Résoudre les équations de Navier-Stokes : ce que « solution » veut vraiment dire

Quand quelqu'un demande si les équations de Navier-Stokes peuvent être résolues, la réponse honnête est : cela dépend de ce qu'on entend par « résolues ». Les ingénieurs les résolvent numériquement tous les jours pour concevoir des avions et prévoir la météo. Les mathématiciens connaissent des solutions exactes, calculables à la main, pour des géométries simples depuis les années 1840. Mais personne n'a résolu le problème, qui consiste à prouver que les solutions existent toujours et se comportent bien.

Il y a trois niveaux distincts :

• Les solutions exactes. Dans des géométries particulières, la symétrie simplifie tellement les équations qu'on peut écrire la réponse sous forme fermée.
• Les solutions numériques. Pour les géométries du monde réel, les ordinateurs approchent l'écoulement cellule par cellule et pas de temps par pas de temps. C'est la mécanique des fluides numérique (CFD).
• La question de l'existence. Tout écoulement initial lisse en 3D reste-t-il lisse à jamais ? C'est le problème du prix du Millénaire, et il est ouvert.

La suite de cette page parcourt chacun de ces niveaux et, surtout, les écarts qui les séparent. C'est dans ces écarts que vivent les mathématiques intéressantes.

Fixons le système incompressible $$\partial_t u + (u\cdot\nabla)u = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\,\Delta u + f, \qquad \nabla\cdot u = 0.$$ Le « résoudre » peut signifier trois choses inéquivalentes :

1. Forme fermée : exhiber des champs $u(x,t)$ et $p(x,t)$ qui satisfont le système exactement. En pratique, cela exige une réduction guidée par la symétrie qui transforme le système d'EDP en une EDO linéaire ou en une équation de type chaleur.
2. Approximation discrète : construire $u_h$ sur un maillage de taille $h$ tel que $u_h$ converge vers une solution lorsque $h\to 0$, sous des contraintes de stabilité et de consistance sur le schéma.
3. Caractère bien posé : la formulation du Clay Mathematics Institute demande si, pour toute donnée initiale $u_0$ lisse, à divergence nulle et à décroissance rapide sur $\mathbb{R}^3$ (ou pour des données lisses sur le tore), il existe une solution lisse $(u,p)$ d'énergie bornée pour tout $t>0$.

Chaque niveau présuppose moins de structure que le précédent et demande davantage de généralité. Les deux premiers relèvent de la pratique établie. Le troisième est le problème ouvert.

Parfois la géométrie est si simple que la partie la plus difficile des équations disparaît. Dans une conduite droite ou entre deux plaques parallèles, le fluide se déplace dans une direction et varie dans une autre. Cette configuration tue entièrement le terme non linéaire, et ce qui reste est une équation qu'on peut intégrer à la main.

Les familles classiques que tout cours de mécanique des fluides couvre :

• Écoulement de Poiseuille : écoulement entraîné par la pression dans une conduite ou un canal, avec son profil de vitesse parabolique
• Écoulement de Couette : fluide cisaillé entre une plaque mobile et une plaque fixe
• Premier problème de Stokes : fluide mis en mouvement par une paroi qui démarre soudainement
• Tourbillon de Lamb-Oseen : un tourbillon isolé qui s'étale lentement sous l'action de la viscosité
• Écoulement de stagnation : écoulement heurtant frontalement une paroi

Ce ne sont pas des pièces de musée. Ce sont les références sur lesquelles tout code de CFD est testé, et elles portent une véritable intuition sur la façon dont la viscosité façonne un écoulement. Notre page sur les solutions exactes détaille les formules une à une. Pour suivre une réduction complète depuis Navier–Stokes jusqu’au profil et au débit, consultez la dérivation de l’écoulement de Poiseuille.

Pour un écoulement parallèle $u=(u(y,t),0,0)$, la condition de divergence nulle est automatiquement satisfaite et le terme d'advection s'annule identiquement : $(u\cdot\nabla)u = 0$. L'équation de quantité de mouvement se réduit à $$\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx} + \nu\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},$$ une équation linéaire. En régime stationnaire, elle devient une EDO du second ordre résoluble par intégration directe ; entre des plaques en $y=0$ et $y=h$, cela donne le profil plan de Poiseuille $$u(y)=\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)y(h-y).$$

Le schéma se généralise : chaque solution exacte classique existe parce qu'une symétrie (lignes de courant parallèles, symétrie radiale, auto-similarité) supprime ou dompte la rétroaction non linéaire entre le champ de vitesse et son propre transport. Brisez la symétrie et la forme fermée disparaît. C'est pourquoi les solutions exactes, si précieuses soient-elles, ne disent presque rien du problème tridimensionnel général. La dérivation rigoureuse de l’écoulement de Poiseuille illustre en détail cette annulation et les conditions aux limites qui ferment le problème radial.

