che soddisfa:

• $u \in L^\infty(0,\infty; L^2(\mathbb{R}^3)) \cap L^2(0,\infty; \dot{H}^1(\mathbb{R}^3))$
• La disuguaglianza di energia: $\|u(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \|u_0\|_{L^2}^2$ per q.o. $t > 0$

La costruzione procede per mollificazione. Si sostituisce la non linearità $(u \cdot \nabla)u$ con $(u_\varepsilon \cdot \nabla)u$, dove $u_\varepsilon = J_\varepsilon * u$ è una mollificazione spaziale. Il sistema regolarizzato ha soluzioni lisce globali (la mollificazione elimina il peggio delle interazioni non lineari). Leray ottenne stime di energia uniformi per le soluzioni regolarizzate, poi estrasse una sottosuccessione debolmente convergente. Il limite soddisfa la formulazione debole e la disuguaglianza di energia.

Leray non stabilì l'unicità. L'argomento di compattezza dà l'esistenza di almeno un punto di accumulazione; sottosuccessioni diverse potrebbero convergere a limiti diversi. L'unicità delle soluzioni deboli di Leray-Hopf in 3D rimane aperta ancora oggi.

Hopf (1951) adattò la costruzione a domini limitati $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ con condizioni al bordo di Dirichlet, usando l'approssimazione di Galerkin (proiezione su sottospazi finito-dimensionali) invece della mollificazione. La classe risultante, soluzioni deboli che soddisfano la disuguaglianza di energia, porta entrambi i nomi: soluzioni deboli di Leray-Hopf.

Il teorema di Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1982) riguarda una classe più restrittiva: soluzioni deboli adatte, che soddisfano inoltre una disuguaglianza di energia locale della forma

$$\partial_t \left(\frac{|u|^2}{2}\right) + \nabla \cdot \left(\left(\frac{|u|^2}{2} + p\right)u\right) + \nu |\nabla u|^2 \leq \nu \Delta \left(\frac{|u|^2}{2}\right)$$

nel senso delle distribuzioni. CKN dimostrò che, per ogni soluzione debole adatta, la misura di Hausdorff parabolica unidimensionale dell'insieme singolare nello spazio-tempo è zero. Ciò significa che le singolarità, se esistono, sono estremamente rade (hanno misura di Hausdorff parabolica unidimensionale nulla). Ma il teorema non dice nulla sul fatto che le singolarità si verifichino davvero, e si applica solo alle soluzioni deboli adatte, non a tutte le soluzioni di Leray-Hopf.

Leray stesso considerò la possibilità di un blow-up auto-similare della forma $u(x,t) = (T-t)^{-1/2} U(x / (T-t)^{1/2})$. Nečas, Růžička e Šverák (1996) dimostrarono che non esiste alcun blow-up auto-similare di questo tipo per soluzioni in $L^3(\mathbb{R}^3)$, e Tsai (1998) escluse certi scenari di blow-up asintoticamente auto-similare sotto ipotesi corrispondenti. La forma delle potenziali singolarità, se esistono, rimane sconosciuta.

Le soluzioni deboli esistono globalmente. Ma potrebbero non essere uniche, e potrebbero non essere lisce. Possiamo fare di meglio?

Sì, ma solo temporaneamente. Le soluzioni forti sono il passo in più: hanno abbastanza regolarità perché le equazioni valgano quasi ovunque, non solo "in media". Le soluzioni lisce, o classiche, sono quelle in cui le equazioni valgono punto per punto. Per dati iniziali lisci in 3D, le soluzioni forti esistono per un breve tempo. Quanto breve? Dipende da quanto è turbolento il flusso iniziale. Flussi calmi e dolci ottengono garanzie più lunghe. Condizioni iniziali violente e turbolente? Microsecondi.

E nessuno riesce a dimostrare che queste soluzioni forti non finiscano per avere un blow-up.

Nel 1962, James Serrin dimostrò qualcosa di simile a una regola di promozione. Funziona così: se una soluzione debole capita che rimanga abbastanza ben controllata (non troppo grande, non concentrando la sua energia in regioni sempre più piccole), allora era segretamente liscia per tutto il tempo. La si può promuovere. E per un principio chiamato unicità debole-forte, è anche l'unica soluzione debole con quelle condizioni iniziali. Una sola soluzione, liscia e unica, caso chiuso. Ma se non riesci a verificare che la soluzione resti docile? Nulla. Sei bloccato.

