Clay-Navier-Stokes-Problemstellung: offizielle Kriterien erklärt

Das Navier–Stokes-Problem des Clay Mathematics Institute, verfasst von Charles Fefferman für die im Jahr 2000 angekündigten Millennium-Preis-Probleme, fragt, ob die inkompressiblen 3D-Navier–Stokes-Gleichungen glatte Lösungen für alle Zeiten besitzen oder ob glatte Lösungen zusammenbrechen können. Diese Seite erklärt genau, was die offizielle Problemstellung verlangt: die Gleichungen, welche Anfangsströmungen und Kräfte erlaubt sind, was als „physikalisch vernünftige“ Lösung gilt, und die vier Alternativen, von denen jede einzelne das Problem löst.

Im September 2026 kündigte OpenAI einen Beweis der Zusammenbruch-Alternativen C und D an, und Clay erklärte, das Problem sei „offenbar gelöst“; die Bewertung erfolgt bewusst ohne Eile, und ein Preis wurde nicht vergeben. Über die Existenz-Alternativen A und B ohne äußere Kraft entscheidet dieses Ergebnis nicht.

Was angekündigt wurde und wie es geprüft wird: Ist Navier-Stokes gelöst? (Quellen geprüft am 2026-09-29)

Primärquellen: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Offizielle Clay-Problemstellung.

Feffermans offizielle Problemstellung betrifft das inkompressible 3D-Navier–Stokes-System mit Viskosität $\nu>0$ auf $\mathbb{R}^3$ oder auf $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$. Sie definiert zulässige Anfangsdaten und Kräfte, eine Klasse physikalisch vernünftiger Lösungen (glatt für alle $t\ge0$, mit beschränkter Energie auf $\mathbb{R}^3$) und verlangt den Beweis einer von vier Aussagen A–D.

Im September 2026 kündigte OpenAI einen Beweis der Zusammenbruch-Alternativen C und D an, und Clay erklärte, das Problem sei „offenbar gelöst“; die Bewertung erfolgt bewusst ohne Eile, und ein Preis wurde nicht vergeben. Über die Existenz-Alternativen A und B ohne äußere Kraft entscheidet dieses Ergebnis nicht.

Stand und Quellen: Ist Navier-Stokes gelöst? (Quellen geprüft am 2026-09-29)

Primärquellen: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Offizielle Clay-Problemstellung.

Das Clay-Problem fragt nicht, ob Fluidsimulationen funktionieren, ob Ingenieure Rohrströmungsbeispiele lösen können oder ob schwache Lösungen existieren. Das sind separate Fragen. Die Preisfrage betrifft globale Glattheit oder Zusammenbruch in endlicher Zeit für die dreidimensionalen inkompressiblen Gleichungen.

Eine Lösung muss in eine von zwei Kategorien fallen:

1. Globale Glattheit: zeigen, dass ohne äußere Kraft jede zulässige glatte Anfangsströmung für alle künftigen Zeiten glatt bleibt.
2. Zusammenbruch: eine zulässige glatte Konfiguration angeben – eine Anfangsströmung und, falls gewünscht, eine glatte, schnell abfallende Kraft –, für die keine global glatte Lösung existieren kann.

Clay verlangt einen Beweis für eine von vier Alternativen, nicht für alle vier: (A) globale glatte Existenz ohne äußere Kraft auf R³; (B) globale glatte Existenz ohne äußere Kraft auf dem periodischen Torus T³; (C) Zusammenbruch auf R³, wobei zulässige glatte Kräfte erlaubt sind; (D) periodischer Zusammenbruch, wobei zulässige glatte Kräfte erlaubt sind. A/B betreffen alle zulässigen Anfangsdaten; C/D verlangen ein zulässiges Gegenbeispiel. Ein Zusammenbruch mit Kraft widerlegt A/B nicht.

Das Kernsystem ist die 3D-inkompressible Navier-Stokes-Gleichung

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

Clays Formulierung unterscheidet den Ganzraum-Fall und den periodischen Fall. In der Existenzrichtung im Ganzraum ist die Anfangsgeschwindigkeit glatt, divergenzfrei und schnell abfallend; das Ziel ist eine global glatte Lösung mit endlicher Energie für alle Zeiten. In der Zusammenbruchsrichtung besteht die Aufgabe darin, zulässige Daten unter einer der offiziellen Alternativen zu konstruieren, für die die geforderte global glatte Lösung nicht existiert.

