Énoncé Clay de Navier-Stokes : critères officiels expliqués

Réponse courte : le problème officiel de Clay demande si les écoulements de Navier-Stokes incompressibles tridimensionnels lisses doivent rester lisses pour tout temps futur, ou si des données lisses admissibles peuvent se briser. En juillet 2026, le Clay Mathematics Institute n'a accepté ni preuve ni contre-exemple.

En l'an 2000, le Clay Mathematics Institute a sélectionné sept des problèmes non résolus les plus difficiles en mathématiques et a mis 1 million de dollars sur chacun. Le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes en fait partie.

Cette page parcourt l'énoncé officiel du problème — le PDF de Charles Fefferman pour le Clay Mathematics Institute, lié ci-dessous — en langage clair : ce que Clay demande, les données autorisées et ce qui compterait comme preuve ou contre-exemple. Si vous ne voulez que le statut actuel, voir Navier-Stokes est-il résolu ? (statut juillet 2026)

La question, réduite à l'essentiel : les équations du mouvement des fluides produisent-elles toujours des solutions lisses et bien comportées, ou peuvent-elles exploser ?

Personne n'a réclamé le prix. Il y a eu de réels progrès dans la compréhension de ce à quoi ressemblerait une solution ou une rupture, mais le problème du prix du Millénaire de Clay lui-même reste grand ouvert.

Réponse courte : le problème de Clay demande si les formulations 3D incompressibles acceptées de Navier-Stokes admettent toujours des solutions globales lisses à partir de données lisses à divergence nulle, ou si des données lisses admissibles peuvent forcer une rupture en temps fini. En juillet 2026, aucune des deux alternatives n'est démontrée.

Le prix du Millénaire de Clay pour Navier-Stokes est énoncé dans la description officielle du problème par Charles Fefferman. Deux formulations sont données, l'une sur $\mathbb{R}^3$ et l'autre sur $\mathbb{T}^3$ avec conditions aux limites périodiques. Une solution valide doit résoudre l'une des alternatives acceptées de l'énoncé de Clay.

Le prix exige soit :

• (A) Existence et régularité : prouver que les données initiales lisses à divergence nulle appropriées engendrent une solution lisse pour tout $t \geq 0$ avec le contrôle d'énergie énoncé.
• (B) Rupture : exhiber des données lisses admissibles, avec le forçage autorisé dans la formulation concernée, pour lesquelles aucune solution globalement lisse n'existe.

Cette page paraphrase et explique l'énoncé officiel ; pour le texte faisant autorité, utilisez la source Clay liée ci-dessous.

Le problème de Clay ne demande pas si les simulations de fluides fonctionnent, si les ingénieurs peuvent résoudre des exemples d'écoulement en conduite, ou si des solutions faibles existent. Ce sont des questions distinctes. La question du prix porte sur la régularité globale ou la rupture en temps fini pour les équations incompressibles tridimensionnelles.

Pour gagner le prix, une preuve doit tomber dans l'une des deux catégories :

1. Régularité globale : montrer que tout écoulement initial lisse admissible reste lisse pour tout temps futur.
2. Rupture : donner une configuration lisse admissible pour laquelle une solution globalement lisse ne peut pas exister.

Le système central est l'équation de Navier-Stokes incompressible 3D

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

La formulation de Clay sépare le cas de l'espace entier et le cas périodique. Dans la direction « existence » sur l'espace entier, la vitesse initiale est lisse, à divergence nulle et à décroissance rapide ; l'objectif est une solution globalement lisse d'énergie finie pour tout temps. Dans la direction « rupture », la tâche est de construire des données admissibles, sous l'une des alternatives officielles, pour lesquelles la solution globalement lisse requise n'existe pas.

Voici ce que le problème demande réellement, en langage courant :

Configuration : Prenez toute vitesse initiale de fluide parfaitement lisse (sans arêtes vives ni discontinuités) et qui s'annule à l'infini (le fluide est essentiellement immobile loin de l'action).

Question : La vitesse du fluide restera-t-elle lisse et finie pour tout temps futur ? Ou est-il possible que la vitesse devienne infinie en un point — une « explosion » ?

La réponse est l'une des deux possibilités :

1. Oui, toujours lisse — prouver que peu importe l'état initial lisse de départ, la solution reste lisse pour toujours.
2. Non, l'explosion est possible — trouver une configuration initiale lisse spécifique où la solution finit par s'effondrer.

