Énoncé Clay de Navier-Stokes : critères officiels expliqués

État des sources vérifié le 2026-09-12 (JST). Le 8 septembre, OpenAI a annoncé une explosion en temps fini pour Navier–Stokes incompressible 3D avec forçage lisse, revendiquant les alternatives C et D de Clay, avec un manuscrit et une formalisation Lean. Le 11 septembre, Clay a déclaré que le problème avait «apparemment été résolu» ; l’évaluation et l’attribution du mérite se feront délibérément sans hâte. Ce n’est ni l’attribution du prix ni une vérification de la preuve par notre site.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

Voir aussi : Navier-Stokes est-il résolu ? (statut 2026-09-12 (JST))

La régularité globale de Navier–Stokes 3D sans forçage reste ouverte : la construction annoncée avec forçage ne la résout pas. Dans la discussion technique ci-dessous, les questions ouvertes de régularité et d’unicité concernent le système sans forçage, sauf mention explicite d’un autre cadre.

État des sources vérifié le 2026-09-12 (JST). Le 8 septembre, OpenAI a annoncé une explosion en temps fini pour Navier–Stokes incompressible 3D avec forçage lisse, revendiquant les alternatives C et D de Clay, avec un manuscrit et une formalisation Lean. Le 11 septembre, Clay a déclaré que le problème avait «apparemment été résolu» ; l’évaluation et l’attribution du mérite se feront délibérément sans hâte. Ce n’est ni l’attribution du prix ni une vérification de la preuve par notre site.

Sources primaires: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Énoncé officiel de Clay.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

Le problème de Clay ne demande pas si les simulations de fluides fonctionnent, si les ingénieurs peuvent résoudre des exemples d'écoulement en conduite, ou si des solutions faibles existent. Ce sont des questions distinctes. La question du prix porte sur la régularité globale ou la rupture en temps fini pour les équations incompressibles tridimensionnelles.

Pour gagner le prix, une preuve doit tomber dans l'une des deux catégories :

1. Régularité globale : montrer que tout écoulement initial lisse admissible reste lisse pour tout temps futur.
2. Rupture : donner une configuration lisse admissible pour laquelle une solution globalement lisse ne peut pas exister.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

Le système central est l'équation de Navier-Stokes incompressible 3D

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

La formulation de Clay sépare le cas de l'espace entier et le cas périodique. Dans la direction « existence » sur l'espace entier, la vitesse initiale est lisse, à divergence nulle et à décroissance rapide ; l'objectif est une solution globalement lisse d'énergie finie pour tout temps. Dans la direction « rupture », la tâche est de construire des données admissibles, sous l'une des alternatives officielles, pour lesquelles la solution globalement lisse requise n'existe pas.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

Clay demande une preuve de l’une des quatre alternatives, pas des quatre : (A) existence globale lisse sans forçage sur R³ ; (B) existence globale lisse sans forçage sur le tore périodique T³ ; (C) rupture sur R³ avec forçage lisse admissible autorisé ; (D) rupture périodique avec forçage lisse admissible autorisé. A/B portent sur toutes les données initiales admissibles ; C/D exigent un contre-exemple admissible. Une rupture avec forçage ne réfute pas A/B.

En suivant la formulation de Fefferman sur $\mathbb{R}^3$ avec $f \equiv 0$ :

Hypothèses : Soit $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle. Supposons que pour tout $\alpha$ et $K$ il existe des constantes $C_{\alpha,K}$ telles que

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{sur } \mathbb{R}^3.$$

Conclusion (à prouver) : Il existe $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ et $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations de Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, et la borne d'énergie

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{pour tout } t \geq 0.$$

Le problème de Navier-Stokes a mérité sa place parmi les sept problèmes du Millénaire parce qu'il se situe à l'intersection de :

• L'importance pratique — ces équations sous-tendent l'essentiel de la dynamique des fluides, de la conception aéronautique à la modélisation climatique
• La profondeur mathématique — le problème touche simultanément l'analyse, la géométrie, la topologie et la physique
• Importance durable. Clay a choisi Navier–Stokes parmi ses sept problèmes du Millénaire en 2000 pour sa difficulté mathématique fondamentale et le rôle central des équations en dynamique des fluides. L’annonce de septembre 2026 change le statut, pas ces raisons de son importance. Voir aussi : explorer pourquoi

L'énoncé est accessible à un non-mathématicien, mais le problème a résisté à près de deux siècles d'efforts sérieux.