Existenz (A, B) ist mit $f\equiv0$ gestellt und quantifiziert über alle zulässigen Daten; Zusammenbruch (C, D) verlangt ein einziges zulässiges Paar $(u_0,f)$, wobei eine Kraft unter den unten genannten Abfallbedingungen erlaubt ist.

1. (A) Glattheit im ganzen Raum. Ohne äußere Kraft besitzt jede glatte, divergenzfreie Anfangsströmung, deren Ableitungen im Unendlichen schnell abfallen, eine glatte Lösung für alle Zeiten mit beschränkter Gesamtenergie.
2. (B) Glattheit in einer periodischen Box. Dasselbe, ohne äußere Kraft, für glatte divergenzfreie Strömungen, die sich in jeder Richtung periodisch wiederholen.
3. (C) Zusammenbruch im ganzen Raum. Es gibt eine zulässige glatte Anfangsströmung und eine glatte äußere Kraft, deren Größe und sämtliche Ableitungen in Raum und Zeit schnell abfallen, für die keine glatte Lösung mit beschränkter Energie für alle Zeiten existiert.
4. (D) Zusammenbruch in einer periodischen Box. Es gibt eine glatte periodische Anfangsströmung und eine glatte periodische, in der Zeit schnell abfallende Kraft, für die keine glatte periodische Lösung für alle Zeiten existiert.

Der Beweis einer beliebigen der vier Aussagen löst das Problem in der gestellten Form. Sie sind nicht als Aussage und Negation angeordnet: C ist schwächer als „A ist falsch“, weil C auch die Wahl einer Kraft zulässt. Der offizielle Text beschreibt die vier Optionen als Möglichkeit, „den Lösenden angemessenen Spielraum zu geben und dabei den Kern des Problems zu bewahren“.

Nach Feffermans Formulierung auf $\mathbb{R}^3$ mit $f \equiv 0$:

Hypothesen: Sei $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ divergenzfrei. Angenommen, für jedes $\alpha$ und $K$ existiert eine Konstante $C_{\alpha,K}$ mit

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{auf } \mathbb{R}^3.$$

Schlussfolgerung (zu beweisen): Es existieren $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ und $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ die die Navier-Stokes-Gleichungen erfüllen, $u(x,0) = u_0(x)$, sowie die Energieabschätzung

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{für alle } t \geq 0.$$

Zusammenbruch (C): Es gibt ein glattes, divergenzfreies $u_0$, das die obige Abfallbedingung erfüllt, und ein glattes $f$ auf $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$, das Bedingung (5) erfüllt,

$$|\partial_x^\alpha \partial_t^m f(x,t)| \leq \frac{C_{\alpha m K}}{(1+|x|+t)^{K}},$$

für alle $\alpha, m, K$, sodass kein $(p,u)$ mit $p,u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))$ die Gleichungen, die Anfangsbedingung und die Energieschranke erfüllt.

Periodische Versionen (B, D): $u_0$ und $f$ sind in jeder Koordinate periodisch mit Periode 1; die Kraftbedingung wird zu $|\partial_x^\alpha\partial_t^m f(x,t)|\le C_{\alpha mK}(1+|t|)^{-K}$, Bedingung (9); Lösungen müssen glatt und in $x$ periodisch sein, und das angehängte Erratum verlangt, dass auch der Druck periodisch ist. B setzt $f\equiv0$ und verlangt für jedes glatte periodische divergenzfreie $u_0$ eine globale glatte periodische Lösung; D verlangt ein zulässiges periodisches Paar $(u_0,f)$ ohne globale glatte periodische Lösung. Die periodischen Alternativen enthalten keine gesonderte Energieschranke.

Das angekündigte Theorem für den ganzen Raum startet mit Geschwindigkeit null, was die Bedingungen an die Anfangsdaten erfüllt, und verwendet eine glatte Kraft mit Träger in einem beschränkten Raum- und Zeitbereich, was die Abfallbedingung für die Kraft erfüllt. Es folgert, dass für diese Daten keine global glatte Lösung mit beschränkter Energie existiert, was C verlangt; ein Korollar überträgt die Konstruktion für D auf die periodische Box. Die Prüfung dieser Datenbedingungen ist elementar; sie verifiziert nicht den Beweis selbst.

