Ansätze zum Navier-Stokes-Problem

Der älteste Ansatz beginnt mit Energie. Eine bewegte Flüssigkeit trägt kinetische Energie, und die Viskosität zehrt sie auf, wie Reibung Dinge allmählich zum Stillstand bringt. Die Gesamtenergie kann mit der Zeit nur abnehmen, sofern nicht von außen Energie hineingepumpt wird.

Leray erkannte das 1934 und machte einen entscheidenden Schritt: Er nutzte die Energieschranke, um zu beweisen, dass eine globale schwache Lösung mit endlicher kinetischer Energie existieren muss. Man konstruiert Näherungslösungen, künstlich geglättet. Man zeigt, dass sie alle der Energieschranke gehorchen. Man geht zum Grenzwert über. Etwas muss in diesem Grenzwert überleben, und das tut es.

Aber hier ist der Haken. Energieschranken sind grobe Werkzeuge. Sie garantieren zwar, dass das Fluid endliche Gesamtenergie hat, aber sie können nicht sagen, dass die Geschwindigkeit an jedem einzelnen Punkt in Raum und Zeit endlich bleibt. Genau diese Lücke zwischen "endlicher Energie" und "überall glatt" ist das Regularitätsproblem, und es ist seit neunzig Jahren offen.

Veröffentlichungen: Leray, Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace (1934); Hopf, Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen (1951).

Die Leray-Hopf-Konstruktion verläuft in zwei Hauptvarianten: Galerkin-Approximation (Projektion auf endlichdimensionale Unterräume) oder Friedrichs-Mollifikation (Glättung der Nichtlinearität durch Faltung). Beide teilen dasselbe vierstufige Grundgerüst. Die Standardstrategie hat vier Schritte:

1. Approximation: Löse das mollifizierte System $\partial_t u_\varepsilon + (J_\varepsilon u_\varepsilon \cdot \nabla) u_\varepsilon = \nu \Delta u_\varepsilon - \nabla p_\varepsilon$ auf endlichdimensionalen Unterräumen.
2. Energieabschätzung: Die A-priori-Abschätzung $\|u_\varepsilon(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u_\varepsilon\|_{L^2}^2 \leq \|u_0\|_{L^2}^2$ gilt gleichmäßig in $\varepsilon$.
3. Kompaktheit: Extrahiere eine schwach konvergente Teilfolge $u_\varepsilon \rightharpoonup u$ in $L^2_t \dot{H}^1_x$ mithilfe des Aubin-Lions-Lemmas.
4. Grenzübergang: Der nichtlineare Term konvergiert aufgrund der starken $L^2_{\text{loc}}$-Konvergenz von $u_\varepsilon$.

Die resultierende schwache Lösung erfüllt die Energie-Ungleichung, nicht die Gleichheit. Zu irregulären Zeiten kann Energie verloren gehen. Und genau das ist das ganze Problem: Die Lücke zwischen der Energieklasse $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ und tatsächlicher Glattheit ist genau das, was wir nicht schließen können.

Veröffentlichungen: Leray, Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace (1934); Hopf, Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen (1951).

Der Caffarelli-Kohn-Nirenberg-Ansatz (1982) versucht nicht, vollständige Glattheit zu beweisen. Er stellt eine ganz andere Frage: Wie schlimm können die Singularitäten tatsächlich sein?

Kaum schlimm überhaupt. Ihr $\varepsilon$-Regularitätssatz besagt, dass die Lösung dort automatisch glatt ist, wenn bestimmte skaleninvariante lokale Größen in einer kleinen Raum-Zeit-Region hinreichend klein sind. Und da die Gesamtenergie endlich ist, gibt es schlicht nicht genug "Budget", damit viele singuläre Punkte nebeneinander koexistieren.

Man kann es sich so vorstellen. Eine Wand mag Risse haben. Aber die Gesamtlänge all dieser Risse zusammen ist null, was bedeutet, dass die singuläre Menge im parabolischen maßtheoretischen Sinn extrem klein ist (eindimensionales parabolisches Hausdorff-Maß null).

Veröffentlichungen: Caffarelli-Kohn-Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations (1982); Albritton-Barker-Prange, Epsilon regularity for the Navier-Stokes equations via weak-strong uniqueness.