Questo è un risultato condizionale. SE la soluzione non è troppo selvaggia, ALLORA si comporta perfettamente bene. Tutta la difficoltà sta nel dimostrare il SE.

In due dimensioni, le stime di energia sono abbastanza forti perché ogni soluzione debole superi automaticamente il test di Serrin. Fatto. Ecco perché il caso 2D è risolto. In 3D, le stime mancano di pochissimo ciò che servirebbe, e colmare quel divario è tutto il gioco.

I ricercatori hanno trovato anche altri criteri condizionali, ciascuno un diverso angolo d'attacco: "Dimostra questa singola cosa specifica sulla soluzione, e ti darò la regolarità gratis." Dimostrarne uno qualunque incondizionatamente risolverebbe il Problema del Millennio. Nessuno ci è riuscito. Per una panoramica delle diverse strategie di dimostrazione che le persone hanno tentato, c'è un'intera pagina su questo.

Una soluzione forte delle equazioni di Navier-Stokes è una soluzione con regolarità sufficiente perché la PDE valga puntualmente (q.o.) e il termine non lineare $(u \cdot \nabla)u$ sia ben definito come funzione anziché soltanto come distribuzione. Tipicamente ciò significa $u \in L^\infty(0,T; H^1(\mathbb{R}^3)) \cap L^2(0,T; H^2(\mathbb{R}^3))$. Un quadro collegato ma distinto è quello di Fujita-Kato (1964), che costruisce soluzioni mild locali in spazi critici.

L'esistenza locale di soluzioni forti per dati di Sobolev sufficientemente regolari è ben stabilita. Negli spazi critici, il quadro di Fujita-Kato (1964) costruisce soluzioni mild locali tramite un argomento di punto fisso:

$$u(t) = e^{\nu t \Delta} u_0 - \int_0^t e^{\nu(t-s)\Delta} \mathbb{P} \nabla \cdot (u \otimes u)(s) \, ds,$$

dove $\mathbb{P}$ è la proiezione di Leray sui campi a divergenza nulla. Questa equazione integrale ha una soluzione locale unica per il principio delle contrazioni in spazi funzionali adatti. Per dati piccoli in spazi critici ($L^3$, $\dot{H}^{1/2}$, $BMO^{-1}$), la soluzione è globale.

La questione è se le soluzioni forti con dati grandi persistano per ogni tempo. Il principale risultato condizionale è quello di Serrin (1962): se una soluzione debole di Leray-Hopf soddisfa $u \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{R}^3))$ con

$$\frac{2}{p} + \frac{3}{q} \leq 1, \qquad q > 3,$$

allora $u$ è liscia su $(0,T] \times \mathbb{R}^3$ ed è l'unica soluzione debole di Leray-Hopf con i dati iniziali assegnati. Queste sono chiamate condizioni di Prodi-Serrin (Prodi 1959 stabilì un risultato correlato).

L'endpoint $q = 3$ ($p = \infty$) fu risolto da Escauriaza, Seregin e Šverák (2003): se $u \in L^\infty(0,T; L^3(\mathbb{R}^3))$, allora $u$ non ha blow-up al tempo $T$. Questo è l'endpoint della scala di Prodi-Serrin e uno dei criteri di continuazione più fini conosciuti.

In due dimensioni, il limite di energia $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t H^1_x$ combinato con la disuguaglianza di Ladyzhenskaya $\|f\|_{L^4}^2 \leq C\|f\|_{L^2}\|\nabla f\|_{L^2}$ (specifica del 2D) dà $u \in L^4_t L^4_x$, che soddisfa la condizione di Serrin $2/4 + 2/4 = 1$ (nella versione 2D con $2/p + 2/q \leq 1$). In 3D, il limite di energia dà $u \in L^{10/3}_t L^{10/3}_x$ per immersione di Sobolev, che soddisfa $2/(10/3) + 3/(10/3) = 3/2 > 1$. La condizione di Serrin fallisce esattamente del margine corrispondente al divario di supercriticità. Vedi Perché Navier-Stokes è difficile per maggiori informazioni su questo ostacolo strutturale.

Le soluzioni lisce sono il riferimento ideale. Il campo di velocità si comporta perfettamente bene ovunque, per ogni tempo. Nessun salto improvviso. Nessuna velocità infinita. Ingrandisci quanto vuoi, e la soluzione continua semplicemente a essere regolare.

