Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Jede Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen beginnt mit derselben Idee: Man wendet Newtons zweites Gesetz auf ein winziges Paket bewegten Fluids an. Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung. Das ist der grundlegende Ausgangspunkt.

Wählen Sie einen kleinen Tropfen Wasser, Luft oder eines anderen Fluids. Er hat eine bestimmte Masse. Kräfte wirken auf ihn: Druck presst ihn von allen Seiten zusammen, innere Reibung zieht an ihm, die Schwerkraft zieht ihn nach unten. Newton sagt, dass die resultierende Kraft bestimmt, wie der Tropfen beschleunigt.

Ein Fluidpaket ist aber keine Billardkugel. Es verformt sich, während es sich bewegt. Es dehnt sich, verdreht sich und verzerrt sich, während es der Strömung folgt. „Beschleunigung“ ist also nicht so einfach wie das Verfolgen eines einzelnen Objekts. Wir müssen den Tropfen durch all diese Vorgänge hindurch verfolgen.

Man kann es sich so vorstellen: Stellen Sie sich vor, Sie sitzen in einem Kanu auf einem Fluss. Ihre Beschleunigung hängt davon ab, wie sich die Strömung an Ihrem Ort mit der Zeit ändert, und davon, dass die Strömung Sie in Bereiche trägt, in denen die Strömung schneller oder langsamer ist. Beide Effekte tragen dazu bei, wie sich Ihre Geschwindigkeit ändert.

Schreibt man diese Bilanz für jeden Punkt im Fluid gleichzeitig auf, erhält man den Ausgangspunkt der Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen.

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichung beginnt mit der Cauchy-Impulsgleichung: der kontinuumsmechanischen Form von Newtons zweitem Gesetz, angewandt auf ein materielles Volumen $\Omega(t)$ das sich mit dem Fluid bewegt.

Für ein Fluid mit Dichte $\rho$ und Geschwindigkeitsfeld $u(x,t)$ besagt die Erhaltung des linearen Impulses

$$\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)} \rho\, u\, dV = \int_{\partial\Omega(t)} T\, n\, dS + \int_{\Omega(t)} \rho\, f\, dV,$$

wobei $T$ der Cauchy-Spannungstensor ist, $n$ die äußere Einheitsnormale ist und $f$ Volumenkräfte pro Masseneinheit darstellt (typischerweise die Schwerkraft).

Die Lokalisierung mit dem Reynolds-Transporttheorem ergibt die differentielle Form

$$\rho\frac{Du}{Dt} = \nabla \cdot T + \rho f,$$

wobei die materielle Ableitung

$$\frac{Du}{Dt} = \partial_t u + (u \cdot \nabla)u$$

sowohl die lokale zeitliche Änderungsrate als auch die konvektive Beschleunigung erfasst. Dies ist $ma = F$ an jedem Punkt des Kontinuums.

Drei Arten von Kräften treten in der Herleitung der Navier-Stokes-Gleichung auf:

1. Druckkräfte. Das Fluid drückt aus jeder Richtung auf das Paket. Ist der Druck auf einer Seite höher als auf der anderen, wird das Paket zur Seite niedrigeren Drucks geschoben. Dieses Ungleichgewicht wird durch den Druckgradienten $-\nabla p$ erfasst: einen Vektor, der von hohem zu niedrigem Druck zeigt und dem Fluid vorgibt, in welche Richtung es sich bewegt.

2. Viskose Kräfte. Benachbarte Fluidschichten, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, ziehen aneinander. Schnellere Schichten ziehen langsamere Nachbarn mit; langsamere Schichten bremsen schnellere ab. Diese innere Reibung glättet Geschwindigkeitsunterschiede. Für ein einfaches Fluid wie Wasser läuft die Stärke dieser Reibung auf eine einzige Zahl hinaus: die Viskosität $\mu$.

3. Äußere Kräfte. Alles, was von außen auf das Fluid wirkt, am häufigsten die Schwerkraft. Dies sind Volumenkräfte: Sie wirken auf jedes Fluidelement im Volumen, nicht nur an der Oberfläche.