La difficulté du problème est enracinée dans la nature supercritique des équations en 3D. L'estimation naturelle d'énergie

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

place $u$ dans $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, ce qui est en dessous du changement d'échelle critique. Les équations de Navier-Stokes sont invariantes sous

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

et l'espace critique est $L^3(\mathbb{R}^3)$ (ou $\dot{H}^{1/2}$). La classe d'énergie $L^2$ est supercritique : elle se situe en dessous du seuil critique de changement d'échelle et ne contrôle pas à elle seule la cascade non linéaire aux petites échelles, laissant un écart que toutes les techniques existantes peinent à combler.

L’estimation d’énergie affichée ici vaut sans forçage. Avec forçage, le membre de droite inclut aussi le terme de travail $\int_0^t\!\int f(x,s)\cdot u(x,s)\,dx\,ds$.

Jalons clés de l'histoire :

• 1822 — Navier dérive les équations à partir de considérations moléculaires
• 1845 — Stokes donne la dérivation moderne en mécanique des milieux continus
• 1934 — Leray prouve que des solutions « faibles » existent toujours (une percée majeure, mais ces solutions pourraient ne pas être lisses)
• 1982 — Caffarelli, Kohn et Nirenberg prouvent que les singularités (en savoir plus sur la régularité partielle), si elles existent, sont extrêmement petites : dans la géométrie parabolique adaptée à ces équations, l'ensemble singulier a une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle
• 1984 — Beale, Kato et Majda montrent que l'explosion ne peut se produire que si la vorticité devient infinie
• 2000 — Clay le désigne comme problème du Millénaire
• Septembre 2026 : OpenAI annonce une explosion 3D avec forçage lisse (Clay C/D) ; Clay reconnaît une résolution apparente. Évaluation et prix restent distincts.

Voir aussi : approches en espaces critiques

Une chronologie sélective des résultats fondamentaux :

• Leray (1934) : Existence de solutions faibles globales $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ par compacité. Introduction du projecteur de Leray et du concept de solutions turbulentes.
• Hopf (1951) : Extension de la construction de Leray aux domaines bornés.
• Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin (années 1960) : Critères de régularité — si $u \in L^p_t L^q_x$ avec $2/p + 3/q \leq 1$ et $q > 3$, alors la solution est régulière. Escauriaza, Seregin et Šverák ont réglé en 2003 le cas limite $L^\infty_t L^3_x$.
• Caffarelli–Kohn–Nirenberg (1982) : La mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle de l'ensemble singulier est nulle : $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$.
• Beale–Kato–Majda (1984) : Explosion si et seulement si $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$.
• Koch–Tataru (2001) : Existence et unicité locale pour des petites données dans $\mathrm{BMO}^{-1}$, le plus grand espace critique où cela est connu.
• Seregin (2012) : Si $T^*$ est un temps d'explosion, la norme $L^3$ doit effectivement diverger : $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ quand $t \to T^*$ — renforçant ESS (2003), qui montrait seulement l'absence de borne uniforme.

Septembre 2026 : OpenAI annonce une explosion 3D avec forçage lisse (Clay C/D) ; Clay reconnaît une résolution apparente. Évaluation et prix restent distincts.

Cet article fait partie de Le Problème.

Si vous êtes arrivé ici en vous demandant si le problème a déjà été résolu, commencez par Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Puis explorez pourquoi il est si difficile à résoudre, ou voyez comment les mathématiciens l'ont décomposé en sous-problèmes.

Cet article fait partie de Le Problème.

Pour la réponse rapide sur le statut et la distinction entre existence faible et régularité globale lisse, voir Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?.

Pour les obstacles mathématiques sous-jacents au problème de régularité, voir Pourquoi c'est difficile. Pour une décomposition en composantes traitables — solutions faibles, régularité partielle, classification des explosions — voir Sous-problèmes.