Navier-Stokes est-il résolu ? Mise à jour de septembre 2026

OpenAI a annoncé une preuve qui, selon elle, résout le problème tel que Clay l’a posé, et Clay affirme que le problème a « apparemment été résolu ». Le 8 septembre 2026, OpenAI a annoncé qu’une solution lisse des équations de Navier–Stokes incompressibles en 3D, partant du repos et entraînée par une force extérieure lisse, développe une vitesse non bornée en temps fini, et a présenté ce résultat comme les alternatives de rupture C et D de l’énoncé officiel de Clay, qui demande l’une quelconque de quatre réponses possibles. La déclaration de Clay a suivi le 11 septembre ; l’évaluation et l’attribution du mérite se font délibérément sans hâte, et aucun prix n’a été décerné.

En termes simples : la question était de savoir si les équations qui décrivent l’écoulement de l’eau et de l’air peuvent un jour « casser », en produisant une vitesse infinie à partir d’un état initial parfaitement lisse. La preuve annoncée répond oui, lorsqu’une poussée extérieure lisse est appliquée exactement de la bonne manière. Elle ne montre pas la même chose sans cette poussée, et elle ne prédit pas que l’eau réelle atteigne une vitesse infinie.

État des sources vérifié le 2026-09-29 (JST). Cette page rapporte ce qu’indiquent les sources primaires ; ce n’est pas notre propre vérification de la preuve.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay · Manuscrit (PDF).

OpenAI a annoncé une preuve qui, selon elle, résout le problème tel que Clay l’a posé, et Clay affirme que le problème a « apparemment été résolu ». Le 8 septembre 2026, OpenAI a annoncé qu’une solution lisse des équations de Navier–Stokes incompressibles en 3D, partant du repos et entraînée par une force extérieure lisse, développe une vitesse non bornée en temps fini, et a présenté ce résultat comme les alternatives de rupture C et D de l’énoncé officiel de Clay, qui demande l’une quelconque de quatre réponses possibles. La déclaration de Clay a suivi le 11 septembre ; l’évaluation et l’attribution du mérite se font délibérément sans hâte, et aucun prix n’a été décerné.

Le manuscrit publié affirme (Théorème 1.1) que pour toute viscosité $\nu>0$ il existe une force $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty);\mathbb{R}^3)$, un compact $K\subset\mathbb{R}^3$ et des $(u,p)$ lisses sur $\mathbb{R}^3\times[0,1)$ résolvant les équations avec $u_0=0$, la vitesse et la pression étant à support dans $K$ sur tout l’intervalle de temps, avec $\sup_{0\le t<1}\|u(t)\|_{L^2}<\infty$ mais $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$. Il en déduit qu’aucune solution lisse sur $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ avec la même force et la même donnée initiale n’a une énergie cinétique uniformément bornée : c’est l’alternative C. Le Corollaire 10.6 donne l’analogue périodique sur $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$, avec une force lisse à support compact en temps et aucune solution périodique lisse globale : c’est l’alternative D. La force reste lisse en $t=1$ et au-delà. Ce sont les énoncés des théorèmes des auteurs, retranscrits ici et non vérifiés : OpenAI — Navier–Stokes (PDF), 1.1 / 10.6.

État des sources vérifié le 2026-09-29 (JST). Cette page rapporte ce qu’indiquent les sources primaires ; ce n’est pas notre propre vérification de la preuve.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

