Le problème de Navier-Stokes

Le problème de Navier–Stokes demande si les équations du mouvement des fluides se comportent toujours bien en trois dimensions : en partant d’un écoulement lisse d’énergie finie, la solution reste-t-elle lisse pour tout temps, ou la vitesse peut-elle devenir infinie au bout d’un temps fini ? La version du prix du Millénaire de Clay accepte soit une preuve de régularité globale sans force extérieure, soit un exemple de rupture, dans lequel une force lisse à décroissance rapide peut aussi être choisie.

L’état en bref : en septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve de l’alternative de rupture avec une telle force, et Clay a déclaré que le problème avait « apparemment été résolu », l’évaluation se faisant délibérément sans hâte. On ne sait toujours pas si les écoulements sans forçage restent toujours lisses. La synthèse datée sur l’état du problème présente ce qui a été affirmé et comment c’est évalué.

Cette page sert de carte : ce qu’est la question, ce qui a été prouvé, pourquoi elle résiste à la preuve et où poursuivre la lecture.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

Le problème d’existence et de régularité de Navier-Stokes demande si, pour toute donnée initiale suffisamment lisse et à divergence nulle $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ avec une décroissance convenable et $f \equiv 0$, le système de Navier-Stokes incompressible admet une solution $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ d’énergie bornée (et la question périodique analogue sur $\mathbb{T}^3$). La formulation de Clay accepte aussi un exemple de rupture où un forçage lisse admissible est autorisé.

L’état en bref : le manuscrit de septembre 2026 revendique les alternatives de rupture avec forçage, C sur $\mathbb{R}^3$ (Théorème 1.1) et D sur $\mathbb{T}^3$ (Corollaire 10.6) ; Clay a déclaré que le problème avait « apparemment été résolu », l’évaluation se faisant délibérément sans hâte. Le cas $f\equiv0$ n’est pas tranché par cette affirmation. Détails : état daté et sources.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

Le problème de Navier-Stokes n'est pas résolu, mais il n'est pas resté inexploré. Près d'un siècle de travaux a cartographié le terrain — révélant précisément où réside la difficulté :

• Des solutions faibles existent globalement (Leray, 1934). Si l’on assouplit la notion de « solution » pour admettre un comportement irrégulier, moyenné, des solutions existent pour tout temps. Personne n’a prouvé qu’elles restent lisses sans forçage. En savoir plus sur les approches →
• Le cas 2D est résolu. En deux dimensions, les solutions lisses existent toujours globalement. Le cas difficile est celui des trois dimensions. Pourquoi la 3D est plus difficile →
• Les singularités, si elles existent, sont rares (CKN, 1982). Caffarelli, Kohn et Nirenberg ont prouvé que l'ensemble des singularités possibles a une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle — elles ne peuvent pas se concentrer sur des courbes de l'espace-temps. Sous-problèmes et résultats partiels →
• Les solutions lisses existent pour un temps court. Étant données des données initiales lisses, une solution lisse unique existe pour un certain intervalle de temps — la question est de savoir si cet intervalle peut toujours être étendu à l'infini.
• La formulation précise a été établie par Charles Fefferman pour l'Institut Clay. Lire l'énoncé du problème du Millénaire →

Les résultats suivants constituent les principaux progrès partiels :

• Leray (1934) : pour $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^3)$, des solutions faibles globales (appelées aujourd’hui solutions de Leray-Hopf) existent et satisfont l’inégalité d’énergie. Pour $f\equiv0$, l’unicité et la régularité de ces solutions restent ouvertes ; avec une force convenablement choisie, la non-unicité a été prouvée. Approches →
• Régularité globale en 2D : en deux dimensions, l’existence globale et l’unicité des solutions lisses sont connues depuis longtemps ; l’énoncé de Clay cite la monographie de Ladyzhenskaya de 1969. La clé est que l’enstrophie est contrôlée en 2D. Pourquoi la 3D est différente →
• CKN (1982) : Caffarelli, Kohn et Nirenberg ont prouvé que la mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle de l'ensemble singulier de toute solution faible convenable est nulle. Sous-problèmes →
• Existence locale : Pour des données suffisamment régulières, des solutions locales lisses uniques existent ; dans les espaces critiques tels que $\dot{H}^{1/2}$, on dispose de l'existence et unicité locale dans le cadre des solutions mild. La question ouverte est de savoir si ces solutions peuvent toujours être prolongées pour tout temps.
• Formulation de Clay (2000) : L'énoncé du problème par Fefferman spécifie les espaces fonctionnels exacts, les conditions de décroissance et ce qui constitue une preuve ou une réfutation valide. Le problème du Millénaire →

Voici la difficulté centrale. Le mouvement propre d’un fluide peut pousser l’activité vers des échelles de plus en plus petites plus vite que les estimations actuelles ne peuvent le contrôler. Pour les écoulements tridimensionnels sans force extérieure, les estimations connues ne sont pas assez fortes pour l’exclure, et personne n’a montré que cela se produit. (La construction de 2026 affirme que cela peut se produire lorsqu’une force lisse est appliquée.)