Il Problema del Premio del Millennio Clay, formulato da Charles Fefferman nel 2000, pone una domanda che sta su una scheda. Si parta da un qualunque campo di velocità liscio e fisicamente ragionevole che riempia lo spazio tridimensionale. L'equazione di Navier-Stokes produce sempre una soluzione liscia che dura per sempre, oppure si può trovare un flusso iniziale per cui la soluzione alla fine esplode?

Entrambe le risposte valgono un milione di dollari.

Ecco a che punto siamo. Nessuno ha dimostrato che in 3D le soluzioni lisce esistano sempre globalmente, e nessuno ha nemmeno costruito un blow-up. Siamo bloccati nel mezzo dall'articolo di Leray del 1934: oltre novant'anni su una delle domande aperte più difficili di tutta la matematica, e ancora non sappiamo da quale parte cada la risposta.

A breve termine? Tutto bene. Per dati iniziali lisci, le equazioni producono effettivamente una soluzione liscia per un certo intervallo di tempo. Il fluido comincia a muoversi, la matematica funziona, tutto è pulito. Ma che cosa succede dopo? La soluzione resta liscia per sempre, oppure raggiunge un punto in cui la velocità schizza all'infinito?

Se resta liscia, succede qualcosa di bello. Quella soluzione liscia soddisfa automaticamente anche le regole rilassate per le soluzioni deboli, quindi è una soluzione debole. E per unicità debole-forte, non può esistere nessun'altra soluzione debole con quelle condizioni iniziali. Dunque, se qualcuno dimostrasse la regolarità globale, l'intera gerarchia collasserebbe: debole, forte e liscia risulterebbero tutte la stessa cosa, un'unica soluzione unica e perfettamente ben comportata per ogni tempo. È questo che rende il problema così affascinante e così difficile. Il divario tra ciò di cui possiamo dimostrare l'esistenza (soluzioni deboli) e ciò che vogliamo (soluzioni lisce) è esattamente il contenuto della domanda da un milione di dollari.

Il Problema del Millennio Clay (Fefferman 2000) chiede: per ogni $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ a divergenza nulla che soddisfi $|\partial^\alpha u_0(x)| \leq C_{\alpha K}(1 + |x|)^{-K}$ per ogni $\alpha, K$, esistono $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ e $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ che soddisfano le equazioni di Navier-Stokes con $\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C$ for all $t \geq 0$?

L'alternativa (anch'essa meritevole del premio): trovare $u_0$ nella classe sopra tale che non esista alcuna soluzione liscia di questo tipo.

Che cosa si sa:

• Esistenza locale: Per $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$, $s \geq 1/2$, esiste una soluzione locale mild/forte unica su $[0,T^*)$ per qualche $T^* > 0$ dipendente da $\|u_0\|_{H^s}$, ed è liscia per ogni tempo positivo $t > 0$. Se $T^* < \infty$, then $\|u(t)\|_{H^s} \to \infty$ as $t \to T^*$.
• Esistenza globale per dati piccoli: Se $\|u_0\|_{\dot{H}^{1/2}}$ (oppure $\|u_0\|_{L^3}$, oppure $\|u_0\|_{BMO^{-1}}$) è più piccolo di una costante universale, la soluzione è globale e liscia. Riferimenti chiave: $\dot{H}^{1/2}$ (Fujita-Kato 1964), $BMO^{-1}$ (Koch-Tataru 2001), con risultati analoghi in $L^3$ (Kato 1984).
• Unicità debole-forte: Se una soluzione forte esiste su $[0,T]$, allora ogni soluzione debole di Leray-Hopf con gli stessi dati iniziali coincide con essa su $[0,T]$. Questo fu dimostrato da Serrin (1962) e affinato da lavori successivi. Significa che dimostrare la regolarità risolve anche l'unicità nella classe di Leray-Hopf.

La gerarchia collassa verso l'alto: liscia $\Rightarrow$ forte $\Rightarrow$ debole, e l'unicità debole-forte implica che una soluzione liscia, se esiste, è l'unica soluzione debole di Leray-Hopf. Dunque il Problema del Millennio equivale a chiedere: tutte le soluzioni deboli di Leray-Hopf con dati iniziali lisci sono esse stesse lisce? Il divario tra "esiste una soluzione debole" (Leray 1934) e "esiste una soluzione liscia" (aperto) è esattamente la domanda del premio.