Der CKN-$\varepsilon$-Regularitätssatz: Für geeignete schwache Lösungen impliziert die Kleinheit bestimmter skaleninvarianter lokaler Größen (an denen sowohl $u$ als auch $p$ auf einem parabolischen Zylinder $Q_r(z_0) = B_r(x_0) \times (t_0 - r^2, t_0)$ beteiligt sind) Regularität (Hölder-Stetigkeit) in der Nähe des Punktes $z_0 = (x_0, t_0)$.

Der Beweis kombiniert die lokale Energieungleichung mit einer Iteration vom Campanato-Typ: Wenn die skaleninvariante Energie klein ist, zeigt ein Bootstrap-Argument, dass $u$ beschränkt ist, dann Hölder-stetig und schließlich nach klassischer Schauder-Theorie glatt.

Die Dimensionsabschätzung $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$ folgt aus einem Vitali-Überdeckungsargument. Singuläre Punkte erzwingen untere Schranken für skaleninvariante lokalisierte Dissipations-/Energiegrößen; die Überdeckung kontrolliert dann das parabolische Eins-Maß der singulären Menge durch ein lokales Energiemaß, das auf kleinen Skalen verschwindet.

Veröffentlichungen: Caffarelli-Kohn-Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations (1982); Albritton-Barker-Prange, Epsilon regularity for the Navier-Stokes equations via weak-strong uniqueness.

Hier ist eine scharfe Reduktion des gesamten Problems. Beale, Kato und Majda bewiesen 1984, dass für die 3D-Euler-Gleichungen ein Blowup nur auftreten kann, wenn die Kontrolle der Vortizität verloren geht. Analoge Kriterien wurden später für Navier-Stokes aufgestellt. Das ist alles. Eine Bedingung.

Vortizität misst die lokale Rotation. Das BKM-Kriterium besagt: Hält man die maximale Rotation in der richtigen Norm beschränkt, bleibt die Lösung glatt. Alles andere fügt sich dann automatisch.

Eine einzige Familie von Größen, die man kontrollieren muss. Leider hat sich die tatsächliche Kontrolle dieser Größen als genau so schwierig erwiesen wie das ursprüngliche Problem. Die Reduktion ist sauber. Die Ausführung bleibt außer Reichweite.

Veröffentlichungen: Beale-Kato-Majda, Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations (1984); Kozono-Taniuchi, Bilinear estimates in BMO and the Navier-Stokes equations (2000).

Der ursprüngliche Satz von Beale-Kato-Majda (1984) gilt für die 3D-Euler-Gleichungen. Für Navier-Stokes implizieren analoge Fortsetzungskriterien, dass eine glatte Lösung $u$ auf $[0, T^*)$ über $T^*$ hinaus fortgesetzt werden kann, sofern

$$\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot, t)\|_{L^\infty} \, dt < \infty,$$

wobei $\omega = \nabla \times u$ die Vortizität ist. Verfeinerungen umfassen:

• Kozono-Taniuchi (2000): $\|\omega\|_{L^\infty}$ kann durch $\|\omega\|_{\mathrm{BMO}}$ ersetzt werden
• Varianten in Besov-Räumen: kritische oder grenzwertige Besov-Kontrolle kann ebenfalls als Fortsetzungskriterium dienen
• Richtungsbeschränkte Kriterien: Serrin-artige Bedingungen an Komponenten von $\nabla u$ können ebenfalls als Fortsetzungskriterium dienen (siehe z. B. Beirão da Veiga, 1995)

Diese Kriterien stehen mit dem Bild der Wirbelstreckung in Verbindung: Jede Singularität in endlicher Zeit muss die Vortizität so schnell akkumulieren lassen, dass das obige Zeitintegral nicht endlich bleiben kann.

Veröffentlichungen: Beale-Kato-Majda, Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations (1984); Kozono-Taniuchi, Bilinear estimates in BMO and the Navier-Stokes equations (2000); Chemin-Planchon, Self-improving bounds for the Navier-Stokes equations (2012).

Ein modernerer Blickwinkel arbeitet mit Funktionenräumen (wie $L^3$ oder $\dot{H}^{1/2}$), die genau an der Grenze dessen liegen, was die Skalierungssymmetrie zulässt. Das sind kritische Räume, und dort liegen die schärfsten Regularitätsresultate.