• 8 septembre 2026 — OpenAI. Annonce d’une preuve d’explosion en temps fini pour les équations incompressibles 3D avec une force extérieure lisse, présentée comme établissant l’alternative C (et aussi D) de la formulation officielle de Clay. OpenAI a publié un manuscrit et une formalisation Lean, et a annoncé séparément une explosion pour les équations d’Euler 3D sans forçage. OpenAI indique ne pas avoir l’intention de réclamer le prix du Millénaire.
• 10 septembre 2026 — dépôt. Date du dernier commit du dépôt Lean public lors de notre vérification. Ses métadonnées qualifient toujours le statut de relecture de « self-assessed » (auto-évalué).
• 11 septembre 2026 — Clay Mathematics Institute. A déclaré « partager l’enthousiasme de la communauté mathématique mondiale alors que nous considérons l’annonce selon laquelle le problème de Navier-Stokes a apparemment été résolu », et que le processus d’évaluation du travail et d’attribution du mérite « est délibérément sans hâte ».
• 29 septembre 2026 — notre vérification des sources. Les pages d’annonces et d’actualités de Clay ne montraient aucune décision ultérieure. Il s’agit d’une vérification de ces seules pages, pas d’une affirmation sur toute déclaration institutionnelle ou toute relecture indépendante.

• 8 septembre 2026 — OpenAI. Annonce d’une preuve d’explosion en temps fini pour les équations incompressibles 3D avec une force extérieure lisse, présentée comme établissant l’alternative C (et aussi D) de la formulation officielle de Clay. OpenAI a publié un manuscrit et une formalisation Lean, et a annoncé séparément une explosion pour les équations d’Euler 3D sans forçage. OpenAI indique ne pas avoir l’intention de réclamer le prix du Millénaire.
• 10 septembre 2026 — dépôt. Date du dernier commit du dépôt Lean public lors de notre vérification. Ses métadonnées qualifient toujours le statut de relecture de « self-assessed » (auto-évalué).
• 11 septembre 2026 — Clay Mathematics Institute. A déclaré « partager l’enthousiasme de la communauté mathématique mondiale alors que nous considérons l’annonce selon laquelle le problème de Navier-Stokes a apparemment été résolu », et que le processus d’évaluation du travail et d’attribution du mérite « est délibérément sans hâte ».
• 29 septembre 2026 — notre vérification des sources. Les pages d’annonces et d’actualités de Clay ne montraient aucune décision ultérieure. Il s’agit d’une vérification de ces seules pages, pas d’une affirmation sur toute déclaration institutionnelle ou toute relecture indépendante.

Dans les équations de Navier–Stokes, le terme de force $f$ représente tout ce qui pousse le fluide de l’extérieur : la gravité, une pale d’agitateur, une pompe. Avec $f=0$, le fluide évolue simplement à partir de son état initial.

L’énoncé officiel de Clay, rédigé par Charles Fefferman, propose quatre façons de résoudre le problème et précise qu’une seule suffit. Deux sont des énoncés d’existence : tout écoulement initial lisse et bien comporté reste lisse pour toujours. Ils sont posés sans force extérieure (A sur tout l’espace, B dans une boîte périodique). Les deux autres sont des énoncés de rupture, et là on peut choisir à la fois un écoulement initial lisse et une force extérieure lisse, pourvu que la force et toutes ses dérivées décroissent rapidement : en espace et en temps sur tout l’espace (C), et en temps dans une boîte périodique (D). L’énoncé présente seulement ces quatre options comme un moyen de « laisser une latitude raisonnable aux candidats tout en conservant le cœur du problème ».

Non. La construction annoncée repose sur une force extérieure lisse soigneusement choisie. Elle ne tranche pas la question de savoir si tout écoulement lisse sans force extérieure reste lisse pour toujours (alternatives A et B), et l’énoncé de Clay ne l’exige pas : il demande une alternative, pas les quatre.

La force de la construction annoncée n’est pas une singularité cachée. Elle est lisse, confinée à une région bornée de l’espace et à un intervalle de temps borné, et reste lisse à l’instant où la vitesse devient non bornée. L’énergie cinétique totale reste elle aussi bornée. Une énergie bornée n’empêche pas la vitesse maximale de devenir non bornée : le mouvement peut se concentrer dans des régions de plus en plus petites.

