Solutions faibles, fortes et régulières des équations de Navier-Stokes

La régularité globale de Navier–Stokes 3D sans forçage reste ouverte : la construction annoncée avec forçage ne la résout pas. Dans la discussion technique ci-dessous, les questions ouvertes de régularité et d’unicité concernent le système sans forçage, sauf mention explicite d’un autre cadre.

Existence globale faible et existence globale lisse sont deux résultats différents. Le théorème de Leray fournit des solutions faibles pour des données d’énergie finie ; pour les données lisses 3D sans forçage, la régularité globale reste ouverte. Clay envisage à la fois existence sans forçage et rupture avec forçage admissible. Voir aussi : prix du Millénaire

Alors, qu'est-ce qu'une solution faible ? Ce n'est pas une approximation. Ce n'est pas « presque juste ». Une solution faible est une solution exacte des équations, mais avec des règles assouplies. Au lieu d'exiger que le champ de vitesse soit assez régulier pour être différentié directement, on multiplie l'équation par une fonction test, on intègre, et on transfère toutes les dérivées sur la fonction test par intégration par parties. Si le résultat est vérifié pour toute fonction test, on a une solution faible.

Pensez-y ainsi. Une solution classique est un étudiant qui résout chaque problème de l'examen en montrant tout son raisonnement, étape par étape. Une solution faible est un étudiant qui ne peut pas vous montrer les étapes intermédiaires, mais dont les réponses finales sont prouvablement correctes pour chaque question qu'on pourrait poser. On ne le voit pas différentier, mais le résultat intégré est toujours cohérent.

Pourquoi s'en soucier ? Parce que parfois les équations sont trop sauvages pour les solutions classiques. Le fluide peut développer des régions où la vitesse change si brusquement que les dérivées cessent d'exister au sens ordinaire. Les solutions faibles permettent de continuer là où les solutions classiques abandonnent. Ce sont le filet de sécurité.

Les solutions faibles distributionnelles peuvent être non uniques même sans forçage : Buckmaster–Vicol ont construit des exemples d’énergie finie hors de la classe de Leray–Hopf. L’existence globale de Leray pour les données $L^2$ fournit la classe plus restreinte de Leray–Hopf, qui satisfait aussi l’inégalité d’énergie. Unicité et régularité pour les données lisses 3D sans forçage restent ouvertes dans cette classe, pas comme équivalence pour toutes les solutions distributionnelles. Voir aussi : prix du Millénaire

Septembre 2026 : OpenAI annonce une explosion 3D avec forçage lisse (Clay C/D) ; Clay reconnaît une résolution apparente. Évaluation et prix restent distincts. État daté et sources.

La régularité globale de Navier–Stokes 3D sans forçage reste ouverte : la construction annoncée avec forçage ne la résout pas. Dans la discussion technique ci-dessous, les questions ouvertes de régularité et d’unicité concernent le système sans forçage, sauf mention explicite d’un autre cadre.

Une solution faible des équations de Navier-Stokes remplace l'EDP ponctuelle par une formulation distributionnelle. On considère le système incompressible sur $\mathbb{R}^3 \times (0,T)$ :

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

Un champ vectoriel $u \in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3 \times [0,T))$ est une solution faible si, pour toute fonction test $\varphi$ lisse, à support compact et à divergence nulle :

$$\int_0^T \!\int_{\mathbb{R}^3} \bigl[-u \cdot \partial_t \varphi - (u \otimes u) : \nabla \varphi - \nu \, u \cdot \Delta \varphi \bigr] \, dx \, dt = \int_{\mathbb{R}^3} u_0 \cdot \varphi(x,0) \, dx.$$

La pression disparaît de cette formulation car $\varphi$ est à divergence nulle. Toutes les dérivées ont été transférées de $u$ vers $\varphi$ par intégration par parties. Le point essentiel : $u$ n'a pas besoin d'être classiquement différentiable. Il suffit qu'il soit assez intégrable pour que ces intégrales convergent.