Die Entsprechung betrifft nur C und D. A und B, globale Glattheit ohne äußere Kraft, werden dadurch weder bewiesen noch widerlegt, und Clays Problemstellung verlangt sie nicht, sobald C oder D gezeigt ist. Ob der Beweis korrekt ist, ist Sache der Fachprüfung und des Clay-Verfahrens; siehe die Statusübersicht.

• Datum. $u_0=0$ ist glatt, divergenzfrei und erfüllt die Abfallbedingung (4) und die Periodizitätsbedingung (8) trivialerweise.
• Kraft für C. $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty);\mathbb{R}^3)$ hat kompakten Träger in Raum–Zeit, sodass jede Ableitung beschränkt ist und außerhalb einer kompakten Menge verschwindet; (5) gilt.
• Schluss für C. Theorem 1.1 liefert glatte $(u,p)$ auf $[0,1)$ mit $\sup_{0\le t<1}\|u(t)\|_{L^2}<\infty$ und $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$ und besagt, dass keine glatte Lösung auf $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ mit demselben Datum und derselben Kraft eine gleichmäßig beschränkte kinetische Energie besitzt – das ist die von (6)–(7) geforderte Klasse.
• D. Korollar 10.6: für jedes $\nu>0$ eine glatte Kraft auf $\mathbb{T}^3\times[0,\infty)$ mit kompaktem Träger in der Zeit (daher gilt (9)), Anfangsgeschwindigkeit null, Blowup der Geschwindigkeit bei $t=1$ und keine globale glatte periodische Lösung für dasselbe Datum und dieselbe Kraft; Geschwindigkeit und Druck sind periodisch, wie es das Erratum verlangt.
• Grenzen. Dies sind die Aussagen des Manuskripts, und die obigen Prüfungen der Datenklassen sind elementar; sie verifizieren weder die Konstruktion noch die Lean-Formalisierung noch deren Entsprechung zum offiziellen Text.

Manuskript: OpenAI — Navier–Stokes (PDF), Theorem 1.1 und Korollar 10.6.

Drei Dinge brachten Navier-Stokes auf diese Auswahlliste:

• Praktische Bedeutung. Diese Gleichungen bestimmen den Großteil der Fluiddynamik: Flugzeugentwurf, Klimamodelle, Blutfluss, Meeresströmungen. Auch ohne vollständigen Beweis verwenden Ingenieure diese Gleichungen in vielen Regimen erfolgreich; das offene Problem betrifft die Frage, ob die 3D-Gleichungen mathematisch immer gerechtfertigt werden können.
• Mathematische Tiefe. Es greift zugleich auf Analysis, Geometrie, Topologie und Physik zurück.
• Bleibende Bedeutung. Clay wählte Navier–Stokes im Jahr 2000 als eines seiner sieben Millennium-Probleme aus, weil es grundlegende mathematische Schwierigkeiten mit der zentralen Rolle der Gleichungen in der Fluiddynamik verbindet. Die Ankündigung vom September 2026 ändert den Status, nicht diese Gründe für seine Bedeutung. Siehe auch: erkunde, warum

Die Schwierigkeit des Problems wurzelt in der superkritische Natur der 3D-Gleichungen. Die natürliche Energieabschätzung

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

platziert $u$ in $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, was unterhalb der kritischen Skalierung liegt. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind invariant unter

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

und der kritische Raum ist $L^3(\mathbb{R}^3)$ (oder $\dot{H}^{1/2}$). Die Energieklasse $L^2$ ist superkritisch. Sie liegt unterhalb der kritischen Skalierungsschwelle und kontrolliert für sich genommen die nichtlineare Kaskade auf kleinen Skalen nicht; es bleibt eine Lücke, die alle bisherigen Techniken nur schwer überbrücken können.

Die hier angegebene Energieabschätzung gilt ohne äußere Kraft. Mit Kraft enthält die rechte Seite zusätzlich den Arbeitsterm $\int_0^t\!\int f(x,s)\cdot u(x,s)\,dx\,ds$.

