Énoncé Clay de Navier-Stokes : critères officiels expliqués

Le problème de Navier–Stokes du Clay Mathematics Institute, rédigé par Charles Fefferman pour les problèmes du prix du Millénaire annoncés en 2000, demande si les équations de Navier–Stokes incompressibles en 3D possèdent des solutions lisses pour tout temps, ou si des solutions lisses peuvent connaître une rupture. Cette page explique précisément ce qu’exige l’énoncé officiel : les équations, les écoulements initiaux et les forces autorisés, ce qui compte comme une solution « physiquement raisonnable », et les quatre alternatives, dont chacune suffit à le résoudre.

En septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve des alternatives de rupture C et D, et Clay a déclaré que le problème avait « apparemment été résolu » ; son évaluation se fait délibérément sans hâte et aucun prix n’a été décerné. Les alternatives d’existence sans forçage A et B ne sont pas tranchées par ce résultat.

Ce qui a été annoncé et comment c’est évalué : Navier-Stokes est-il résolu ? (sources vérifiées le 2026-09-29)

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

L’énoncé officiel de Fefferman porte sur le système de Navier–Stokes incompressible 3D de viscosité $\nu>0$ sur $\mathbb{R}^3$ ou sur $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$. Il définit les données initiales et les forces admissibles, une classe de solutions physiquement raisonnables (lisses pour tout $t\ge0$, d’énergie bornée sur $\mathbb{R}^3$), et demande la preuve de l’un de quatre énoncés A–D.

En septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve des alternatives de rupture C et D, et Clay a déclaré que le problème avait « apparemment été résolu » ; son évaluation se fait délibérément sans hâte et aucun prix n’a été décerné. Les alternatives d’existence sans forçage A et B ne sont pas tranchées par ce résultat.

État et sources : Navier-Stokes est-il résolu ? (sources vérifiées le 2026-09-29)

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

Le problème de Clay ne demande pas si les simulations de fluides fonctionnent, si les ingénieurs peuvent résoudre des exemples d'écoulement en conduite, ou si des solutions faibles existent. Ce sont des questions distinctes. La question du prix porte sur la régularité globale ou la rupture en temps fini pour les équations incompressibles tridimensionnelles.

Une résolution doit relever de l’une de deux catégories :

1. Régularité globale : montrer que, sans force extérieure, tout écoulement initial lisse admissible reste lisse pour tout temps futur.
2. Rupture : donner une configuration lisse admissible, soit un écoulement initial et, si on le souhaite, une force lisse à décroissance rapide, pour laquelle une solution globalement lisse ne peut pas exister.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

Le système central est l'équation de Navier-Stokes incompressible 3D

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

La formulation de Clay sépare le cas de l'espace entier et le cas périodique. Dans la direction « existence » sur l'espace entier, la vitesse initiale est lisse, à divergence nulle et à décroissance rapide ; l'objectif est une solution globalement lisse d'énergie finie pour tout temps. Dans la direction « rupture », la tâche est de construire des données admissibles, sous l'une des alternatives officielles, pour lesquelles la solution globalement lisse requise n'existe pas.

L’existence (A, B) est posée avec $f\equiv0$ et quantifie sur toutes les données admissibles ; la rupture (C, D) demande un seul couple admissible $(u_0,f)$, un forçage étant autorisé sous les conditions de décroissance ci-dessous.

1. (A) Régularité sur tout l’espace. Sans force extérieure, tout écoulement initial lisse, à divergence nulle, dont les dérivées décroissent rapidement à l’infini admet une solution lisse pour tout temps, d’énergie totale bornée.
2. (B) Régularité dans une boîte périodique. La même chose, sans force extérieure, pour des écoulements lisses à divergence nulle qui se répètent périodiquement dans chaque direction.
3. (C) Rupture sur tout l’espace. Il existe un écoulement initial lisse admissible et une force extérieure lisse, dont l’amplitude et toutes les dérivées décroissent rapidement en espace et en temps, pour lesquels il n’existe aucune solution lisse d’énergie bornée pour tout temps.
4. (D) Rupture dans une boîte périodique. Il existe un écoulement initial lisse périodique et une force lisse périodique, à décroissance rapide en temps, pour lesquels il n’existe aucune solution lisse périodique pour tout temps.