Se le soluzioni deboli esistono e descrivono il fluido, perché dovrebbe importare a qualcuno la regolarità?

Tre ragioni.

Primo, unicità. La fisica richiede una sola risposta. Dammi lo stato iniziale di un fluido, e dovrei poterti dire esattamente che cosa farà dopo. Non "ecco varie possibilità, scegli quella che preferisci". Ma le soluzioni deboli non lo garantiscono. Più soluzioni deboli potrebbero emergere dallo stesso flusso iniziale senza alcun modo di dire quale segua il fluido reale. Le equazioni diventerebbero un menu invece di una ricetta. Questa non è fisica.

Secondo, affidabilità numerica. Molte simulazioni importanti di fluidi si basano su Navier-Stokes o su modelli strettamente correlati: previsioni meteorologiche, aerodinamica, flusso sanguigno nelle arterie, e altro ancora. Raffinando la griglia, la simulazione dovrebbe convergere verso la risposta vera. Senza una garanzia di regolarità e unicità? Nessun teorema dice che ciò accada davvero in ogni scenario 3D. Le simulazioni funzionano. Non riusciamo a spiegare fino in fondo perché.

Terzo, fisica estrema. Se possono formarsi singolarità, è la natura che ci sta mandando un messaggio. Le equazioni di Navier-Stokes, il nostro miglior modello del moto dei fluidi, avrebbero una data di scadenza incorporata: a qualche scala estrema il modello stesso smette di funzionare, e le equazioni ci stanno dicendo: "Serve nuova fisica."

Non è una sottigliezza tecnica. È la linea di faglia che attraversa tutto. Esistenza da una parte (Leray, 1934, fatto). Regolarità dall'altra (aperto, un milione di dollari). Perché attraversarla è così difficile? Le stime di energia in 3D mancano di pochissimo ciò che servirebbe, e novant'anni di sforzi, centinaia di articoli, intere carriere spese a provarci: nessuno ha colmato quel divario.

Ogni strategia di dimostrazione perseguita in questo momento è un tentativo di colmare questa frattura. Dimostrare che le soluzioni deboli sono lisce. Oppure dimostrare che non lo sono. Due parole, o tre.

La gerarchia delle soluzioni per le equazioni di Navier-Stokes incomprimibili 3D è:

$$\text{smooth} \subset \text{strong} \subset \text{Leray-Hopf weak} \subset \text{distributional weak}$$

Che cosa si sa a ciascun livello:

Il Problema del Millennio si colloca nel divario tra l'esistenza globale debole di Leray-Hopf e la regolarità liscia globale. La difficoltà centrale: la disuguaglianza di energia fornisce $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, che è mezza derivata sotto la scala critica $\dot{H}^{1/2}$. Colmare questo divario di supercriticità equivale a dimostrare la regolarità globale.

L'unicità debole-forte implica che la gerarchia collassa se esistono globalmente soluzioni lisce. Più precisamente: se per un dato $u_0 \in C^\infty$ esiste una soluzione liscia $u$ su $[0,T]$, allora ogni soluzione debole di Leray-Hopf con gli stessi dati è uguale a $u$ su $[0,T]$. Dunque regolarità globale $\Rightarrow$ unicità globale nella classe di Leray-Hopf.

Viceversa, la non unicità delle soluzioni deboli di Leray-Hopf per dati iniziali lisci ammissibili implicherebbe che soluzioni lisce globali non possono persistere per quella classe di dati (poiché una soluzione liscia imporrebbe l'unicità). Lavori recenti sull'integrazione convessa (a partire da De Lellis-Székelyhidi per Euler, estesi da Buckmaster-Vicol 2019 per costruire soluzioni deboli non uniche di Navier-Stokes al di sotto della regolarità di Leray-Hopf) mostrano che le soluzioni deboli distribuzionali possono essere altamente non uniche. Se questa non unicità si estenda alla classe di Leray-Hopf è una grande questione aperta con implicazioni dirette per il Problema del Millennio.

Per lo stato attuale delle strategie di dimostrazione che attaccano questo divario, e per le ragioni strutturali per cui è così resistente, si veda Perché Navier-Stokes è difficile.