Die wesentlichen Meilensteine:

• 1822: Navier leitet die Gleichungen aus molekularen Überlegungen her.
• 1845: Stokes gibt die moderne Herleitung aus der Kontinuumsmechanik.
• 1934: Leray beweist, dass „schwache“ Lösungen immer existieren. Ein gewaltiges Resultat, aber diese Lösungen müssen nicht glatt sein.
• 1982: Caffarelli, Kohn und Nirenberg beweisen, dass Singularitäten (mehr zur partiellen Regularität), falls sie existieren, extrem klein sind: In der für diese Gleichungen natürlichen parabolischen Geometrie hat die singuläre Menge verschwindendes eindimensionales Hausdorff-Maß.
• 1984: Beale, Kato und Majda beweisen (ursprünglich für Euler, mit Navier-Stokes-Analoga), dass Blow-up nur auftreten kann, wenn die Wirbelstärke unendlich wird.
• 2000: Clay erklärt es zu einem Millennium-Problem.
• 2026: OpenAI kündigt einen Beweis für Zusammenbruch mit glatter Kraft an und beansprucht die Alternativen C und D; Clay erklärt, das Problem sei „offenbar gelöst“, die Bewertung erfolge bewusst ohne Eile.

Siehe auch: Ansätzen in kritischen Räumen

Grundlegende Resultate, ausgewählt:

• Leray (1934): Globale schwache Lösungen $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ existieren, bewiesen mittels Kompaktheit. Er führte den Leray-Projektor und das Konzept turbulenter Lösungen ein. Der Startschuss für alles, was folgte.
• Hopf (1951): Erweiterte Lerays Konstruktion auf beschränkte Gebiete.
• Ladyzhenskaya, Prodi, Serrin (1960er Jahre): Regularitätskriterien. Falls $u \in L^p_t L^q_x$ mit $2/p + 3/q \leq 1$, $q > 3$, dann ist die Lösung glatt. Escauriaza, Seregin und Šverák erledigten 2003 den kritischen Fall $L^\infty_t L^3_x$.
• Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982): $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$. Die singuläre Menge hat verschwindendes eindimensionales parabolisches Hausdorff-Maß.
• Beale, Kato, Majda (1984): Ursprünglich für die inkompressiblen Euler-Gleichungen bewiesen: Blow-up tritt genau dann auf, wenn $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$. Analoge Kriterien gelten für Navier-Stokes.
• Koch, Tataru (2001): Globale Wohlgestelltheit für kleine Daten in $\mathrm{BMO}^{-1}$, dem größten der üblichen kritischen Räume, in denen ein solches Resultat bekannt ist.
• Seregin (2012): Zu einer Blow-up-Zeit $T^*$ muss die $L^3$-Norm divergieren: $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ wenn $t \to T^*$. Strikt stärker als ESS (2003), das nur das Versagen gleichmäßiger Beschränktheit zeigte.
• 2026: Angekündigter Zusammenbruch mit Kraft (Theorem 1.1 und Korollar 10.6 des Manuskripts), der C und D beansprucht; siehe die Entsprechung oben.

Dieser Artikel ist Teil von Das Problem.

Wenn Sie hierhergekommen sind und sich fragen, ob es schon jemand gelöst hat, beginnen Sie mit Ist das Navier-Stokes-Problem gelöst?.

Erkunden Sie dann warum es so schwierig ist, oder sehen Sie, wie Mathematiker es in Teilprobleme zerlegt haben. Zu den strukturellen Gründen, warum das 2D-Problem handhabbar ist, während 3D offen bleibt, siehe Warum 2D einfacher ist als 3D.

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Möchten Sie die kurze Antwort darauf, ob es gelöst wurde? Siehe Ist das Navier-Stokes-Problem gelöst? Diese Seite klärt auch die Lücke zwischen schwacher Existenz und globaler glatter Regularität.

Die mathematischen Hindernisse werden dargelegt in Warum es schwierig ist. Für eine Zerlegung in handhabbare Teile (schwache Lösungen, partielle Regularität, Blow-up-Klassifikation) siehe Teilprobleme. Und dazu, warum der 2D-Fall geklärt ist, während 3D es nicht ist, siehe Warum 2D einfacher ist als 3D.