Progrès sur le problème de Navier-Stokes

En neuf décennies, les mathématiciens ont prouvé que des solutions faibles existent pour tout temps (Leray), que d’éventuelles singularités doivent être extrêmement petites (Caffarelli–Kohn–Nirenberg), quelles quantités doivent exploser à une première singularité (Beale–Kato–Majda et critères ultérieurs), et que l’énergie et le changement d’échelle ne peuvent à eux seuls exclure l’explosion (Tao). En septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve d’explosion en temps fini pour les équations 3D avec une force extérieure lisse, correspondant aux alternatives de rupture de Clay, et Clay a déclaré que le problème avait « apparemment été résolu ». La question de savoir si les écoulements sans force extérieure restent toujours lisses demeure ouverte.

Cette page suit ce fil : les jalons, puis le chapitre 2026 et ses liens avec eux. Pour l’état daté seul, voir Navier-Stokes est-il résolu ?

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

En neuf décennies, les mathématiciens ont prouvé que des solutions faibles existent pour tout temps (Leray), que d’éventuelles singularités doivent être extrêmement petites (Caffarelli–Kohn–Nirenberg), quelles quantités doivent exploser à une première singularité (Beale–Kato–Majda et critères ultérieurs), et que l’énergie et le changement d’échelle ne peuvent à eux seuls exclure l’explosion (Tao). En septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve d’explosion en temps fini pour les équations 3D avec une force extérieure lisse, correspondant aux alternatives de rupture de Clay, et Clay a déclaré que le problème avait « apparemment été résolu ». La question de savoir si les écoulements sans force extérieure restent toujours lisses demeure ouverte.

Ci-dessous : les jalons sous leur forme précise, puis la rupture forcée revendiquée (Théorème 1.1 et Corollaire 10.6 du manuscrit) lue à leur lumière. État daté : Navier-Stokes est-il résolu ?

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

Les résultats qui ont remodelé le domaine :

• 1934 — Leray : A prouvé que des solutions faibles globales en temps existent pour toute donnée initiale raisonnable. Quelque chose persiste pour toujours. Mais cela reste-t-il lisse ? C’est la question à laquelle Leray n’a pas pu répondre ; pour les écoulements sans forçage, elle est toujours ouverte.
• 1982 — Caffarelli, Kohn, Nirenberg : Ont montré que l'ensemble des singularités possibles est incroyablement petit — il a une longueur nulle dans l'espace-temps. L'explosion, si elle se produit, est extrêmement rare.
• 1984 — Beale, Kato, Majda : Ont établi qu'une solution lisse ne peut s'effondrer que si la vorticité explose. Cela a donné une cible précise : contrôler la vorticité, et vous contrôlez l'écoulement.
• 2016 — Tao : A construit une explosion pour une version moyennée de Navier-Stokes, montrant que certaines stratégies de preuve ne peuvent pas fonctionner pour les vraies équations. Un résultat de barrière, pas une solution.
• 2019 — Buckmaster, Vicol : Sans aucune force, des solutions faibles au sens des distributions, d’énergie finie, peuvent ne pas être uniques. Ces solutions se situent hors de la classe de Leray–Hopf (Annals 2019).
• 2022 — Albritton, Brué, Colombo : Les solutions faibles de Leray-Hopf ne sont pas uniques lorsqu’on autorise une force extérieure. La classe définie par l’inégalité d’énergie n’est pas aussi docile qu’espéré, ce qui a aiguisé la question de savoir quelles solutions faibles ont un sens physique.

Le lien entre ces résultats et l’annonce de 2026 fait l’objet de la section suivante.