Die Navier-Stokes-Gleichungen erhält man, wenn man an jedem Punkt „Masse mal Beschleunigung = Druckkraft + viskose Kraft + äußere Kraft“ schreibt.

Der Cauchy-Spannungstensor $T$ kodiert alle inneren Kontaktkräfte. Für jedes Fluid zerfällt er in einen isotropen Druckanteil und einen deviatorischen (viskosen) Anteil:

$$T = -pI + \tau,$$

wobei $p$ der mechanische Druck ist (definiert als $-\tfrac{1}{3}\mathrm{tr}\,T$ für kompressible Strömung) und $\tau$ der viskose Spannungstensor ist.

Druckgradient. Die Anwendung des Divergenzsatzes auf $-pI$ ergibt die Kraft $-\nabla p$ pro Volumeneinheit. Dies ist der isotrope Anteil der Spannungsdivergenz.

Viskose Spannung. Der Tensor $\tau$ hängt vom konkreten konstitutiven Gesetz ab, das die Spannung mit der Deformationsrate verknüpft. Seine Divergenz $\nabla \cdot \tau$ ergibt die viskose Kraft pro Volumeneinheit. Die Form von $\tau$ ist hier noch nicht festgelegt; sie folgt aus der Annahme eines newtonschen Fluids im nächsten Abschnitt.

Volumenkräfte. Äußere Kräfte wie die Schwerkraft gehen ein als $\rho f$ pro Volumeneinheit. Setzt man die Zerlegung der Spannung in die Cauchy-Impulsgleichung ein, erhält man

$$\rho\frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f.$$

Dies ist die allgemeine Impulsgleichung für jedes einfache Fluid, ob newtonsch oder nicht. Um das System zu schließen, benötigen wir ein konstitutives Gesetz, das $\tau$.

Nicht alle Fluide verhalten sich unter Spannung gleich. Honig widersteht Bewegung anders als Wasser. Ketchup wird dünnflüssiger, wenn man ihn schüttelt. Mit Wasser vermischte Maisstärke wird steifer wenn man darauf schlägt.

Die Navier-Stokes-Gleichungen machen eine spezifische Annahme: Das Fluid ist newtonsch. Das bedeutet, dass die innere Reibung direkt proportional dazu ist, wie schnell das Fluid verformt wird. Verdoppelt man die Verformungsrate, verdoppelt sich die Spannung. Es handelt sich um eine lineare Beziehung.

Wasser und Luft lassen sich sehr gut als newtonsch modellieren. Aber dies ist eine Annahme, keine Folge der Newtonschen Gesetze. Die Herleitung erfordert sie. Ohne sie erhält man eine völlig andere Klasse von Gleichungen (Modelle nichtnewtonscher Fluide).

Die Proportionalitätskonstante ist die dynamische Viskosität $\mu$. Sie ist eine Materialeigenschaft, die misst, wie stark ein Fluid Scherung widersteht. Wasser: niedrige Viskosität. Honig: hohe Viskosität.

Es gibt außerdem einen zweiten Viskositätsparameter $\lambda$, der manchmal als zweiter Viskositätskoeffizient bezeichnet wird und wichtig ist, wenn das Fluid komprimiert wird oder sich ausdehnt. Eine häufige weitere Vereinfachung, die Stokes-Hypothese, setzt $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$. Dies ist eine zusätzliche Annahme, kein Satz.

Das konstitutive Gesetz für ein newtonsches Fluid nimmt an, dass die viskose Spannung $\tau$ eine lineare, isotrope Funktion des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors $D(u) = \tfrac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T)$ ist. Nach dem Darstellungssatz für isotrope Tensorfunktionen ist das allgemeinste solche Gesetz

$$\tau = 2\mu\, D(u) + \lambda (\nabla \cdot u)\, I,$$

äquivalent geschrieben als

$$\tau = \mu(\nabla u + \nabla u^T) + \lambda(\nabla \cdot u)\, I,$$

wobei $\mu > 0$ die dynamische (Scher-)Viskosität ist und $\lambda$ der zweite Viskositätskoeffizient ist.

