Navier-Stokes est-il résolu ? Mise à jour de septembre 2026

État des sources vérifié le 2026-09-12 (JST). Le 8 septembre, OpenAI a annoncé une explosion en temps fini pour Navier–Stokes incompressible 3D avec forçage lisse, revendiquant les alternatives C et D de Clay, avec un manuscrit et une formalisation Lean. Le 11 septembre, Clay a déclaré que le problème avait «apparemment été résolu» ; l’évaluation et l’attribution du mérite se feront délibérément sans hâte. Ce n’est ni l’attribution du prix ni une vérification de la preuve par notre site.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

La régularité globale de Navier–Stokes 3D sans forçage reste ouverte : la construction annoncée avec forçage ne la résout pas. Dans la discussion technique ci-dessous, les questions ouvertes de régularité et d’unicité concernent le système sans forçage, sauf mention explicite d’un autre cadre.

Voir aussi : existence et régularité de Navier-Stokes

Le forçage est un apport extérieur dans l’équation de vitesse, pas une force qui devient infinie. La construction annoncée part du repos et emploie une force lisse. Une énergie cinétique totale bornée n’interdit pas la concentration de la vitesse à des échelles toujours plus petites. Cela concerne un modèle mathématique, pas une prédiction de vitesse infinie dans l’eau réelle. La déclaration de Clay n’attribue pas le prix.

État des sources vérifié le 2026-09-12 (JST). Le 8 septembre, OpenAI a annoncé une explosion en temps fini pour Navier–Stokes incompressible 3D avec forçage lisse, revendiquant les alternatives C et D de Clay, avec un manuscrit et une formalisation Lean. Le 11 septembre, Clay a déclaré que le problème avait «apparemment été résolu» ; l’évaluation et l’attribution du mérite se feront délibérément sans hâte. Ce n’est ni l’attribution du prix ni une vérification de la preuve par notre site.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

La régularité globale de Navier–Stokes 3D sans forçage reste ouverte : la construction annoncée avec forçage ne la résout pas. Dans la discussion technique ci-dessous, les questions ouvertes de régularité et d’unicité concernent le système sans forçage, sauf mention explicite d’un autre cadre.

Le manuscrit affirme, pour toute viscosité $\nu>0$, l’existence d’un forçage lisse à support compact $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty);\mathbb{R}^3)$ et d’une vitesse initiale $u_0=0$, avec solution lisse pour $0\leq t<1$, vitesse uniformément bornée dans $L^2$, mais $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$. La force reste lisse au temps singulier. Le théorème 1.1 revendique la rupture dans l’espace entier ; le corollaire 10.6, la rupture périodique. Ce sont des énoncés rapportés, non une vérification de notre part. OpenAI — Navier–Stokes (PDF), 1.1 / 10.6.

Précisément : étant données des données initiales lisses, à divergence nulle $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ avec décroissance appropriée (ou sur $\mathbb{T}^3$), on ne sait pas si une solution lisse unique $(u, p)$ existe pour tout $t \geq 0$ avec $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0, \infty))$. Aucun contre-exemple n'a été construit.

Le problème n'est pas dans l'obscurité totale — les mathématiciens ont réalisé des progrès profonds au cours du siècle dernier :

• Les solutions faibles existent (Leray, 1934). Si l'on assouplit l'exigence que les solutions soient parfaitement lisses, l'existence de solutions globales peut être démontrée. Ces « solutions faibles » peuvent avoir des aspérités, mais elles n'explosent pas.
• Le cas 2D est résolu (Ladyzhenskaya, 1969). En deux dimensions, les solutions lisses existent pour tout temps. La difficulté est propre à la 3D.
• Les singularités sont rares (Caffarelli-Kohn-Nirenberg, 1982). Même si des singularités existent en 3D, elles sont confinées dans un ensemble de mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle, extrêmement petit dans la géométrie naturelle de l'équation.
• Les solutions de courte durée existent. Pour toute donnée initiale lisse, une solution lisse unique existe pendant au moins un court intervalle de temps. La question est de savoir si elle peut toujours être prolongée indéfiniment.