En suivant la formulation de Fefferman sur $\mathbb{R}^3$ avec $f \equiv 0$ :

Hypothèses : Soit $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle. Supposons que pour tout $\alpha$ et $K$ il existe des constantes $C_{\alpha,K}$ telles que

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{sur } \mathbb{R}^3.$$

Conclusion (à prouver) : Il existe $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ et $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations de Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, et la borne d'énergie

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{pour tout } t \geq 0.$$

Le problème de Navier-Stokes a mérité sa place parmi les sept problèmes du Millénaire parce qu'il se situe à l'intersection de :

• L'importance pratique — ces équations sous-tendent l'essentiel de la dynamique des fluides, de la conception aéronautique à la modélisation climatique
• La profondeur mathématique — le problème touche simultanément l'analyse, la géométrie, la topologie et la physique
• La résistance aux techniques connues (explorer pourquoi) — malgré plus de 180 ans de travaux par certains des plus grands mathématiciens, ni la régularité globale ni l'explosion en temps fini n'ont été établies

L'énoncé est accessible à un non-mathématicien, mais le problème a résisté à près de deux siècles d'efforts sérieux.

La difficulté du problème est enracinée dans la nature supercritique des équations en 3D. L'estimation naturelle d'énergie

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

place $u$ dans $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, ce qui est en dessous du changement d'échelle critique. Les équations de Navier-Stokes sont invariantes sous

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

et l'espace critique est $L^3(\mathbb{R}^3)$ (ou $\dot{H}^{1/2}$). La classe d'énergie $L^2$ est supercritique : elle se situe en dessous du seuil critique de changement d'échelle et ne contrôle pas à elle seule la cascade non linéaire aux petites échelles, laissant un écart que toutes les techniques existantes peinent à combler.

Jalons clés de l'histoire :

• 1822 — Navier dérive les équations à partir de considérations moléculaires
• 1845 — Stokes donne la dérivation moderne en mécanique des milieux continus
• 1934 — Leray prouve que des solutions « faibles » existent toujours (une percée majeure, mais ces solutions pourraient ne pas être lisses)
• 1982 — Caffarelli, Kohn et Nirenberg prouvent que les singularités (en savoir plus sur la régularité partielle), si elles existent, sont extrêmement petites : dans la géométrie parabolique adaptée à ces équations, l'ensemble singulier a une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle
• 1984 — Beale, Kato et Majda montrent que l'explosion ne peut se produire que si la vorticité devient infinie
• 2000 — Clay le désigne comme problème du Millénaire
• Aujourd'hui — le problème reste ouvert, avec des travaux actifs sur les approches en espaces critiques, la classification des explosions de Type-I/II et les preuves assistées par ordinateur

Une chronologie sélective des résultats fondamentaux :

• Leray (1934) : Existence de solutions faibles globales $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ par compacité. Introduction du projecteur de Leray et du concept de solutions turbulentes.
• Hopf (1951) : Extension de la construction de Leray aux domaines bornés.
• Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin (années 1960) : Critères de régularité — si $u \in L^p_t L^q_x$ avec $2/p + 3/q \leq 1$ et $q > 3$, alors la solution est régulière. Escauriaza, Seregin et Šverák ont réglé en 2003 le cas limite $L^\infty_t L^3_x$.
• Caffarelli–Kohn–Nirenberg (1982) : La mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle de l'ensemble singulier est nulle : $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$.
• Beale–Kato–Majda (1984) : Explosion si et seulement si $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$.
• Koch–Tataru (2001) : Existence et unicité locale pour des petites données dans $\mathrm{BMO}^{-1}$, le plus grand espace critique où cela est connu.
• Seregin (2012) : Si $T^*$ est un temps d'explosion, la norme $L^3$ doit effectivement diverger : $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ quand $t \to T^*$ — renforçant ESS (2003), qui montrait seulement l'absence de borne uniforme.

Cet article fait partie de Le Problème.

Si vous êtes arrivé ici en vous demandant si le problème a déjà été résolu, commencez par Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Puis explorez pourquoi il est si difficile à résoudre, ou voyez comment les mathématiciens l'ont décomposé en sous-problèmes.

Cet article fait partie de Le Problème.

Pour la réponse rapide sur le statut et la distinction entre existence faible et régularité globale lisse, voir Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Pour les obstacles mathématiques sous-jacents au problème de régularité, voir Pourquoi c'est difficile. Pour une décomposition en composantes traitables — solutions faibles, régularité partielle, classification des explosions — voir Sous-problèmes.