Dies ist die definierende Annahme eines newtonschen Fluids. Sie wird nicht aus ersten Prinzipien hergeleitet; sie ist eine konstitutive Hypothese, die für viele gewöhnliche Fluide empirisch bestätigt ist.

Die Stokes-Hypothese postuliert ferner, dass $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, wodurch die Volumenviskosität $\kappa = \lambda + \frac{2}{3}\mu$ verschwindet. Diese Vereinfachung wird weit verbreitet verwendet, ist aber eine unabhängige Annahme, keine Folge der Thermodynamik oder der newtonschen Hypothese selbst. Die klassische kinetische Theorie sagt unter idealisierten Annahmen eine verschwindende Volumenviskosität für einatomige ideale Gase voraus; für viele reale Gase und Flüssigkeiten ist die Stokes-Hypothese nur näherungsweise gültig.

Die thermodynamische Einschränkung aus der Clausius-Duhem-Ungleichung erfordert nur $\mu \geq 0$ und $3\lambda + 2\mu \geq 0$ (äquivalent dazu $\kappa \geq 0$).

Nun fügen wir die Teile zusammen. Wir haben:

• Masse mal Beschleunigung auf der linken Seite (die materielle Ableitung der Geschwindigkeit)
• Druck, viskose Reibung und Schwerkraft auf der rechten Seite
• Die Regel für newtonsche Fluide, die Reibung mit der Verformungsgeschwindigkeit verknüpft

Einsetzen und Vereinfachen ergibt die kompressible Navier-Stokes-Impulsgleichung:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u\Big) = -\nabla p + \mu\, \Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho\, f$$

Jeder Term hat eine physikalische Bedeutung:

• $\rho\,\partial_t u$: wie sich die Geschwindigkeit an einem festen Punkt mit der Zeit ändert
• $\rho(u \cdot \nabla) u$: das Fluid transportiert seine eigene Geschwindigkeit von Ort zu Ort (Advektion)
• $-\nabla p$: Druck treibt von hoch nach niedrig
• $\mu\,\Delta u$: Viskosität glättet Geschwindigkeitsunterschiede
• $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$: ein zusätzlicher viskoser Term, der nur relevant ist, wenn das Fluid komprimiert wird oder sich ausdehnt
• $\rho f$: äußere Kräfte wie die Schwerkraft

Das ist die vollständige Impulsgleichung. Kombiniert man sie mit der Massenerhaltung und einer Zustandsgleichung (die den Druck mit der Dichte verknüpft), erhält man das kompressible Navier-Stokes-System.

Setzt man das newtonsche Stoffgesetz $\tau = 2\mu D(u) + \lambda(\nabla \cdot u)I$ in die Impulsgleichung $\rho \frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f$ ein und berechnet die Divergenz von $\tau$:

$$\nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \big[\mu(\nabla u + \nabla u^T)\big] + \nabla\big[\lambda(\nabla \cdot u)\big].$$

Wenn $\mu$ und $\lambda$ konstant sind (eine Standardannahme in vielen Herleitungen), vereinfacht sich dies zu

$$\nabla \cdot \tau = \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u),$$

unter Verwendung der Vektoridentität $\nabla \cdot (\nabla u^T) = \nabla(\nabla \cdot u)$. Die kompressible Navier-Stokes-Impulsgleichung lautet dann

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho f.$$

Dies muss gekoppelt werden mit der Massenerhaltung (der Kontinuitätsgleichung)

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

und einer Zustandsgleichung $p = p(\rho, \theta)$ (oder einer Energiegleichung), um das System zu schließen. Mit der Stokes-Hypothese $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, gilt für den Koeffizienten $\mu + \lambda = \frac{1}{3}\mu$. Für einen ausführlichen Vergleich mit dem inkompressiblen System siehe Inkompressible vs. kompressible Navier-Stokes-Gleichungen.