Ainsi l'écart est étroit mais profond : nous savons que les solutions démarrent lisses et que les solutions faibles persistent globalement. Ce que nous ne pouvons pas prouver, c'est que la régularité est préservée pour tout temps en 3D.

Résultats clés établis :

• Leray (1934) : Existence globale de solutions faibles (distributionnelles) satisfaisant l'inégalité d'énergie $\|u(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \|u_0\|_{L^2}^2$. L'unicité des solutions de Leray-Hopf reste ouverte.
• Ladyzhenskaya (1969) : Régularité globale pour Navier-Stokes 2D incompressible — des données lisses produisent une solution globale lisse unique.
• Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1982) : Régularité partielle pour les solutions faibles convenables — l'ensemble singulier a une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle : $\mathcal{P}^1(S) = 0$.
• Existence et unicité locale : Pour $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$ avec $s > 3/2$, une solution lisse unique existe sur un intervalle $[0, T^*)$. L'existence et unicité locale vaut aussi dans l'espace critique $\dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}^3)$ (Fujita-Kato, 1964), s'étendant à des espaces critiques strictement plus grands incluant $BMO^{-1}$ (Koch-Tataru, 2001). Le problème de régularité demande si $T^* = \infty$.

L'écart : l'existence globale de solutions faibles est connue. L'existence et l'unicité locales de solutions fortes sont connues. La régularité globale — si la solution forte peut toujours être prolongée — est la question ouverte.

L’estimation d’énergie affichée ici vaut sans forçage. Avec forçage, le membre de droite inclut aussi le terme de travail $2\int_0^t\!\int f(x,s)\cdot u(x,s)\,dx\,ds$.

Il s’agit d’une vérification des déclarations publiques, pas d’un audit indépendant de la preuve. Le dépôt indique une revue «self-assessed» (autoévaluée) ; cela ne prouve pas que personne d’autre ne l’a vérifiée. Le manuscrit et Lean offrent des éléments à examiner, sans remplacer le contrôle de la correspondance des énoncés. L’évaluation et le prix de Clay sont distincts du résultat annoncé.

OpenAI a également annoncé une explosion à données lisses pour Euler 3D sans forçage. Ce résultat non visqueux n’établit pas d’explosion pour Navier–Stokes visqueux sans forçage.

Il s’agit d’une vérification des déclarations publiques, pas d’un audit indépendant de la preuve. Le dépôt indique une revue «self-assessed» (autoévaluée) ; cela ne prouve pas que personne d’autre ne l’a vérifiée. Le manuscrit et Lean offrent des éléments à examiner, sans remplacer le contrôle de la correspondance des énoncés. L’évaluation et le prix de Clay sont distincts du résultat annoncé.

OpenAI a également annoncé une explosion à données lisses pour Euler 3D sans forçage. Ce résultat non visqueux n’établit pas d’explosion pour Navier–Stokes visqueux sans forçage.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

Les clauses suivantes résument A et C dans l’espace entier, sans reprendre toutes les hypothèses officielles. Dans A, $f=0$. Dans C, toutes les dérivées spatiales et temporelles du forçage doivent satisfaire les conditions de décroissance de Clay ; la solution globale exclue appartient à la classe lisse d’énergie bornée de l’énoncé officiel. Les alternatives périodiques sont B et D.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

1. (A) Existence et régularité : Pour tout $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ avec $\nabla \cdot u_0 = 0$ et $|\partial_x^\alpha u_0(x)| \leq C_{\alpha K} (1 + |x|)^{-K}$ pour tout $\alpha, K$, prouver l'existence de $(u, p) \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations, avec $\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C$ pour tout $t \geq 0$.
2. (C) Effondrement : Exhiber $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ (à divergence nulle, avec la décroissance prescrite) et $f \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant la condition (5) de décroissance des dérivées du forçage, tels qu’aucune $(u,p) \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ avec les données initiales spécifiées et une énergie cinétique uniformément bornée ne satisfasse le système.