Ce n’est pas une question d’ingéniosité. Ce n’est pas une question de puissance de calcul. Les estimations connues ne suffisent pas, et c’est cette tension entre concentration et dissipation qui fait que trancher la question sans forçage exige des idées nouvelles.

Pour l'histoire complète — supercriticalité, écart d'échelle, pourquoi la turbulence 3D est fondamentalement différente — voir Pourquoi le problème de Navier-Stokes est si difficile.

Les équations de Navier-Stokes en 3D sont supercritiques par rapport à l'estimation naturelle d'énergie : la norme $L^2$ est contrôlée, mais la régularité critique au sens du changement d'échelle se situe en $\dot{H}^{1/2}$, qui n'est pas propagée par la seule inégalité d'énergie. Le terme non linéaire $(u \cdot \nabla)u$ peut en principe transférer l'énergie vers des échelles arbitrairement fines plus vite que le laplacien ne la dissipe.

C’est l’obstruction analytique essentielle ; pour $f\equiv0$, aucune technique existante ne comble l’écart. Pour un traitement détaillé, voir Pourquoi c’est difficile.

En 2000, le Clay Mathematics Institute a fait de cette question de régularité l’un des sept problèmes du prix du Millénaire, offrant 1 000 000 de dollars pour une résolution reconnue selon ses règles. L’énoncé officiel accepte l’une quelconque de quatre alternatives : régularité globale sans forçage, ou rupture avec forçage lisse admissible autorisé, chacune sur tout l’espace ou dans une boîte périodique. Cette présentation explique pourquoi cette question du prix compte, une fois replacée dans son contexte.

Pour la formulation exacte, lisez l’énoncé officiel du problème expliqué. Pour savoir où en sont les choses, consultez l’état actuel (sources vérifiées le 2026-09-29).

Le Clay Mathematics Institute a inclus cette question de régularité dans sa liste de 2000 des problèmes du prix du Millénaire. La formulation, rédigée par C. Fefferman, est posée sur $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{T}^3$ et accepte soit une preuve d’existence lisse globale avec $f\equiv0$ (A, B), soit une construction de rupture dans laquelle une force lisse admissible peut être choisie (C, D).

Lisez l’énoncé officiel du problème expliqué, ou consultez l’état actuel (sources vérifiées le 2026-09-29).

Cette page est une carte. Choisissez la question qui vous amène :

• Est-ce résolu ? L’annonce de septembre 2026, la réponse de Clay et ce qui reste ouvert.
• Que demande exactement Clay ? L’énoncé officiel, ses quatre alternatives et leurs conditions.
• Pourquoi est-ce difficile ? Supercriticité, turbulence et écart d’échelle.
• Pourquoi la 2D est-elle plus facile ? L’étirement tourbillonnaire et ce qu’il met en échec en trois dimensions.
• Qu’est-ce qu’une solution faible ? Solutions faibles, fortes et lisses, et ce que l’unicité signifie pour chacune.
• Qu’a-t-on prouvé ? De Leray à l’affirmation de 2026.
• Que signifie « résoudre » ? Formules exactes, CFD et question mathématique, et pourquoi ce sont des choses différentes.

Pour des traitements détaillés :

• Est-ce résolu ? Le théorème annoncé, sa correspondance avec C/D, l’état de l’évaluation et les questions restantes.
• Le problème du Millénaire La formulation de Fefferman, les espaces fonctionnels, les conditions (4)–(11) et ce qui constitue une résolution valide.
• Pourquoi c’est difficile Le changement d’échelle supercritique, le rôle de la non-linéarité et l’écart entre le contrôle au niveau de l’énergie et la régularité.
• Pourquoi la 2D est plus facile que la 3D Transport de la vorticité, contrôle de l’enstrophie et étirement tourbillonnaire.
• Solutions faibles, fortes et lisses Solutions au sens des distributions ou de Leray–Hopf, et unicité faible-forte.
• Progrès Les jalons et le chapitre 2026 en contexte.
• Résoudre les équations Les trois sens de « solution » : forme explicite, approximation discrète et caractère bien posé, et pourquoi la pratique numérique ne résout pas la question de Clay.

Les mathématiciens ne se sont pas contentés de contempler le problème. Ils ont développé des outils puissants, des résultats partiels et des domaines d’analyse entièrement nouveaux pour tenter d’en venir à bout. L’affirmation de 2026 ajoute une nouvelle construction à étudier, tandis que la question sans forçage, l’unicité des solutions faibles et les mécanismes par lesquels les écoulements se concentrent restent des sujets de recherche actifs.

Voir aussi : Voir les progrès réalisés →

Le problème de Navier-Stokes a porté des développements majeurs en analyse harmonique, en analyse fonctionnelle et en théorie géométrique de la mesure au cours du siècle dernier. Les résultats de régularité partielle, les critères conditionnels d’explosion (Beale-Kato-Majda, Escauriaza-Seregin-Šverák) et l’analyse de problèmes modèles continuent d’affiner notre compréhension de la frontière entre régularité et singularité potentielle. La construction avec forçage annoncée (C/D) s’ajoute désormais à ces résultats ; le cas $f\equiv0$ reste ouvert.

Voir aussi : Panorama des progrès →