Die Logik ist klar: Wenn man zeigen kann, dass eine Lösung innerhalb bestimmter Schranken in kritischen Räumen bleibt, folgt Glattheit automatisch. Mehrere Teams haben das bewiesen und damit ein ganzes Menü von Regularitätskriterien aufgebaut (Bedingungen, die Glattheit garantieren, wenn man sie verifizieren kann).

Das Problem ist die Lücke. Energiemethoden liefern energysuperkritische, unterkritische Kontrolle. Wir brauchen kritische Schranken. Diese Lücke ist schmal, manchmal nur eine einzige Regularitätsableitung, aber sie hat sich jedem Versuch widersetzt, sie zu schließen.

Veröffentlichungen: Koch-Tataru, Well-posedness for the Navier-Stokes equations (2001); Kenig-Koch, An alternative approach to regularity for the Navier-Stokes equations in critical spaces; Gallagher-Koch-Planchon, A profile decomposition approach to the $L^\infty_t(L^3_x)$ Navier-Stokes regularity criterion. Für einen detaillierten Vergleich, warum Energiekritikalität in 2D funktioniert, in 3D aber scheitert, siehe Warum 2D einfacher ist als 3D.

Wichtige Programme zur Regularität in kritischen Räumen:

• Koch-Tataru (2001): Globale Wohlgestelltheit für kleine Daten in $\text{BMO}^{-1}$. Die Schlüsselabschätzung ist eine Fixpunkt-Schranke für die bilineare Duhamel-Abbildung im Koch-Tataru-Lösungsraum des Wärmeflusses, der auf $\text{BMO}^{-1}$-Daten aufbaut, nicht eine bloße statische Produktabschätzung in $\text{BMO}^{-1}$. Das gehört zu den schärfsten bekannten Resultaten für perturbative Methoden.
• Gallagher-Koch-Planchon (2013): Profilzerlegungsansatz zum $L^\infty_t L^3_x$-Regularitätskriterium für Navier-Stokes. Jede Folge von Lösungen mit beschränkter kritischer Norm besitzt eine Teilfolge, die sich in asymptotisch entkoppelte Profile zerlegt.

Das zentrale Hindernis: Es ist kein koerzives Funktional bekannt, das sowohl durch die Entwicklung kontrolliert wird als auch kritisch bezüglich der Navier-Stokes-Skalierung ist.

Veröffentlichungen: Koch-Tataru, Well-posedness for the Navier-Stokes equations (2001); Kenig-Koch, An alternative approach to regularity for the Navier-Stokes equations in critical spaces; Gallagher-Koch-Planchon, A profile decomposition approach to the $L^\infty_t(L^3_x)$ Navier-Stokes regularity criterion.

Die moderne PDE-Theorie übernimmt vieles aus der harmonischen Analysis. Die Grundidee: Man zerlegt eine Funktion in Wellen verschiedener Frequenzen, so wie man einen musikalischen Akkord in einzelne Töne aufspalten würde. Nur sind die "Töne" hier räumliche Oszillationen der Fluidgeschwindigkeit auf extrem unterschiedlichen Skalen.

Littlewood-Paley-Zerlegung tut genau das. Man zerlegt das Geschwindigkeitsfeld Skala für Skala in Komponenten. Man verfolgt, wie Energie zwischen ihnen fließt. Plötzlich wird die informelle physikalische Intuition der "Energiekaskade" zu etwas, worüber man tatsächlich Sätze beweisen kann, und die Sätze sind präzise. Diese Methoden haben viele der schärfsten Resultate zu Regularitätskriterien und Blowup-Raten hervorgebracht.

Veröffentlichungen: Cannone-Meyer, Littlewood-Paley decomposition and Navier-Stokes equations (1995); Gallagher-Koch-Planchon, A profile decomposition approach to the $L^\infty_t(L^3_x)$ Navier-Stokes regularity criterion.