• 1934 — Leray : Existence globale de solutions faibles dans $L^2$ pour des données $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^3)$, satisfaisant l'inégalité d'énergie. Acta Mathematica
• 1982 — Caffarelli–Kohn–Nirenberg (CKN) : Théorème de régularité partielle — la mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle de l'ensemble singulier est nulle : $\mathcal{P}^1(\mathrm{sing}\, u)=0$. Comm. Pure Appl. Math.
• 1984 — Beale–Kato–Majda (BKM) : Critère de continuation — une solution lisse sur $[0,T)$ se prolonge au-delà de $T$ si et seulement si $\int_0^T \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty}\,dt < \infty$. Originellement pour Euler ; adapté à Navier-Stokes. Comm. Math. Phys.
• 2016 — Tao : Explosion en temps fini pour une équation de Navier-Stokes moyennée qui obéit aux mêmes propriétés d'énergie et de changement d'échelle que le vrai système. Démontre que toute preuve de régularité doit utiliser une structure plus fine que les estimations d'énergie et le changement d'échelle seuls. J. Amer. Math. Soc.
• 2019 — Buckmaster–Vicol : non-unicité de solutions faibles au sens des distributions, d’énergie cinétique finie, pour les équations sans forçage, par intégration convexe ; ces solutions ne satisfont pas l’inégalité d’énergie et se situent donc hors de la classe de Leray–Hopf (Annals 2019).
• 2022 — Albritton–Brué–Colombo : Non-unicité des solutions de Leray-Hopf pour Navier-Stokes 3D forcé, via des solutions auto-similaires instables. Ann. of Math.

La section suivante lit l’affirmation de 2026 à la lumière de ces résultats.

Le 8 septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve que, pour toute viscosité positive, une solution lisse partant du repos et entraînée par une force extérieure lisse à support compact développe une vitesse non bornée en un temps fini, tandis que son énergie cinétique reste bornée. OpenAI indique que cela établit l’alternative C de Clay, ainsi que son analogue périodique D. Le 11 septembre, Clay a déclaré que le problème avait « apparemment été résolu », l’évaluation se faisant délibérément sans hâte. Détails et sources.

Liens avec les travaux antérieurs. Ces points relèvent de la cohérence et du contexte ; aucun d’eux ne vérifie la preuve.

• La question de Leray. Leray (1934) a introduit les solutions faibles (« turbulentes ») tout en laissant ouverte la question de savoir si des solutions lisses peuvent perdre leur régularité, et il a suggéré un scénario d’explosion auto-similaire. Ce scénario particulier a ensuite été exclu sous des conditions d’intégrabilité naturelles (Nečas–Růžička–Šverák, 1996 ; Tsai, 1998). L’affirmation de 2026 répond à la question de la rupture dans un cadre avec forçage ; pour les écoulements sans forçage, elle reste ouverte.
• Régularité partielle. Caffarelli–Kohn–Nirenberg limite la taille que peut avoir un ensemble singulier ; ce résultat n’a jamais exclu les singularités. Une construction d’explosion n’entre donc pas en conflit avec lui.
• Critères de prolongement. Les critères de type Beale–Kato–Majda et Prodi–Serrin–Ladyzhenskaya indiquent quelles quantités doivent devenir non bornées à un premier instant singulier. L’énoncé de Clay note que, pour Navier–Stokes, la vitesse devient non bornée près d’un temps d’explosion fini, et le théorème annoncé est formulé ainsi : la vitesse maximale devient non bornée à l’approche de l’instant singulier, tandis que l’énergie reste bornée.
• La barrière de Tao. L’équation moyennée de Tao a montré qu’une preuve de régularité doit exploiter une structure de la vraie non-linéarité plus fine que l’énergie et le changement d’échelle. La construction annoncée travaille avec les vraies équations, mais avec forçage ; elle ne nous dit donc pas si la dynamique sans forçage possède une structure qui empêche l’explosion.
• Non-unicité. Buckmaster–Vicol (sans forçage, hors de la classe de Leray–Hopf) et Albritton–Brué–Colombo (Leray–Hopf, avec forçage) concernent l’unicité des solutions faibles. L’affirmation de 2026 concerne la perte de régularité d’une solution partant lisse : une question distincte.
• Euler. OpenAI a également annoncé une explosion à données lisses pour Euler 3D sans forçage. Ce résultat non visqueux n’établit pas d’explosion pour Navier–Stokes visqueux sans forçage.

Ce qui n’a pas changé : la question de la régularité globale sans forçage (A et B de Clay), l’unicité des solutions de Leray–Hopf sans forçage, ainsi que les programmes de régularité partielle et de critères de prolongement restent des axes de recherche ouverts. Voir Sous-problèmes et Approches.

L’affirmation. Pour tout $\nu>0$, le manuscrit construit $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty);\mathbb{R}^3)$ et des $(u,p)$ lisses sur $\mathbb{R}^3\times[0,1)$ avec $u(\cdot,0)=0$, $\sup_{0\le t<1}\|u(t)\|_{L^2}<\infty$ et $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$ (Théorème 1.1, alternative C) ; le Corollaire 10.6 donne le cas périodique (alternative D). Clay (11 septembre) : « apparemment été résolu ». État et sources.