Écrivons le système sous la forme $\partial_t u + (u\cdot\nabla)u = -\nabla p + \nu\Delta u + f$, $\nabla\cdot u=0$. Dans A et B, $f\equiv0$ et l’énoncé est universel : toute donnée admissible $u_0$ admet une solution lisse globale (d’énergie bornée sur $\mathbb{R}^3$). Dans C et D, l’énoncé est existentiel : il existe un couple admissible $(u_0,f)$ sans solution lisse globale dans la classe requise. Sur $\mathbb{R}^3$, la force doit satisfaire la condition (5),

$$|\partial_x^\alpha\partial_t^m f(x,t)|\le \frac{C_{\alpha m K}}{(1+|x|+t)^{K}},$$

pour tous les multi-indices $\alpha$ et tous $m,K$ ; sur $\mathbb{T}^3$, elle doit satisfaire la condition (9), avec décroissance en $t$ seulement. Une force lisse à support compact en espace-temps satisfait (5).

C n’est donc pas la négation de A. La négation de A serait une donnée admissible $u_0$ avec $f\equiv0$ sans solution lisse globale d’énergie bornée ; C accepte un contre-exemple où une force lisse à décroissance rapide est également choisie. Le texte officiel ne justifie la formulation en quatre volets que par le souci de « laisser une latitude raisonnable aux candidats tout en conservant le cœur du problème ». Une preuve de C ou de D résout le problème tel qu’il est posé, tout en laissant indécise la vérité de A et de B.

Non. La construction annoncée repose sur une force extérieure lisse soigneusement choisie. Elle ne tranche pas la question de savoir si tout écoulement lisse sans force extérieure reste lisse pour toujours (alternatives A et B), et l’énoncé de Clay ne l’exige pas : il demande une alternative, pas les quatre.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

Pour les conditions précises (décroissance, borne d’énergie et périodicité), voir l’énoncé officiel de Clay expliqué, qui met aussi en correspondance, ligne par ligne, le théorème annoncé avec C et D.

Les clauses suivantes résument A et C dans l’espace entier, sans reprendre toutes les hypothèses officielles. Dans A, $f=0$. Dans C, toutes les dérivées spatiales et temporelles du forçage doivent satisfaire les conditions de décroissance de Clay ; la solution globale exclue appartient à la classe lisse d’énergie bornée de l’énoncé officiel. Les alternatives périodiques sont B et D.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

1. (A) Existence et régularité : Pour tout $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ avec $\nabla \cdot u_0 = 0$ et $|\partial_x^\alpha u_0(x)| \leq C_{\alpha K} (1 + |x|)^{-K}$ pour tout $\alpha, K$, prouver l'existence de $(u, p) \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations, avec $\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C$ pour tout $t \geq 0$.
2. (C) Effondrement : Exhiber $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ (à divergence nulle, avec la décroissance prescrite) et $f \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant la condition (5) de décroissance des dérivées du forçage, tels qu’aucune $(u,p) \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ avec les données initiales spécifiées et une énergie cinétique uniformément bornée ne satisfasse le système.

Trois choses distinctes sont faciles à confondre :

• L’affirmation mathématique. Un long manuscrit et une formalisation Lean. Le dépôt indique que ses principaux résultats sont entièrement formalisés, sans étape inachevée (« sorry »), et qualifie son statut de relecture de « self-assessed » (auto-évalué). Cette mention relève des propres métadonnées des auteurs : elle n’établit pas une vérification indépendante et ne montre pas non plus que personne d’autre n’a vérifié le travail. Une preuve formelle doit aussi être confrontée à l’énoncé du théorème visé, ce qui constitue une vérification distincte.
• La réponse de Clay. La déclaration du 11 septembre prend acte d’une résolution apparente. Ce n’est ni une certification ni l’attribution d’un prix, et elle ne désigne aucun lauréat.
• La procédure du prix. Les règles de Clay énumèrent des conditions, dont la publication dans une revue qualifiée, un délai d’au moins deux ans depuis la publication et une acceptation générale par la communauté mathématique. OpenAI a déclaré ne pas avoir l’intention de réclamer le prix de 1 million de dollars. Aucun de ces deux points n’implique une date ou une issue.

Ce site rapporte des sources publiques. Nous n’avons pas audité la preuve, compilé le projet Lean ni vérifié la correspondance entre les énoncés formels et informels.