• 1822 — Navier dérive les équations à partir de considérations moléculaires
• 1845 — Stokes leur donne leur forme mathématique moderne
• 1934 — Leray prouve que les solutions faibles existent globalement
• 1969 — Ladyzhenskaya résout complètement le cas 2D
• 1982 — Caffarelli, Kohn et Nirenberg prouvent la régularité partielle, établissant que toute singularité éventuelle doit être extraordinairement rare, avec une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle
• 1984 — Beale, Kato et Majda montrent que la seule voie vers l'explosion pour les équations d'Euler 3D passe par une vorticité non bornée (le critère s'étend à Navier-Stokes)
• 2000 — L'Institut Clay le désigne comme problème du prix du Millénaire
• 2014 — Tao construit une explosion pour une version moyennée des équations (preprint ; publié en 2016), montrant qu'il n'y a pas d'obstruction purement structurelle à la formation de singularités
• Septembre 2026 : OpenAI annonce une explosion 3D avec forçage lisse (Clay C/D) ; Clay reconnaît une résolution apparente. Évaluation et prix restent distincts.

• 1822 — Navier : équations dérivées via un modèle de contrainte moléculaire
• 1845 — Stokes : dérivation rigoureuse en milieu continu
• 1934 — Leray : existence globale de solutions faibles dans $L^2$ ; introduction du projecteur de Leray et de l'inégalité d'énergie
• 1951 — Hopf : extension de la construction de Leray aux domaines bornés (solutions faibles de Leray-Hopf)
• 1962 — Serrin : régularité conditionnelle — lisse si $u \in L^p_t L^q_x$ avec $2/p + 3/q \leq 1$ et $q > 3$ ; le point final $L^\infty_t L^3_x$ a été réglé par Escauriaza-Seregin-Šverák en 2003
• 1969 — Ladyzhenskaya : régularité globale en 2D
• 1982 — Caffarelli-Kohn-Nirenberg : régularité partielle via estimations d'énergie mises à l'échelle ; $\mathcal{P}^1(S) = 0$
• 1984 — Beale-Kato-Majda : critère d'explosion pour Euler 3D — si $T^* < \infty$, alors $\int_0^{T^*} \|\omega(s)\|_{L^\infty} \, ds = \infty$ (des critères de prolongement analogues valent pour Navier-Stokes)
• 2000 — Désignation comme problème du Millénaire de Clay (formulation de Fefferman)
• 2014 — Tao : explosion en temps fini pour une équation de Navier-Stokes moyennée (preprint ; publié JAMS 2016), démontrant qu'aucun argument purement conservant la structure ne peut exclure les singularités
• Septembre 2026 : OpenAI annonce une explosion 3D avec forçage lisse (Clay C/D) ; Clay reconnaît une résolution apparente. Évaluation et prix restent distincts.

Cet article fait partie de Le Problème.

Maintenant que vous connaissez l'état des lieux, explorez les questions plus profondes : pourquoi le problème est-il si difficile ?, quels sont les sous-problèmes clés sur lesquels travaillent les mathématiciens, et quelles approches ils ont essayées.

Pour l'énoncé formel de Clay, voir la page du Problème du Millénaire. Pour comprendre quelle version des équations ce problème concerne, voir Incompressible vs. compressible.

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Pour la formulation précise de Clay et les conditions du prix, voir Le problème du Millénaire. Pour les obstacles mathématiques, voir Pourquoi c'est difficile. Pour le panorama des résultats partiels et des stratégies, voir Sous-problèmes et Approches. Pour quelle version des équations le problème de Clay étudie, voir Incompressible vs. compressible.