• Leray. L’ansatz auto-similaire de Leray $u(x,t)=\lambda(t)U(\lambda(t)x)$ avec $\lambda(t)=(2a(T-t))^{-1/2}$ a été exclu pour $U\in L^3(\mathbb{R}^3)$ par Nečas–Růžička–Šverák (1996) et sous des bornes d’énergie locale par Tsai (1998). Ces résultats contraignent un profil d’explosion ; ils n’excluent pas les singularités en général.
• CKN. $\mathcal{P}^1(S)=0$ restreint la taille de l’ensemble singulier des solutions faibles convenables ; ce résultat est compatible avec des points singuliers isolés et n’entre donc pas en conflit avec une construction d’explosion.
• Critères. Beale–Kato–Majda ($\int_0^{T^*}\|\omega\|_{L^\infty}\,dt=\infty$), Prodi–Serrin–Ladyzhenskaya ($u\notin L^p_tL^q_x$, $2/p+3/q\le1$, $q>3$) et Escauriaza–Seregin–Šverák décrivent le comportement nécessaire à un premier instant singulier. L’énoncé de Fefferman consigne que, pour $\nu>0$, la vitesse devient non bornée près d’un temps d’explosion fini ; le Théorème 1.1 est formulé comme $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$ avec une norme $L^2$ bornée.
• Tao. Le modèle moyenné montre que l’identité d’énergie et le changement d’échelle n’empêchent pas à eux seuls l’explosion. La construction avec forçage utilise la vraie non-linéarité ; la question de savoir si la vraie dynamique sans forçage admet un mécanisme de régularité au-delà de l’énergie et du changement d’échelle n’en est pas affectée.
• Non-unicité. Buckmaster–Vicol (2019) : sans forçage, au sens des distributions, hors de Leray–Hopf. Albritton–Brué–Colombo (2022) : Leray–Hopf, avec forçage. L’affirmation de 2026 est un énoncé de régularité (de rupture) pour une solution classique, non un énoncé d’unicité.
• Euler. OpenAI a également annoncé une explosion à données lisses pour Euler 3D sans forçage. Ce résultat non visqueux n’établit pas d’explosion pour Navier–Stokes visqueux sans forçage.

Les problèmes ouverts inchangés comprennent A/B ($f\equiv0$), l’unicité de Leray–Hopf pour $f\equiv0$ et des critères de prolongement optimaux. Voir Sous-problèmes et Approches.

Cette page est une carte, pas le territoire. Pour les détails :

Pour un traitement détaillé des directions de recherche spécifiques :

• Sous-problèmes — cas résolus et partiellement résolus : régularité globale en 2D, axisymétrique sans tourbillon, résultats en espaces critiques ($L^3$, $\dot{H}^{1/2}$, $BMO^{-1}$), et critères de régularité conditionnelle au-delà de BKM.
• Approches — les principales stratégies de preuve en cours d'investigation active : méthodes d'énergie et d'enstrophie, décomposition en profils, théorie des solutions mild, Navier-Stokes stochastique, programmes d'intégration convexe et bornes assistées par ordinateur.

Sources vérifiées le 2026-09-29 (JST). Cette page résume la littérature publiée et des déclarations publiques ; ce n’est pas un audit indépendant de la preuve. Le dépôt qualifie sa relecture de « self-assessed » (auto-évaluée) ; cela n’établit pas une vérification indépendante et ne montre pas non plus que personne d’autre n’a vérifié le travail. La publication Lean et le manuscrit fournissent matière à examen ; ils ne dispensent pas de vérifier que les énoncés formels correspondent aux théorèmes visés.

Sources 2026 : Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Manuscrit (PDF) · Lean / GitHub.

Sources vérifiées le 2026-09-29 (JST). Cette page résume la littérature publiée et des déclarations publiques ; ce n’est pas un audit indépendant de la preuve. Le dépôt qualifie sa relecture de « self-assessed » (auto-évaluée) ; cela n’établit pas une vérification indépendante et ne montre pas non plus que personne d’autre n’a vérifié le travail. La publication Lean et le manuscrit fournissent matière à examen ; ils ne dispensent pas de vérifier que les énoncés formels correspondent aux théorèmes visés.

Sources 2026 : Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Manuscrit (PDF) · Lean / GitHub.