Pour tout ce qui est plus compliqué qu'une conduite droite (une aile, un vaisseau sanguin, un système orageux), il n'existe pas de formule. À la place, la CFD découpe l'espace en millions de petites cellules et fait avancer l'écoulement dans le temps, en calculant comment la vitesse et la pression de chaque cellule répondent à celles de ses voisines. On ne résout pas les équations continues d'origine. On résout un substitut discret, construit pour que ses réponses approchent l'écoulement réel à mesure que les cellules rétrécissent.

Les principales familles de discrétisation :

• Différences finies : remplacer les dérivées par des différences sur une grille
• Volumes finis : suivre les flux à travers les faces des cellules pour que les quantités conservées le restent (la plupart des codes de CFD commerciaux fonctionnent ainsi)
• Éléments finis : construire la solution à partir de fonctions de base simples
• Méthodes spectrales : développer l'écoulement en modes de Fourier, extrêmement précises pour les domaines périodiques
• Boltzmann sur réseau : simuler des populations de particules simplifiées dont les moyennes redonnent les équations du fluide

Les écoulements turbulents ajoutent une couche supplémentaire de choix de modélisation, depuis tout résoudre (DNS) jusqu'à tout moyenner (RANS). La finesse de résolution nécessaire dépend du nombre de Reynolds, et les équations à discrétiser dépendent du caractère incompressible ou compressible de l'écoulement.

La difficulté structurelle centrale est le couplage pression-vitesse. Les équations de Navier-Stokes incompressibles n'ont pas d'équation d'évolution pour $p$ ; la pression agit comme un multiplicateur de Lagrange imposant $\nabla\cdot u = 0$. Les traitements standard incluent les méthodes de projection (Chorin, 1968), qui avancent une vitesse provisoire puis la projettent sur les champs à divergence nulle via une résolution de Poisson pour la pression, les schémas de correction de pression de la famille SIMPLE/SIMPLEC/PISO, et les solveurs entièrement couplés.

La discrétisation de l'advection impose un compromis : les schémas décentrés amont sont stables mais introduisent une diffusion numérique, tandis que les schémas centrés sont plus précis mais sujets à des oscillations parasites. L'intégration temporelle se divise en schémas explicites (peu coûteux par pas, limités par la condition CFL), schémas implicites (stables mais exigeant des résolutions non linéaires à chaque pas) et combinaisons IMEX.

Pour la turbulence, la hiérarchie est DNS, LES, RANS. La simulation numérique directe résout toutes les échelles dynamiquement actives, avec un coût croissant si vite avec le nombre de Reynolds qu'elle est confinée à des $Re$ modestes. La simulation des grandes échelles résout les grandes structures et modélise les contraintes de sous-maille. Les formulations moyennées au sens de Reynolds modélisent l'ensemble du champ fluctuant et ferment les équations aux moments résultantes par des modèles empiriques.

Voici le paradoxe. Les ingénieurs calculent des écoulements tous les jours et les physiciens font entièrement confiance aux équations, et pourtant les mathématiciens ne peuvent pas prouver que les équations donnent toujours une réponse bien comportée. Partez de n'importe quel écoulement initial lisse en 3D et laissez-le évoluer. Reste-t-il lisse à jamais, ou peut-il concentrer l'énergie si violemment que les vitesses deviennent infinies en temps fini ? Personne ne le sait. Cette question, existence et régularité, est l'un des sept problèmes du prix du Millénaire, doté d'un million de dollars.

Ce qui est déjà acquis :

• En 2D, la réponse est oui : les solutions lisses existent pour tout temps. Cela a été établi au milieu du XXe siècle.
• En 3D pour des temps courts, les solutions lisses existent. L'inconnue est de savoir si « court » peut toujours être étendu en « à jamais ».
• En 3D pour tout temps, un type de solution plus faible (les solutions faibles de Leray) existe toujours. Savoir si ces solutions faibles sont réellement lisses est exactement la question ouverte.

Pourquoi la 3D résiste là où la 2D cède tient à l'étirement de la vorticité et à la façon dont l'énergie migre vers les petites échelles ; notre page sur la difficulté du problème approfondit le sujet.

Leray (1934) a prouvé l'existence globale en temps de solutions faibles pour des données initiales à divergence nulle $u_0\in L^2(\mathbb{R}^3)$ : des champs satisfaisant les équations au sens des distributions et l'inégalité d'énergie, mais sans régularité ponctuelle garantie. L'unicité de ces solutions est inconnue.

Le problème de Clay demande : pour $f\equiv 0$ et une donnée initiale $u_0$ lisse, à divergence nulle et à décroissance rapide sur $\mathbb{R}^3$, existe-t-il un couple $(u,p)$ avec $u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))$ et une énergie globalement bornée ? Une preuve de régularité globale comme une démonstration d'explosion en temps fini pour des données admissibles résoudrait le problème.