Die Littlewood-Paley-Theorie zerlegt $u = \sum_j \Delta_j u$, wobei $\Delta_j$ auf Frequenzen $|\xi| \sim 2^j$ lokalisiert. Angewandt auf die Transportnichtlinearität $(u \cdot \nabla)u$:

Die Paraproduktzerlegung der Nichtlinearität $(u \cdot \nabla)u$ spaltet sich in Tief-Hoch-, Hoch-Tief- und Hoch-Hoch-Frequenzwechselwirkungen auf:

$$(u \cdot \nabla)u = T_u \nabla u + T_{\nabla u} u + R(u, \nabla u)$$

wobei $T$ das Paraprodukt und $R$ der Restterm ist. Jeder Teil hat unterschiedliche Regularitätseigenschaften in Besov-Räumen $\dot{B}^s_{p,q}$.

Wichtige Resultate mit diesem Instrumentarium:

• Chemin-Lerner-Räume: $\widetilde{L}^\rho_T \dot{B}^s_{p,q}$ liefern den natürlichen Rahmen für kritische Wohlgestelltheit: Die bilineare Navier-Stokes-Form bildet ab $\widetilde{L}^\infty_T \dot{B}^{-1+3/p}_{p,q} \times \widetilde{L}^1_T \dot{B}^{1+3/p}_{p,q} \to \widetilde{L}^1_T \dot{B}^{-1+3/p}_{p,q}$.
• Cannone-Meyer: Littlewood-Paley-Methoden liefern eine saubere Wavelet-/Besov-Formulierung der Theorie kleiner Daten.

Veröffentlichungen: Cannone-Meyer, Littlewood-Paley decomposition and Navier-Stokes equations (1995); Gallagher-Koch-Planchon, A profile decomposition approach to the $L^\infty_t(L^3_x)$ Navier-Stokes regularity criterion.

Hier ist ein ganz anderer Instinkt am Werk. Statt Zahlen zu verfolgen (Normen, Energien), untersuchen diese Methoden die Gestalt der Lösung: wie sich Wirbelröhren krümmen, wie sich Bereiche intensiver Rotation im Raum anordnen.

Die zentrale Einsicht ist, dass es beim Blowup nicht nur darum geht, dass etwas groß wird. Es geht darum, dass sich das Fluid zu einer sehr spezifischen geometrischen Konfiguration organisiert. Wenn man zeigen kann, dass diese Konfiguration unmöglich ist (weil sie der Energie-Dissipations-Struktur, der Inkompressibilität oder beidem widerspricht), hat man Blowup ausgeschlossen, ohne je eine Norm zu berechnen.

Diese geometrische Sichtweise hat sich zu einer Perspektive entwickelt, die neben rein analytischen Methoden mehrere rigorose Regularitätskriterien inspiriert hat. Und sie fühlt sich anders an. Sie fragt welche Gestalt nimmt die Katastrophe an? statt wie groß kann diese Zahl werden?

Veröffentlichungen: Constantin-Fefferman, Geometric constraints on potentially singular solutions for the 3-D Euler equations (1993); Albritton-Barker-Prange, Localized smoothing and concentration for the Navier-Stokes equations in the half space.

Geometrisch-topologische Ansätze nutzen strukturelle Beschränkungen aus, die für rein analytische Methoden unsichtbar sind:

• Geometrie der Wirbellinien: Constantin und Fefferman (1993) zeigten, dass die Lösung regulär ist, wenn das Richtungsfeld der Vortizität $\hat{\omega} = \omega/|\omega|$ in Bereichen hoher Vortizität Lipschitz-stetig ist. Blowup erfordert, dass die Richtung der Vortizität gleichzeitig mit ihrem Betrag eine Singularität entwickelt.
• Unvereinbarkeitsargumente: Wenn eine Blowup-Konfiguration geometrisch beschränkt ist (z. B. durch Packungsschranken für die Anzahl unabhängiger Konzentrationsbereiche, die in Energie- und Dissipationsbudgets passen), kann man einen Widerspruch herleiten, ohne kritische Normen direkt abzuschätzen.
• Fallaufteilung (spekulativ/programmatisch): Eine vorgeschlagene Strategie würde jede räumliche Region als zu einem von endlich vielen Szenarien gehörig klassifizieren (z. B. lokal regulär, Type-I-artig, Type-II-artig, dicht gepackt) und versuchen zu zeigen, dass jedes Szenario entweder Regularität liefert oder das Problem auf ein beschränktes Zählargument überträgt. Das bleibt eher ein Forschungsprogramm als ein etabliertes Resultat.