OpenAI a également annoncé une explosion à données lisses pour Euler 3D sans forçage. Ce résultat non visqueux n’établit pas d’explosion pour Navier–Stokes visqueux sans forçage.

• Manuscrit. Théorème 1.1 (espace entier) et Corollaire 10.6 (cas périodique), cités ci-dessus. Le corollaire périodique n’énonce pas d’inégalité d’énergie séparée ; l’alternative D officielle n’en exige pas.
• Formalisation. Les métadonnées du dépôt (commit f9e8bc5, 10 septembre 2026) associent le Théorème 1.1 et le Corollaire 10.6 à deux déclarations Lean, signalent zéro sorry et seulement les axiomes standard propext, Classical.choice et Quot.sound, et reprennent leurs énoncés de référence de C et D du projet Formal Conjectures. Le statut de relecture est « self-assessed » (auto-évalué). Ce sont des informations fournies par les auteurs ; une compilation, un audit des axiomes et une vérification de la conformité des énoncés formels au texte de Fefferman sont des tâches indépendantes que ce site n’a pas effectuées.
• Institution et prix. Clay (11 septembre) : « apparemment été résolu » ; évaluation et attribution du mérite « délibérément sans hâte ». Les règles de Clay comptent parmi les conditions une publication qualifiée, un délai de deux ans et une acceptation générale. OpenAI déclare ne pas avoir l’intention de réclamer le prix de 1 million de dollars.

OpenAI a également annoncé une explosion à données lisses pour Euler 3D sans forçage. Ce résultat non visqueux n’établit pas d’explosion pour Navier–Stokes visqueux sans forçage.

Le problème n'est pas dans l'obscurité totale — les mathématiciens ont réalisé des progrès profonds au cours du siècle dernier :

• Des solutions faibles existent (Leray, 1934). Si l’on affaiblit la notion de solution, des solutions globales existent. Sans forçage, la question de savoir si elles restent lisses et uniques est toujours ouverte.
• La 2D est réglée. En deux dimensions, les solutions lisses existent pour tout temps ; c’est connu depuis longtemps, et l’énoncé de Clay en attribue le mérite aux travaux de Ladyzhenskaya. La difficulté est propre à la 3D.
• Les singularités sont rares (Caffarelli-Kohn-Nirenberg, 1982). Même si des singularités existent en 3D, elles sont confinées dans un ensemble de mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle, extrêmement petit dans la géométrie naturelle de l'équation.
• Les solutions de courte durée existent. Pour toute donnée initiale lisse, une solution lisse unique existe pendant au moins un court intervalle de temps. La question est de savoir si elle peut toujours être prolongée indéfiniment.

L’écart est donc étroit mais profond. Nous savons que les solutions partent lisses et que les solutions faibles persistent globalement, mais pour les écoulements 3D sans force extérieure, personne n’a prouvé que la régularité survit toujours, et aucun contre-exemple sans forçage n’est connu.

Résultats clés établis :

• Leray (1934) : Existence globale de solutions faibles (distributionnelles) satisfaisant l'inégalité d'énergie $\|u(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \|u_0\|_{L^2}^2$. Unicité dans cette classe pour $f\equiv0$ ? Ouverte.
• Deux dimensions : pour le problème incompressible 2D, des données lisses à divergence nulle donnent une solution lisse globale unique ; connu depuis longtemps, l’énoncé de Clay citant Ladyzhenskaya.
• Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1982) : Régularité partielle pour les solutions faibles convenables — l'ensemble singulier a une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle : $\mathcal{P}^1(S) = 0$.
• Caractère bien posé local : pour $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle avec $s > 3/2$, ou dans l’espace critique pour le changement d’échelle $\dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}^3)$ (Fujita–Kato, 1964), il existe une unique solution forte (mild) locale sur un intervalle $[0, T^*)$, lisse pour les temps positifs. Koch–Tataru (2001) ont prouvé le caractère bien posé global pour des données suffisamment petites dans l’espace critique $BMO^{-1}$. A-t-on $T^* = \infty$ pour toutes les données admissibles ?

Voici l’écart : nous savons que les solutions faibles existent globalement, et que les solutions fortes existent localement avec unicité complète. Pour $f\equiv0$, la question de savoir si la solution forte peut toujours être prolongée à tout temps reste ouverte ; l’affirmation de 2026 concerne des données avec forçage.

L’estimation d’énergie affichée ici vaut sans forçage. Avec forçage, le membre de droite inclut aussi le terme de travail $2\int_0^t\!\int f(x,s)\cdot u(x,s)\,dx\,ds$.

• Régularité globale sans forçage. Tout écoulement lisse d’énergie finie sans force extérieure reste-t-il lisse pour toujours (A et B de Clay) ? Le résultat annoncé ne le tranche pas.
• Unicité sans forçage. Avec une force spécialement conçue, Albritton, Brué et Colombo (2022) ont montré que les solutions faibles de Leray–Hopf peuvent ne pas être uniques. Sans forçage, l’unicité dans cette classe est ouverte.
• Vérification et acceptation. La lecture experte du manuscrit, la confrontation des énoncés formels aux énoncés informels et l’évaluation de Clay selon ses règles sont des étapes distinctes. Les sources vérifiées ici ne font état d’aucune évaluation achevée en vue du prix.
• Le mécanisme. Ce que la construction révèle sur la manière dont les écoulements visqueux peuvent se concentrer, et la possibilité qu’un phénomène semblable se produise sans forçage, sont des questions de recherche.

La régularité partielle, les critères de prolongement et la théorie des solutions faibles restent les outils de travail pour ces questions : voir les sous-problèmes et l’histoire des progrès, y compris 2026.

• A/B. Pour $f\equiv0$ et toute donnée admissible $u_0$ (décroissante sur $\mathbb{R}^3$, ou périodique), existe-t-il une solution lisse globale ? On ne connaît ni preuve ni contre-exemple sans forçage.
• Unicité de Leray–Hopf pour $f\equiv0$. Ouverte. La non-unicité est connue avec une force appropriée (Albritton–Brué–Colombo, 2022) et, sans forçage, pour des solutions faibles au sens des distributions hors de la classe de Leray–Hopf (Buckmaster–Vicol, 2019).
• Vérification. La lecture indépendante, la correspondance entre énoncés formels et informels et la procédure de Clay sont distinctes de l’annonce.
• Structure de la singularité. Taux, géométrie et stabilité de la singularité forcée annoncée, et leur relation avec les scénarios de type I/type II et avec les critères de prolongement pour le problème sans forçage.

Voir Sous-problèmes et Progrès.

Le forçage désigne un apport extérieur dans l’équation de la vitesse, pas une force qui devient infinie. Les équations de Navier–Stokes sont un modèle continu : elles traitent un fluide comme une matière lisse et ne décrivent pas fidèlement les échelles moléculaires. Une singularité des équations est un énoncé sur les mathématiques de ce modèle. Elle ne prédit pas que l’eau ou l’air réels atteignent une vitesse infinie, et l’annonce n’est ni une formule explicite pour des écoulements arbitraires ni une nouvelle méthode d’ingénierie.

La question garde néanmoins tout son sens pour la physique et l’ingénierie : les équations sont utilisées tous les jours, et savoir si elles peuvent connaître une rupture indique ce que le modèle lui-même peut ou ne peut pas garantir.

Le résultat concerne des solutions classiques d’une EDP idéalisée : un milieu continu newtonien incompressible à densité et viscosité constantes. Le caractère non borné de $\|u\|_{L^\infty}$ en $t=1$ est une propriété de ce modèle ; les hypothèses du modèle (hypothèse du continu, loi de comportement, incompressibilité) ne sont pas conçues pour valoir à des échelles arbitrairement petites. La pertinence physique d’un tel mécanisme est une question distincte, que le théorème n’aborde pas.

Ce n’est pas non plus une formule générale de solution : les solutions exactes explicites restent des cas particuliers, et le calcul pratique reste numérique. Voir Résoudre les équations de Navier-Stokes.