La formulation faible n'est pas une approximation. Une solution classique satisfaisant l'EDP ponctuellement satisfait également la formulation faible pour toute fonction test (on intègre par parties dans l'autre sens). La réciproque est fausse : une solution faible peut ne pas être assez régulière pour satisfaire l'EDP ponctuellement.

Les solutions faibles distributionnelles peuvent être non uniques même sans forçage : Buckmaster–Vicol ont construit des exemples d’énergie finie hors de la classe de Leray–Hopf. L’existence globale de Leray pour les données $L^2$ fournit la classe plus restreinte de Leray–Hopf, qui satisfait aussi l’inégalité d’énergie. Unicité et régularité pour les données lisses 3D sans forçage restent ouvertes dans cette classe, pas comme équivalence pour toutes les solutions distributionnelles. Voir aussi : problème du Millénaire de Clay

Septembre 2026 : OpenAI annonce une explosion 3D avec forçage lisse (Clay C/D) ; Clay reconnaît une résolution apparente. Évaluation et prix restent distincts. État daté et sources.

En 1934, Jean Leray a accompli quelque chose qui définit encore le domaine. Dans un seul article de 73 pages publié dans Acta Mathematica, intitulé « Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace », il a prouvé que les solutions faibles des équations de Navier-Stokes existent pour tout temps, pour des données initiales à divergence nulle en trois dimensions. C'était le premier résultat d'existence globale pour les équations 3D, et il reste le théorème d'existence inconditionnel le plus fort dont on dispose, plus de quatre-vingt-dix ans plus tard.

Sa méthode était d'une beauté concrète. On régularise les équations en mollifiiant la non-linéarité, on résout la version lissée (plus facile car les pires interactions non linéaires sont domptées), puis on passe à la limite quand le paramètre de lissage tend vers zéro, et des arguments de compacité garantissent que la limite existe et satisfait la formulation faible.

Mais voici ce que Leray n'a PAS prouvé. L'unicité. Sa méthode produit au moins une solution faible, mais d'autres pourraient exister à partir des mêmes données initiales, et il n'a pas pu l'exclure. Il n'a pas non plus prouvé la régularité. Ses solutions ont une énergie finie et satisfont une inégalité d'énergie (l'énergie peut se dissiper par la viscosité mais ne peut pas augmenter spontanément). C'est tout. Rien de plus.

Leray lui-même pensait que des singularités pourraient se former. Il a esquissé à quoi l'une pourrait ressembler : une explosion autosimilaire où le fluide s'effondre vers un point avec une structure d'échelle spécifique, de plus en plus vite, concentrant toute son énergie dans une région infinitésimale. En 1996, Nečas, Růžička et Šverák ont prouvé que ce scénario autosimilaire exact ne peut pas se produire. La conjecture de Leray sur la forme d'une éventuelle explosion était fausse. L'explosion se produit-elle vraiment, sous quelque forme que ce soit ? Personne ne sait.

En 1951, Eberhard Hopf a étendu la construction de Leray aux domaines bornés, et la classe résultante est devenue connue sous le nom de solutions faibles de Leray-Hopf : des solutions faibles satisfaisant l'inégalité d'énergie. C'est la notion standard. Quand les chercheurs disent « solutions faibles » sans précision supplémentaire, ils veulent presque toujours dire cela.

Un point de plus. Même au sein des solutions faibles de Leray-Hopf, il existe une classe strictement plus petite appelée solutions faibles convenables (suitable weak solutions), qui satisfont une inégalité d'énergie locale, pas seulement globale. Caffarelli, Kohn et Nirenberg ont démontré leur célèbre résultat de régularité partielle en 1982 précisément pour cette classe plus petite. Il ne faut pas confondre les deux : CKN s'applique aux solutions faibles convenables, pas à toutes les solutions de Leray-Hopf.