Die Beweisseite auf dieser Website untersucht Argumente dieser Art; nichts hier wird als abgeschlossener formaler Beweis des Millennium-Problems präsentiert.

Veröffentlichungen: Constantin-Fefferman, Geometric constraints on potentially singular solutions for the 3-D Euler equations (1993); Albritton-Barker-Prange, Localized smoothing and concentration for the Navier-Stokes equations in the half space.

Das hat viele überrascht. Die schwachen Lösungen aus Lerays Methode (Abschnitt 1) erweisen sich als nicht eindeutig, zumindest wenn äußere Forcierung vorhanden ist.

Die Waffe ist konvexe Integration, eine Technik, die ursprünglich für Geometrieprobleme entwickelt und ab etwa 2009 von De Lellis und Székelyhidi an Strömungsgleichungen angepasst wurde. Die Idee: "wilde" Lösungen konstruieren, indem man iterativ hochfrequente Korrekturen aufschichtet, die zusammen die Gleichung erfüllen, sich aber erratisch verhalten.

Für 3D-Navier-Stokes bewiesen Buckmaster und Vicol (2019) die Nicht-Eindeutigkeit schwacher Lösungen endlicher Energie unterhalb der Leray-Hopf-Klasse. Die Euler-Nicht-Eindeutigkeit stammt aus dem Programm der konvexen Integration von De Lellis-Székelyhidi, Isett und Buckmaster. Dann bewiesen Albritton, Brué und Colombo 2022, dass selbst Leray-Hopf-Lösungen der 3D-Navier-Stokes nicht eindeutig sind, wenn äußere Forcierung vorhanden ist. Ob die Nicht-Eindeutigkeit für die ohne äußere Kraft Navier-Stokes-Gleichungen fortbesteht, bleibt offen.

Warum ist das wichtig? Weil "eine schwache Lösung existiert" seit 1934 das Schlagzeilenergebnis war. Jetzt wissen wir, dass es keine einzige Antwort festlegt. Die Frage wird schärfer: Welche Lösung, wenn überhaupt eine, ist die physikalisch richtige?

Veröffentlichungen: De Lellis-Székelyhidi, Dissipative continuous Euler flows (2013); Buckmaster-Vicol, Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation (2019); Albritton-Brué-Colombo, Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier-Stokes equations (2022).

Die konvexe Integration für Strömungsgleichungen hat ihren Ursprung im De-Lellis-Székelyhidi-Programm (2009-2013), das die Nash-Kuiper-$C^1$-Technik der isometrischen Einbettung anpasste, um schwache Lösungen der Euler-Gleichungen zu konstruieren, die Energie dissipieren. Wichtige Etappen:

• De Lellis-Székelyhidi (2013): Existenz stetiger ($C^0$) dissipativer Euler-Strömungen auf $\mathbb{T}^3$ (Hölder-Regularität unterhalb von $1/5$ wurde in der anschließenden Arbeit von Buckmaster-De Lellis-Isett-Székelyhidi 2015 erreicht; später von Isett 2018 auf $< 1/3$ verbessert, womit die flexible Seite der Onsager-Vermutung gelöst wurde).
• Buckmaster-Vicol (2019): Nicht-Eindeutigkeit schwacher Lösungen endlicher Energie für 3D-Navier-Stokes, mit Lösungen in $C^0_t H^\beta_x$ für ein gewisses $\beta > 0$. Die Konstruktion verwendet intermittierende Beltrami-Strömungen als Bausteine und fügt in jedem Iterationsschritt oszillatorische Korrekturen hinzu, während die Kontrolle über die Reynolds-Spannung erhalten bleibt. Das liegt unterhalb der Leray-Hopf-Energieklasse und widerspricht daher nicht direkt der Leray-Eindeutigkeit.
• Albritton-Brué-Colombo (2022): Nicht-Eindeutigkeit von Leray-Hopf-Lösungen für die mit äußerer Kraft 3D-Navier-Stokes-Gleichungen. Der Beweis konstruiert eine instabile selbstähnliche Hintergrundlösung und nutzt einen Instabilitätsmechanismus, um von denselben Anfangsdaten in verschiedene Leray-Hopf-Lösungen zu verzweigen. Das zeigt, dass die Energieungleichung allein keine eindeutige Lösung auswählt, wenn Forcierung vorhanden ist.

Die zentrale offene Frage ist, ob Nicht-Eindeutigkeit für die ohne äußere Kraft Navier-Stokes-Gleichungen in der Leray-Hopf-Klasse fortbesteht. Das Ergebnis mit Forcierung zeigt, dass die Energieungleichung kein hinreichendes Auswahlprinzip ist, klärt aber nicht, ob die unforced Gleichung zusätzliche Struktur besitzt, die Eindeutigkeit wiederherstellt.

Veröffentlichungen: De Lellis-Székelyhidi, Dissipative continuous Euler flows (2013); Buckmaster-Vicol, Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation (2019); Albritton-Brué-Colombo, Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier-Stokes equations (2022).

Können wir zumindest bestimmte Beweisstrategien ausschließen? Terence Tao zeigte 2016, dass wir das können. Und das Ergebnis ist ernüchternd.

Tao konstruierte eine modifizierte Version der Navier-Stokes-Gleichungen, ein "gemitteltes" System, das viele zentrale Strukturmerkmale der echten Gleichungen beibehält: die Energieidentität, die Art, wie Enstrophie (ein Maß für die Intensität der Vortizität) wächst, die Skalierungssymmetrie. Aber in diesem modifizierten System treten Lösungen in endlicher Zeit einen Blowup an.

Die Folgerung schließt breite Familien von Beweisstrategien aus. Jeder Beweis, dass für die echten Gleichungen globale Glattheit gilt, muss irgendeine spezifische strukturelle Eigenschaft der tatsächlichen Nichtlinearität nutzen, die das gemittelte System nicht hat. Man kann Regularität nicht nur mit Energieschranken, Skalierung und Enstrophiewachstum beweisen. Diese Werkzeuge allein sind mit Blowup vereinbar.

Das besagt nicht, dass die echten Gleichungen blowup entwickeln. Es besagt, dass ganze Familien von Beweisstrategien Sackgassen sind. Der endgültige Beweis (falls Regularität gilt) muss schärfer sein als ein generisches Energieargument. Viel schärfer.

Veröffentlichungen: Tao, Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation (2016).

Tao (2016) betrachtet ein System der Form

$$\partial_t u + \tilde{B}(u, u) = \nu \Delta u - \nabla p, \quad \nabla \cdot u = 0,$$

wobei $\tilde{B}$ ein bilinearer Operator ist, der mit der echten Navier-Stokes-Nichtlinearität $(u \cdot \nabla)u$ in folgenden Hinsichten übereinstimmt:

• er ist ein Fourier-Multiplikator erster Ordnung und erhält die Skalierung $u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$
• er erfüllt dieselbe Energieidentität: $\langle \tilde{B}(u,u), u \rangle = 0$
• er reproduziert die Struktur des Enstrophiewachstums

Für dieses gemittelte System konstruiert Tao glatte Anfangsdaten, deren Lösung in endlicher Zeit blowup entwickelt. Der Blowup-Mechanismus programmiert eine Folge immer schärferer Enstrophiekonzentrationen auf immer kleineren Skalen, wobei jede Stufe die Enstrophie in einer kontrollierten Kaskade verdoppelt.

Das daraus entstehende Hindernis: Jede superkritische Größe, die (a) durch die Entwicklung in der Energieklasse kontrolliert wird und (b) unter der Navier-Stokes-Skalierung invariant ist, kann für sich genommen blowup nicht ausschließen, weil sie auch im gemittelten System kontrolliert wäre, das tatsächlich blowup entwickelt. Ein Regularitätsbeweis muss die spezifische algebraische Auslöschungsstruktur des echten Transportterms $(u \cdot \nabla)u$ ausnutzen, die der gemittelte Operator $\tilde{B}$ nicht teilt.

Veröffentlichungen: Tao, Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation (2016).

Dieser Artikel ist Teil von Fortschritt.

Von Lerays Existenzbeweis von 1934 über konvexe Integration bis hin zu Taos Beweishindernissen: Das sind die wichtigsten Strategien, die auf das 3D-Navier-Stokes-Problem geworfen wurden. