Navier-Stokes erklärt: Gleichungen, Clay-Preis und Status

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben, wie sich Fluide bewegen. Sie bestimmen Luft, Wasser, Blut, Wetter und Turbulenz.

Aber es geht auf dieser Seite nicht darum, ob die Gleichungen funktionieren. Das tun sie, und sie sind in Anwendungen außerordentlich erfolgreich. Die eigentliche Frage ist die hinter dem Clay-Millennium-Preis: Wenn man mit einer vollkommen glatten 3D-Strömung beginnt, bleibt sie für immer glatt? Oder kann sie explodieren?

Niemand weiß es. Genau das macht dieses Problem außergewöhnlich.

Unten trennen wir die Wege klar: die Gleichungen selbst, den aktuellen Status gelöst oder offen, die genaue Clay-Problemstellung, die mathematischen Hindernisse, Standardreduktionen und die Beweisstrategien, die versucht wurden.

Diese Seite konzentriert sich auf das globale Regularitätsproblem der 3D inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen auf $\mathbb{R}^3$ oder $\mathbb{T}^3$.

Die Gleichung lautet

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

Im Clay-Setting betrachten wir glatte, divergenzfreie Anfangsdaten, entweder rasch abklingend auf $\mathbb{R}^3$ oder glatt periodisch auf $\mathbb{T}^3$. Die Frage: Erzeugen solche Daten immer eine eindeutige globale glatte Lösung, oder kann die Glattheit in endlicher Zeit zusammenbrechen? Lerays Theorie von 1934 liefert globale schwache Lösungen. Globale Glattheit und Eindeutigkeit in drei Dimensionen? Weiterhin offen.

Die folgenden Abschnitte trennen die PDE selbst, die formale Clay-Formulierung, die Skalierungshemmnisse, die Standard-Unterprobleme und die Ansätze, die das Fachgebiet geprägt haben.