Wasser in einem Rohr. Langsame Luftströmungen. Ozeanzirkulation. Diese Strömungen betreffen Fluide, deren Dichte im Wesentlichen konstant bleibt. Diese Vereinfachung verwandelt die allgemeinen Gleichungen in eine deutlich übersichtlichere Form.

Konstante Dichte bedeutet, dass $\rho$ sich nirgends und niemals ändert. Die Massenerhaltung erzwingt dann $\nabla \cdot u = 0$: Das Fluid kann sich nicht komprimieren oder ausdehnen. Dies ist die Inkompressibilitätsbedingung.

Diese Vereinfachung entfernt einen Term vollständig. Der zusätzliche viskose Term $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ verschwindet vollständig. Der zweite Viskositätskoeffizient $\lambda$ fällt weg. Er spielt schlicht keine Rolle, wenn das Fluid nicht komprimiert werden kann. Die Impulsgleichung wird zu:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u\Big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f$$

Dividiert man beide Seiten durch $\rho$, schreibt $\nu = \mu / \rho$ (die kinematische Viskosität) und definiert den Druck neu, um den Faktor $1/\rho$ aufzunehmen, erhält man die Standardform:

$$\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Dies ist das System, das im Clay-Millennium-Problem untersucht wird. Es ist die Version, der Sie auf dieser gesamten Website und in den meisten mathematischen Behandlungen der Navier-Stokes-Gleichungen begegnen werden. Für einen gründlichen Vergleich mit dem kompressiblen System siehe Inkompressible vs. kompressible Navier-Stokes-Gleichungen.

Setzt man $\nu = 0$ (überhaupt keine Viskosität), erhält man die Euler-Gleichungen, ein verwandtes, aber wesentlich anderes System.

Eine häufige inkompressible Spezialisierung nimmt eine konstante Dichte $\rho$ in der gesamten Strömung an. Die Kontinuitätsgleichung $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u) = 0$ erzwingt dann $\nabla \cdot u = 0$. Allgemeiner wird Inkompressibilität durch $\nabla \cdot u = 0$ kodiert (äquivalent $D\rho/Dt = 0$ über die Kontinuitätsgleichung), was im Prinzip variable Dichte erlaubt; der Fall konstanter Dichte ist jedoch die Standardsetzung für das Clay-Problem.

Unter Inkompressibilität verschwindet der Term $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ identisch. Der zweite Viskositätskoeffizient $\lambda$ wird irrelevant: Weder die Stokes’sche Hypothese noch irgendeine andere Annahme über $\lambda$ spielt für das inkompressible System eine Rolle. Die Impulsgleichung reduziert sich zu

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f.$$

Division durch $\rho$ und Definition der kinematischen Viskosität $\nu = \mu/\rho$ (mit $p$ neu definiert, um den Faktor $1/\rho$ zu absorbieren) ergibt das inkompressible Navier-Stokes-System auf $\mathbb{R}^3$:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0) = u_0(x).$$

Dies ist das System, das im Clay-Millennium-Problem (Fefferman, 2000) untersucht wird. Das offizielle Problem betrifft die globale Regularität für glatte divergenzfreie Anfangsdaten auf $\mathbb{R}^3$ (oder $\mathbb{T}^3$) in der standardmäßigen Clay-Formulierung (Fefferman, 2000).

Der Druck $p$ ist keine unabhängige dynamische Variable: Er wird (bis auf eine Konstante) bestimmt, indem man die Divergenz der Impulsgleichung bildet und $\nabla \cdot u = 0$ verwendet, wodurch sich eine Poisson-Gleichung $\Delta p = -\nabla \cdot [(u \cdot \nabla)u] + \nabla \cdot f$ ergibt (oder $\Delta p = -\partial_i \partial_j(u_i u_j)$ wenn $f$ divergenzfrei ist oder fehlt). Diese elliptische Kopplung ist ein charakteristisches Merkmal des inkompressiblen Systems.