L'article de Leray de 1934 a établi le résultat suivant : pour toute donnée initiale $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle, il existe au moins une solution faible $u$ des équations de Navier-Stokes sur $\mathbb{R}^3 \times (0,\infty)$ satisfaisant :

• $u \in L^\infty(0,\infty; L^2(\mathbb{R}^3)) \cap L^2(0,\infty; \dot{H}^1(\mathbb{R}^3))$
• L'inégalité d'énergie : $\|u(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \|u_0\|_{L^2}^2$ pour p.p. $t > 0$

La construction procède par mollification. On remplace la non-linéarité $(u \cdot \nabla)u$ par $(u_\varepsilon \cdot \nabla)u$ où $u_\varepsilon = J_\varepsilon * u$ est une mollification spatiale. Le système régularisé admet des solutions globales régulières (la mollification élimine les pires interactions non linéaires). Leray a obtenu des bornes d'énergie uniformes pour les solutions régularisées, puis a extrait une sous-suite faiblement convergente. La limite satisfait la formulation faible et l'inégalité d'énergie.

Leray n'a pas établi l'unicité. L'argument de compacité donne l'existence d'au moins un point d'accumulation ; des sous-suites différentes pourraient converger vers des limites différentes. L'unicité des solutions faibles de Leray-Hopf en 3D reste ouverte à ce jour.

Hopf (1951) a adapté la construction aux domaines bornés $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ avec conditions aux limites de Dirichlet, en utilisant l'approximation de Galerkin (projection sur des sous-espaces de dimension finie) plutôt que la mollification. La classe résultante — solutions faibles satisfaisant l'inégalité d'énergie — porte les deux noms : solutions faibles de Leray-Hopf.

Le théorème de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1982) concerne une classe strictement plus petite : les solutions faibles convenables, qui satisfont en outre une inégalité d'énergie locale de la forme

$$\partial_t \left(\frac{|u|^2}{2}\right) + \nabla \cdot \left(\left(\frac{|u|^2}{2} + p\right)u\right) + \nu |\nabla u|^2 \leq \nu \Delta \left(\frac{|u|^2}{2}\right)$$

au sens des distributions. CKN a prouvé que pour toute solution faible convenable, la mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle de l'ensemble singulier dans l'espace-temps est nulle. Cela signifie que les singularités, si elles existent, sont extrêmement éparses (elles ont une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle). Mais le théorème ne dit rien sur la question de savoir si les singularités se produisent réellement, et il ne s'applique qu'aux solutions faibles convenables, pas à toutes les solutions de Leray-Hopf.

Leray lui-même a conjecturé l'existence d'une explosion autosimilaire de la forme $u(x,t) = (T-t)^{-1/2} U(x / (T-t)^{1/2})$. Nečas, Růžička et Šverák (1996) ont prouvé qu'une telle explosion autosimilaire n'existe pas pour les solutions dans $L^3(\mathbb{R}^3)$, et Tsai (1998) a exclu certains scénarios d'explosion asymptotiquement autosimilaires sous des hypothèses correspondantes. La forme des singularités potentielles, si elles existent, reste inconnue.

Des solutions faibles globales existent ; régularité et unicité dans la classe de Leray–Hopf 3D sans forçage restent des questions centrales.

Oui, mais seulement localement. Les solutions fortes sont l'étage au-dessus : elles ont assez de régularité pour que l'équation soit satisfaite presque partout, pas seulement « en moyenne ». Les solutions lisses, ou classiques, sont celles où l'équation vaut point par point. Pour des données initiales lisses en 3D, les solutions fortes existent pendant un temps court. Combien court dépend des données : plus la vitesse initiale est grande et sauvage, plus l'intervalle d'existence garanti est court. Et personne ne peut prouver que ces solutions fortes ne finissent pas par exploser.

Le critère conditionnel de Serrin s’applique aux solutions faibles de Leray–Hopf : sa condition d’intégrabilité implique la régularité. L’unicité faible-forte signifie que toute solution de Leray–Hopf de mêmes données coïncide avec la solution forte durant son intervalle d’existence. Elle n’implique pas l’unicité parmi toutes les solutions distributionnelles.