La séparation dimensionnelle est nette. La régularité globale en 2D a été établie par les travaux combinés de Leray, Ladyzhenskaya, Lions et Prodi ; le point clé est que la vorticité 2D est transportée sans étirement, ce qui donne un contrôle a priori fort. En 3D, l'existence locale en temps de solutions lisses est classique, et l'on sait que la régularité persiste tant que certaines normes critiques d'échelle restent finies, mais la régularité globale pour des données générales reste ouverte dans les deux directions : ni preuve, ni contre-exemple.

Si les ordinateurs peuvent simuler n'importe quel écoulement, pourquoi la question mathématique importe-t-elle ? Parce qu'une simulation et une preuve répondent à des questions différentes. Une simulation donne des nombres sur une grille. Une preuve donne une garantie sur les équations elles-mêmes : que les solutions existent, sont uniques et répondent continûment aux changements des données initiales. Sans cette garantie, il y a une lacune logique au fondement de la mécanique des fluides. « Les équations fonctionnent » et « nous pouvons prouver que les équations fonctionnent » ne sont pas le même énoncé.

Cet écart a des conséquences concrètes. Les simulations explosent parfois, et quand cela arrive, on ne peut pas toujours dire si l'on a rencontré un artefact numérique (maillage trop grossier, pas de temps trop grand) ou frôlé une véritable singularité des équations elles-mêmes. Une théorie de la régularité trancherait quelles défaillances sont réelles. Les stratégies visant à combler cet écart vivent sur nos pages approches et sous-problèmes.

Les théorèmes de convergence des schémas numériques sont conditionnels : ils supposent typiquement que la solution limite possède exactement la régularité que le problème du Millénaire nous demande d'établir. À défaut, le raffinement de maillage produit des suites dont les limites ne sont garanties être, au mieux, que des solutions faibles, et la classe faible réserve des surprises. Les méthodes d'intégration convexe (développées pour Euler dans la résolution de la conjecture d'Onsager par Isett et par Buckmaster, De Lellis, Székelyhidi et Vicol, et étendues par Buckmaster et Vicol à Navier-Stokes dans des classes plus faibles que Leray-Hopf) montrent que les solutions distributionnelles peuvent être gravement non uniques. La notion de « la » solution calculée est donc moins innocente qu'elle n'en a l'air.

Il y a aussi un écart de résolution. La DNS atteint actuellement $Re\sim 10^4\text{-}10^5$ sur les grandes machines, tandis que les écoulements atmosphériques opèrent à $Re\sim 10^9$. La pratique de l'ingénierie extrapole la confiance dans les équations sur plusieurs ordres de grandeur de séparation d'échelles, sans théorie rigoureuse du caractère bien posé pour garantir cette extrapolation. Rien de tout cela ne rend la CFD peu fiable en pratique ; cela localise précisément ce qu'une preuve apporterait.

Où en sont les choses aujourd'hui :

• Solutions exactes : un catalogue établi pour les écoulements symétriques, qui s'enrichit encore lentement à la marge
• Solutions numériques : matures et spectaculairement précises pour l'ingénierie, avec une fiabilité qui se dégrade à mesure que la modélisation de la turbulence porte une part croissante de la charge
• La question de l'existence : ouverte. Pas de preuve de régularité globale, pas de contre-exemple d'explosion, prix non réclamé

La hiérarchie du « résoudre » reflète la hiérarchie de la compréhension. Nous pouvons calculer presque n'importe quel écoulement et l'approcher aussi finement que les budgets le permettent, mais nous ne pouvons pas encore prouver le plus élémentaire des énoncés de bonne position sur les équations 3D. Les résultats partiels continuent d'arriver, et notre page de progrès les recense au fur et à mesure.

Le résultat 3D inconditionnel le plus fort reste la régularité partielle de Caffarelli-Kohn-Nirenberg : pour les solutions faibles convenables, l'ensemble singulier a une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle. Les critères de régularité conditionnels (Beale-Kato-Majda via la vorticité, formulé à l'origine pour Euler et adapté à Navier-Stokes, et les conditions d'intégrabilité critiques d'échelle de Prodi-Serrin-Ladyzhenskaya) convertissent le contrôle d'une seule quantité critique en régularité complète.

Les directions actives incluent l'intégration convexe et la structure de la non-unicité en dessous de la classe de Leray-Hopf, les résultats de régularité quantitative et de taux d'explosion, l'analyse assistée par ordinateur de scénarios candidats d'explosion autosimilaire, et les questions de régularisation stochastique. L'écart d'échelle (les estimations a priori connues sont surcritiques par rapport au scaling naturel des équations) demeure l'obstruction centrale, et c'est pourquoi les améliorations incrémentales n'ont pas clos le problème.