Millennium-Preisproblem

Navier-Stokes erklärt: Gleichungen, Clay-Preis und Status

Erfahren Sie, wie Navier-Stokes Strömungen beschreibt, wo exakte Lösungen möglich sind und warum das 3D-Millennium-Problem offen bleibt.

Hier anfangen

01

Die Gleichungen verstehen

Erfahren Sie, was die Gleichungen beschreiben und welche Rolle jeder Term spielt.

 02

Ausgearbeitete Lösungen und Beispiele

Sehen Sie Strömungen, die sich exakt berechnen lassen – und warum sie das offene Problem nicht lösen.

 03

Das offene Problem verstehen

Erfahren Sie, warum das 3D-Problem noch offen ist und was ein Beweis zeigen muss.

 04

Forschungsfortschritte verfolgen

Erfahren Sie, was Mathematiker bereits bewiesen haben, welche Ansätze sie erprobt haben und was weiterhin unbekannt ist.

Neu hier? Beginnen Sie mit den Gleichungen.

Eine Live-Fluidsimulation. Ziehen zum Rühren.

Wasser Honig

Die Gleichung hinter der Simulation

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
Was bedeuten diese Terme?
Viskositätν∆u
Wie dick die Flüssigkeit ist — Honig widersteht dem Strudeln, Wasser fließt frei. Der Schieberegler oben steuert dies Viskose Diffusion — glättet und verteilt die Strömung. Gesteuert durch den ν-Schieberegler oben
Impuls(u·∇)u Bewegung trägt Bewegung — ein schneller Strom reißt benachbarte Flüssigkeit mit und erzeugt Wirbel Nichtlineare Advektion — die Geschwindigkeit transportiert sich selbst und erzeugt Wirbelstreckung und Kaskade
Druck−∇p Wenn sich Fluid zusammenballt, drückt der Druck es auseinander — der Solver erledigt das automatisch Druckgradient — wird durch den Projektionsschritt berechnet, um die Divergenzfreiheit zu erzwingen
Änderung∂ₜu Das Ergebnis — wie sich die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an jedem Punkt ändert, berechnet aus allen anderen Termen Gesamte Änderungsrate — die linke Seite, bestimmt durch das Gleichgewicht von Advektion, Druck und Viskosität
Erhaltung∇·u = 0 Die Flüssigkeit kann sich nicht zusammendrücken oder ausdehnen — sie ordnet sich nur neu, und genau das lässt Wasser wie Wasser verhalten Divergenzfreie Bedingung — wird in jedem Schritt durch die Helmholtz-Hodge-Projektion erfüllt

Worum die 3D-Frage eigentlich geht

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben, wie sich Fluide bewegen. Sie bestimmen Luft, Wasser, Blut, Wetter und Turbulenz.

Aber es geht auf dieser Seite nicht darum, ob die Gleichungen funktionieren. Das tun sie, und sie sind in Anwendungen außerordentlich erfolgreich. Die eigentliche Frage ist die hinter dem Clay-Millennium-Preis: Wenn man mit einer vollkommen glatten 3D-Strömung beginnt, bleibt sie für immer glatt? Oder kann sie explodieren?

Niemand weiß es. Genau das macht dieses Problem außergewöhnlich.

Unten trennen wir die Wege klar: die Gleichungen selbst, den aktuellen Status gelöst oder offen, die genaue Clay-Problemstellung, die mathematischen Hindernisse, Standardreduktionen und die Beweisstrategien, die versucht wurden.

Diese Seite konzentriert sich auf das globale Regularitätsproblem der 3D inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen auf R3\mathbb{R}^3 oder T3\mathbb{T}^3.

Die Gleichung lautet

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

Im Clay-Setting betrachten wir glatte, divergenzfreie Anfangsdaten, entweder rasch abklingend auf R3\mathbb{R}^3 oder glatt periodisch auf T3\mathbb{T}^3. Die Frage: Erzeugen solche Daten immer eine eindeutige globale glatte Lösung, oder kann die Glattheit in endlicher Zeit zusammenbrechen? Lerays Theorie von 1934 liefert globale schwache Lösungen. Globale Glattheit und Eindeutigkeit in drei Dimensionen? Weiterhin offen.

Die folgenden Abschnitte trennen die PDE selbst, die formale Clay-Formulierung, die Skalierungshemmnisse, die Standard-Unterprobleme und die Ansätze, die das Fachgebiet geprägt haben.

Ein täglich aktualisiertes Karussell mit neuen, überarbeiteten und querverwiesenen arXiv-Artikeln zu Navier-Stokes-Themen.

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