Prouver l’un quelconque des quatre résout le problème tel qu’il est posé. Ils ne sont pas organisés en énoncé et négation : C est plus faible que « A est faux », car C permet aussi de choisir une force. Le texte officiel présente les quatre options comme un moyen de « laisser une latitude raisonnable aux candidats tout en conservant le cœur du problème ».

En suivant la formulation de Fefferman sur $\mathbb{R}^3$ avec $f \equiv 0$ :

Hypothèses : Soit $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle. Supposons que pour tout $\alpha$ et $K$ il existe des constantes $C_{\alpha,K}$ telles que

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{sur } \mathbb{R}^3.$$

Conclusion (à prouver) : Il existe $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ et $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations de Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, et la borne d'énergie

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{pour tout } t \geq 0.$$

Rupture (C) : il existe un $u_0$ lisse à divergence nulle satisfaisant la condition de décroissance ci-dessus et un $f$ lisse sur $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ satisfaisant la condition (5),

$$|\partial_x^\alpha \partial_t^m f(x,t)| \leq \frac{C_{\alpha m K}}{(1+|x|+t)^{K}},$$

pour tous $\alpha, m, K$, pour lesquels aucun $(p,u)$ avec $p,u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))$ ne satisfait les équations, la condition initiale et la borne d’énergie.

Versions périodiques (B, D) : $u_0$ et $f$ sont de période unité dans chaque coordonnée ; la condition sur la force devient $|\partial_x^\alpha\partial_t^m f(x,t)|\le C_{\alpha mK}(1+|t|)^{-K}$, condition (9) ; les solutions doivent être lisses et périodiques en $x$, et l’erratum annexé exige que la pression soit elle aussi périodique. B prend $f\equiv0$ et demande une solution périodique lisse globale pour tout $u_0$ lisse, périodique et à divergence nulle ; D demande un couple périodique admissible $(u_0,f)$ sans solution périodique lisse globale. Les alternatives périodiques ne comportent pas de borne d’énergie séparée.

Le théorème annoncé sur l’espace entier part d’une vitesse nulle, ce qui satisfait les conditions sur la donnée initiale, et utilise une force lisse à support dans une région bornée de l’espace et du temps, ce qui satisfait la condition de décroissance de la force. Il conclut qu’aucune solution globalement lisse d’énergie bornée n’existe pour ces données, ce qu’exige C ; un corollaire transpose la construction à la boîte périodique pour D. Vérifier ces conditions sur les données est élémentaire ; cela ne vérifie pas la preuve elle-même.

La correspondance ne concerne que C et D. A et B, la régularité globale sans forçage, ne sont ni prouvées ni réfutées par elle, et l’énoncé de Clay ne les exige pas une fois C ou D établie. L’exactitude de la preuve relève de la vérification par les experts et de la procédure de Clay ; voir la synthèse sur l’état du problème.

• Donnée. $u_0=0$ est lisse, à divergence nulle, et satisfait trivialement la condition de décroissance (4) et la condition de périodicité (8).
• Force pour C. $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty);\mathbb{R}^3)$ est à support compact en espace-temps, donc chaque dérivée est bornée et s’annule hors d’un compact ; (5) est satisfaite.
• Conclusion pour C. Le Théorème 1.1 donne des $(u,p)$ lisses sur $[0,1)$ avec $\sup_{0\le t<1}\|u(t)\|_{L^2}<\infty$ et $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$, et affirme qu’aucune solution lisse sur $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ avec la même donnée et la même force n’a une énergie cinétique uniformément bornée, ce qui est la classe exigée par (6)–(7).
• D. Corollaire 10.6 : pour tout $\nu>0$, une force lisse sur $\mathbb{T}^3\times[0,\infty)$, à support compact en temps (satisfaisant donc (9)), une vitesse initiale nulle, une explosion de la vitesse en $t=1$ et aucune solution périodique lisse globale pour la même donnée et la même force ; vitesse et pression sont périodiques, comme l’exige l’erratum.
• Limites. Ce sont les énoncés du manuscrit, et les vérifications de classes de données ci-dessus sont élémentaires ; elles ne vérifient ni la construction, ni la formalisation Lean, ni sa correspondance avec le texte officiel.

Manuscrit : OpenAI — Navier–Stokes (PDF), Théorème 1.1 et Corollaire 10.6.