Setzt man $\nu = 0$, erhält man die inkompressiblen Euler-Gleichungen. Die Beziehung zwischen diesen beiden Systemen ist zentral für viele offene Fragen der mathematischen Fluiddynamik.

Die Herleitung liefert uns die Navier-Stokes-Gleichungen. Sie sagt uns, was sie sind und warum sie die Form haben, die sie haben. Jeder Term lässt sich auf ein physikalisches Prinzip oder eine explizite Annahme zurückführen.

Aber die Herleitung der Gleichungen ist nicht dasselbe wie das Verständnis ihrer Lösungen. Die Herleitung beantwortet nicht:

• Existieren Lösungen immer für alle Zeiten?
• Wenn sie glatt starten, bleiben sie dann glatt?
• Kann die Geschwindigkeit in endlicher Zeit gegen unendlich blow-upen?

Dies sind Fragen zum mathematischen Verhalten der Gleichungen, nicht zu ihrem physikalischen Ursprung. In drei Dimensionen sind sie nach wie vor offen. Diese Lücke ist das Clay-Millennium-Problem: ob glatte dreidimensionale inkompressible Navier-Stokes-Daten stets globale glatte Lösungen hervorbringen oder ob sich in endlicher Zeit Singularitäten bilden können.

Die Gleichungen stammen aus dem 19. Jahrhundert, und das Clay Mathematics Institute hat seit 2000 ein Preisgeld von 1 Million US-Dollar für eine Lösung des modernen Regularitätsproblems ausgelobt.

Die Herleitung etabliert die Navier-Stokes-Gleichungen als ein gut motiviertes PDE-System, das auf der Impulserhaltung und dem Newtonschen konstitutiven Gesetz beruht. Sie behandelt nicht die zentrale Frage der mathematischen Wohlgestelltheit.

Konkret schweigt die Herleitung zu:

• Globale Existenz: Ob glatte Lösungen für alle $t > 0$ bei glatten Anfangsdaten fortbestehen.
• Regularität: Ob Lösungen in $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ verbleiben oder Singularitäten entwickeln können.
• Eindeutigkeit: Ob Lösungen in verschiedenen Funktionenraum-Kontexten eindeutig sind.

Lerays Theorie (1934) garantiert die globale Existenz von schwachen Lösungen in $L^2$, aber Eindeutigkeit und Regularität von Leray-Hopf-Lösungen sind in 3D weiterhin unbewiesen. Die Lücke zwischen den verfügbaren Energieabschätzungen und der Skalierung der Nichtlinearität ist der analytische Kern der Schwierigkeit.

Das Clay-Millennium-Problem verlangt genau einen Beweis oder eine Widerlegung der globalen Regularität in $\mathbb{R}^3$. Die Herleitung motiviert das PDE-System, löst aber Existenz, Regularität oder Eindeutigkeit in 3D nicht.

Nachdem Sie nun gesehen haben, woher die Gleichungen kommen:

• Was sind die Navier-Stokes-Gleichungen? für die Gleichungen selbst, mit Erklärung Term für Term
• Inkompressible vs. kompressible Navier-Stokes-Gleichungen dazu, was sich ändert, wenn die Dichte variiert, und warum der inkompressible Fall besonders ist
• Euler vs. Navier-Stokes dazu, was geschieht, wenn man die Viskosität vollständig entfernt
• Das Millennium-Problem zur offenen Frage, die diese Gleichungen berühmt macht

Verwandte Seiten zum weiteren Studium:

• Was sind die Navier-Stokes-Gleichungen? zu den Standardformen mit ausführlicher Diskussion jedes Terms
• Inkompressible vs. kompressible Navier-Stokes-Gleichungen zum vollständigen kompressiblen System, barotropen Abschlüssen und dem Grenzfall kleiner Mach-Zahl
• Euler vs. Navier-Stokes zum inviskosen Grenzfall, zur Rolle von $\nu$ und zum Problem verschwindender Viskosität
• Existenz und Glattheit der Navier-Stokes-Gleichungen zur präzisen Clay-Formulierung, bekannten Ergebnissen und offenen Fragen