Les conditions de Serrin sont un résultat de régularité conditionnelle. Elles disent : SI la solution n'est pas trop sauvage, ALORS elle est parfaitement bien comportée. Toute la difficulté est de prouver le SI.

Dans le système bidimensionnel sans forçage, les solutions de Leray–Hopf issues de données lisses sont globalement lisses et uniques. En trois dimensions, la seule borne d’énergie ne fournit pas ce contrôle. Voir aussi : deux dimensions

D'autres résultats conditionnels existent. Pour les équations d'Euler, le critère de Beale-Kato-Majda dit qu'une solution régulière continue tant que la vorticité reste intégrable en temps. Des analogues pour Navier-Stokes existent et affinent ce résultat. Le critère d'Escauriaza-Seregin-Šverák (2003) pousse cela au point final : tant que la vitesse reste bornée dans la norme critique appropriée, pas d'explosion. Chacun de ces résultats convertit le problème de régularité globale en une seule estimation a priori. Prouver inconditionnellement l'une quelconque de ces estimations résoudrait le question de régularité globale sans forçage. Personne n'y est parvenu. Pour un panorama des différentes stratégies de preuve qui ont été tentées, une page entière y est consacrée.

Une solution forte des équations de Navier-Stokes est une solution avec assez de régularité pour que l'EDP soit satisfaite presque partout et que le terme non linéaire $(u \cdot \nabla)u$ soit bien défini comme fonction et non simplement comme distribution. Typiquement, cela signifie $u \in L^\infty(0,T; H^1(\mathbb{R}^3)) \cap L^2(0,T; H^2(\mathbb{R}^3))$. Un cadre connexe mais distinct est celui de Fujita-Kato (1964), qui construit des solutions mild locales dans des espaces critiques.

L'existence locale de solutions fortes pour des données de Sobolev suffisamment régulières est bien établie. Dans les espaces critiques, le cadre de Fujita-Kato (1964) construit des solutions mild locales via un argument de point fixe :

$$u(t) = e^{\nu t \Delta} u_0 - \int_0^t e^{\nu(t-s)\Delta} \mathbb{P} \nabla \cdot (u \otimes u)(s) \, ds,$$

où $\mathbb{P}$ est la projection de Leray sur les champs à divergence nulle. Cette équation intégrale admet une unique solution locale par le principe de contraction dans des espaces fonctionnels appropriés. Pour des données petites dans des espaces critiques ($L^3$, $\dot{H}^{1/2}$, $BMO^{-1}$), la solution est globale.

La question est de savoir si les solutions fortes à données grandes persistent pour tout temps. Le résultat conditionnel clé est celui de Serrin (1962) : si une solution faible de Leray-Hopf satisfait $u \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{R}^3))$ avec

$$\frac{2}{p} + \frac{3}{q} \leq 1, \qquad q > 3,$$

alors $u$ est régulière sur $(0,T] \times \mathbb{R}^3$ et est l'unique solution faible de Leray-Hopf avec les données initiales considérées. Ce sont les conditions de Prodi-Serrin (Prodi 1959 a établi un résultat apparenté).

Le cas limite $q = 3$ ($p = \infty$) a été résolu par Escauriaza, Seregin et Šverák (2003) : si $u \in L^\infty(0,T; L^3(\mathbb{R}^3))$, alors $u$ n'explose pas au temps $T$. C'est le point final de l'échelle de Prodi-Serrin et l'un des critères de continuation les plus fins connus.

En deux dimensions, la borne d'énergie $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t H^1_x$ combinée à l'inégalité de Ladyzhenskaya $\|f\|_{L^4}^2 \leq C\|f\|_{L^2}\|\nabla f\|_{L^2}$ (spécifique au 2D) donne $u \in L^4_t L^4_x$, ce qui satisfait la condition de Serrin $2/4 + 2/4 = 1$ (dans la version 2D avec $2/p + 2/q \leq 1$). En 3D, la borne d'énergie donne $u \in L^{10/3}_t L^{10/3}_x$ par injection de Sobolev, ce qui donne $2/(10/3) + 3/(10/3) = 3/2 > 1$. La condition de Serrin échoue exactement à hauteur du décalage correspondant à l'écart de surcriticité. Voir Pourquoi les équations de Navier–Stokes sont difficiles pour plus de détails sur cette obstruction structurelle.