Le problème de Navier-Stokes a mérité sa place parmi les sept problèmes du Millénaire parce qu'il se situe à l'intersection de :

• L'importance pratique — ces équations sous-tendent l'essentiel de la dynamique des fluides, de la conception aéronautique à la modélisation climatique
• La profondeur mathématique — le problème touche simultanément l'analyse, la géométrie, la topologie et la physique
• Importance durable. Clay a choisi Navier–Stokes parmi ses sept problèmes du Millénaire en 2000 pour sa difficulté mathématique fondamentale et le rôle central des équations en dynamique des fluides. L’annonce de septembre 2026 change le statut, pas ces raisons de son importance. Voir aussi : explorer pourquoi

L'énoncé est accessible à un non-mathématicien, mais le problème a résisté à près de deux siècles d'efforts sérieux.

La difficulté du problème est enracinée dans la nature supercritique des équations en 3D. L'estimation naturelle d'énergie

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

place $u$ dans $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, ce qui est en dessous du changement d'échelle critique. Les équations de Navier-Stokes sont invariantes sous

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

et l'espace critique est $L^3(\mathbb{R}^3)$ (ou $\dot{H}^{1/2}$). La classe d'énergie $L^2$ est supercritique : elle se situe en dessous du seuil critique de changement d'échelle et ne contrôle pas à elle seule la cascade non linéaire aux petites échelles, laissant un écart que toutes les techniques existantes peinent à combler.

L’estimation d’énergie affichée ici vaut sans forçage. Avec forçage, le membre de droite inclut aussi le terme de travail $\int_0^t\!\int f(x,s)\cdot u(x,s)\,dx\,ds$.

Jalons clés de l'histoire :

• 1822 — Navier dérive les équations à partir de considérations moléculaires
• 1845 — Stokes donne la dérivation moderne en mécanique des milieux continus
• 1934 — Leray prouve que des solutions « faibles » existent toujours (une percée majeure, mais ces solutions pourraient ne pas être lisses)
• 1982 — Caffarelli, Kohn et Nirenberg prouvent que les singularités (en savoir plus sur la régularité partielle), si elles existent, sont extrêmement petites : dans la géométrie parabolique adaptée à ces équations, l'ensemble singulier a une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle
• 1984 — Beale, Kato et Majda montrent que l'explosion ne peut se produire que si la vorticité devient infinie
• 2000 — Clay le désigne comme problème du Millénaire
• 2026 : OpenAI annonce une preuve de rupture avec forçage lisse revendiquant les alternatives C et D ; Clay affirme que le problème a « apparemment été résolu », l’évaluation se faisant délibérément sans hâte.

Voir aussi : approches en espaces critiques

Une chronologie sélective des résultats fondamentaux :

• Leray (1934) : Existence de solutions faibles globales $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ par compacité. Introduction du projecteur de Leray et du concept de solutions turbulentes.
• Hopf (1951) : Extension de la construction de Leray aux domaines bornés.
• Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin (années 1960) : Critères de régularité — si $u \in L^p_t L^q_x$ avec $2/p + 3/q \leq 1$ et $q > 3$, alors la solution est régulière. Escauriaza, Seregin et Šverák ont réglé en 2003 le cas limite $L^\infty_t L^3_x$.
• Caffarelli–Kohn–Nirenberg (1982) : La mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle de l'ensemble singulier est nulle : $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$.
• Beale–Kato–Majda (1984) : Explosion si et seulement si $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$.
• Koch, Tataru (2001) : caractère bien posé global pour des données petites dans $\mathrm{BMO}^{-1}$, le plus grand des espaces critiques usuels dans lesquels un tel résultat est connu.
• Seregin (2012) : Si $T^*$ est un temps d'explosion, la norme $L^3$ doit effectivement diverger : $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ quand $t \to T^*$ — renforçant ESS (2003), qui montrait seulement l'absence de borne uniforme.
• 2026 : rupture avec forçage annoncée (Théorème 1.1 et Corollaire 10.6 du manuscrit), revendiquant C et D ; voir la correspondance ci-dessus.

Cet article fait partie de Le Problème.

Si vous êtes arrivé ici en vous demandant si le problème a déjà été résolu, commencez par Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Puis explorez pourquoi il est si difficile à résoudre, ou voyez comment les mathématiciens l'ont décomposé en sous-problèmes.

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Pour la réponse rapide sur le statut et la distinction entre existence faible et régularité globale lisse, voir Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Pour les obstacles mathématiques sous-jacents au problème de régularité, voir Pourquoi c'est difficile. Pour une décomposition en composantes traitables — solutions faibles, régularité partielle, classification des explosions — voir Sous-problèmes.