• 1822 — Navier dérive les équations à partir de considérations moléculaires
• 1845 — Stokes leur donne leur forme mathématique moderne
• 1934 — Leray prouve que les solutions faibles existent globalement
• 1969 : monographie de Ladyzhenskaya, que l’énoncé de Clay cite pour la théorie bidimensionnelle ; la régularité globale en 2D est connue depuis longtemps.
• 1982 — Caffarelli, Kohn et Nirenberg prouvent la régularité partielle, établissant que toute singularité éventuelle doit être extraordinairement rare, avec une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle
• 1984 — Beale, Kato et Majda montrent que la seule voie vers l'explosion pour les équations d'Euler 3D passe par une vorticité non bornée (le critère s'étend à Navier-Stokes)
• 2000 — L'Institut Clay le désigne comme problème du prix du Millénaire
• 2014 : Tao construit une explosion pour une version moyennée des équations (prépublication ; publiée en 2016), montrant que l’énergie et le changement d’échelle ne peuvent à eux seuls exclure les singularités.
• 2026 : OpenAI annonce une preuve d’explosion avec forçage lisse revendiquant les alternatives C et D de Clay ; Clay affirme que le problème a « apparemment été résolu », l’évaluation se faisant délibérément sans hâte.

Pour l’histoire complète, voir Progrès sur le problème de Navier-Stokes.

• 1822 — Navier : équations dérivées via un modèle de contrainte moléculaire
• 1845 — Stokes : dérivation rigoureuse en milieu continu
• 1934 — Leray : existence globale de solutions faibles dans $L^2$ ; introduction du projecteur de Leray et de l'inégalité d'énergie
• 1951 — Hopf : extension de la construction de Leray aux domaines bornés (solutions faibles de Leray-Hopf)
• 1962 — Serrin : régularité conditionnelle — lisse si $u \in L^p_t L^q_x$ avec $2/p + 3/q \leq 1$ et $q > 3$ ; le point final $L^\infty_t L^3_x$ a été réglé par Escauriaza-Seregin-Šverák en 2003
• 1969 : monographie de Ladyzhenskaya ; régularité globale en 2D connue depuis longtemps.
• 1982 — Caffarelli-Kohn-Nirenberg : régularité partielle via estimations d'énergie mises à l'échelle ; $\mathcal{P}^1(S) = 0$
• 1984 — Beale-Kato-Majda : critère d'explosion pour Euler 3D — si $T^* < \infty$, alors $\int_0^{T^*} \|\omega(s)\|_{L^\infty} \, ds = \infty$ (des critères de prolongement analogues valent pour Navier-Stokes)
• 2000 — Désignation comme problème du Millénaire de Clay (formulation de Fefferman)
• 2014 — Tao : explosion en temps fini pour une équation de Navier-Stokes moyennée (preprint ; publié JAMS 2016), démontrant qu'aucun argument purement conservant la structure ne peut exclure les singularités
• 2026 : explosion avec forçage lisse annoncée (Théorème 1.1 et Corollaire 10.6 du manuscrit), revendiquant C et D ; Clay : « apparemment été résolu ».

Contexte et liens : Progrès.

Cet article fait partie de Le Problème.

Maintenant que vous connaissez l'état des lieux, explorez les questions plus profondes : pourquoi le problème est-il si difficile ?, quels sont les sous-problèmes clés sur lesquels travaillent les mathématiciens, et quelles approches ils ont essayées.

Pour l'énoncé formel de Clay, voir la page du Problème du Millénaire. Pour comprendre quelle version des équations ce problème concerne, voir Incompressible vs. compressible.

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Pour la formulation précise de Clay et les conditions du prix, voir Le problème du Millénaire. Pour les obstacles mathématiques, voir Pourquoi c'est difficile. Pour le panorama des résultats partiels et des stratégies, voir Sous-problèmes et Approches. Pour quelle version des équations le problème de Clay étudie, voir Incompressible vs. compressible.