Les solutions régulières sont le standard absolu. Infiniment différentiables en espace et en temps, sans singularités, sans angles, sans discontinuités. On peut les dériver autant de fois qu'on veut et toujours obtenir un résultat bien défini.

Les alternatives d’existence A/B sans forçage demandent si toute donnée initiale lisse admissible produit une solution lisse globale, dans l’espace entier ou en géométrie périodique. Ce n’est qu’une partie de l’énoncé de Clay : C/D autorisent des forçages lisses admissibles dans les constructions de rupture. Voir aussi : problème du Millénaire de Clay

Pour Navier–Stokes 3D sans forçage, ni la régularité globale pour toutes les données lisses admissibles ni un exemple d’explosion issu de telles données ne sont établis. La construction avec forçage C/D annoncée ne répond pas à cette question restante.

Le tableau local est satisfaisant. Pour des données initiales régulières, les équations produisent une solution régulière pendant un certain intervalle de temps. Le fluide se met en mouvement, les mathématiques fonctionnent, tout est propre. La question est ce qui se passe ensuite. La solution reste-t-elle régulière à jamais, ou finit-elle par développer une singularité où la vitesse (ou ses dérivées) devient infinie ?

Lisse $\Rightarrow$ forte $\Rightarrow$ faible, mais l’unicité a une portée restreinte : une solution lisse est la seule solution faible de Leray–Hopf de mêmes données tant qu’elle existe. La régularité globale identifierait ces solutions dans la classe de Leray–Hopf, pas toutes les solutions distributionnelles. C’est la question sans forçage, non l’ensemble du problème de Clay ni la garantie d’un autre prix.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

L’alternative A de Clay (Fefferman 2000), avec $f=0$, demande : pour toute donnée initiale $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle satisfaisant $|\partial^\alpha u_0(x)| \leq C_{\alpha K}(1 + |x|)^{-K}$ pour tout $\alpha, K$, existe-t-il $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ et $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations de Navier-Stokes avec $\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C$ pour tout $t \geq 0$ ?

Construire une rupture sans force extérieure consisterait à trouver $u_0$ dans la classe ci-dessus pour lequel aucune telle solution globale régulière d’énergie bornée n’existe avec $f=0$. Cela reste une piste de recherche, et non l’alternative B de Clay.

Ce qui est connu :

• Existence locale : Pour $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$, $s \geq 1/2$, une unique solution locale mild/forte existe sur $[0,T^*)$ pour un certain $T^* > 0$ dépendant de $\|u_0\|_{H^s}$, et elle est régulière pour tout temps positif $t > 0$. Si $T^* < \infty$, alors $\|u(t)\|_{H^s} \to \infty$ quand $t \to T^*$.
• Existence globale pour données petites : Si $\|u_0\|_{\dot{H}^{1/2}}$ (ou $\|u_0\|_{L^3}$, ou $\|u_0\|_{BMO^{-1}}$) est inférieure à une constante universelle, la solution est globale et régulière. Références clés : $\dot{H}^{1/2}$ (Fujita-Kato 1964), $BMO^{-1}$ (Koch-Tataru 2001), avec des résultats analogues dans $L^3$ (Kato 1984).
• Unicité faible-forte : Si une solution forte existe sur $[0,T]$, alors toute solution faible de Leray-Hopf avec les mêmes données initiales coïncide avec elle sur $[0,T]$. Ce résultat a été établi par Serrin (1962) et affiné par des travaux ultérieurs. Il signifie que prouver la régularité résout aussi l'unicité dans la classe de Leray-Hopf.

Lisse $\Rightarrow$ forte $\Rightarrow$ faible, mais l’unicité a une portée restreinte : une solution lisse est la seule solution faible de Leray–Hopf de mêmes données tant qu’elle existe. La régularité globale identifierait ces solutions dans la classe de Leray–Hopf, pas toutes les solutions distributionnelles. C’est la question sans forçage, non l’ensemble du problème de Clay ni la garantie d’un autre prix. Voir aussi : question de régularité globale sans forçage

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

Si les solutions faibles existent et décrivent le fluide, pourquoi se soucier de la régularité ?

Trois raisons.

Premièrement, l'unicité. La physique exige une seule réponse. Donnez-moi l'état initial d'un fluide, et je devrais pouvoir vous dire exactement, précisément, sans ambiguïté ce qui se passe ensuite — pas vous offrir un menu de possibilités en haussant les épaules. Les solutions faibles ne garantissent pas l'unicité. Plusieurs solutions faibles pourraient émerger du même point de départ, et on ne sait pas laquelle le fluide physique suivrait. Si l'unicité échoue, les équations perdent leur pouvoir prédictif déterministe à ce niveau de régularité.

Deuxièmement, la fiabilité numérique. Chaque simulation CFD sur Terre résout ces équations de manière approximative. Sans théorie générale de régularité et d'unicité, aucun théorème ne garantit que le raffinement du maillage converge vers une unique solution physiquement pertinente dans tout contexte 3D. On pourrait converger vers une solution faible sur une machine et vers une autre sur une machine différente.

Troisièmement, les limites du modèle. Une singularité marquerait l’échec d’une solution globalement lisse dans un modèle continu idéalisé. Qu’un écoulement réel atteigne ce régime, et quelle physique supplémentaire y importe, sont des questions distinctes ; une rupture mathématique seule n’est pas une preuve empirique de nouvelle physique.

L’écart entre existence globale de Leray–Hopf et régularité globale reste central pour le système 3D sans forçage. Clay autorise aussi la rupture avec forçage, et l’évaluation du prix est distincte de ces questions de recherche. Voir aussi : Pourquoi traverser est-il si difficile ?

Voir aussi : stratégie de preuve

La hiérarchie des solutions pour les équations de Navier-Stokes incompressibles en 3D est :

$$\text{smooth} \subset \text{strong} \subset \text{Leray-Hopf weak} \subset \text{distributional weak}$$

Ce qui est connu à chaque niveau :

L’écart entre existence globale de Leray–Hopf et régularité globale reste central pour le système 3D sans forçage. Clay autorise aussi la rupture avec forçage, et l’évaluation du prix est distincte de ces questions de recherche. La difficulté fondamentale : l'inégalité d'énergie fournit $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, ce qui est une demi-dérivée en dessous du scaling critique $\dot{H}^{1/2}$. Combler cet écart de surcriticité est équivalent à prouver la régularité globale.

L’unicité faible-forte identifie les solutions dans la classe de Leray–Hopf, pas toutes les solutions faibles distributionnelles. Plus précisément : si pour une donnée $u_0 \in C^\infty$ une solution régulière $u$ existe sur $[0,T]$, alors toute solution faible de Leray-Hopf avec les mêmes données est égale à $u$ sur $[0,T]$. Donc régularité globale $\Rightarrow$ unicité globale dans la classe de Leray-Hopf.

Réciproquement, la non-unicité des solutions faibles de Leray-Hopf impliquerait que les solutions régulières ne persistent pas globalement (puisqu'une solution régulière forcerait l'unicité). Les travaux récents sur l'intégration convexe (s'appuyant sur De Lellis-Székelyhidi pour Euler, étendu par Buckmaster-Vicol 2019 pour construire des solutions faibles non uniques de Navier-Stokes en dessous de la régularité de Leray-Hopf) montrent que les solutions faibles distributionnelles peuvent être hautement non uniques. La question de savoir si cette non-unicité s'étend à la classe de Leray-Hopf est un problème ouvert majeur avec des implications directes pour le question de régularité globale sans forçage.

Pour l'état actuel des stratégies de preuve attaquant cet écart, et pour les raisons structurelles de sa résistance, voir Pourquoi les équations de Navier–Stokes sont difficiles.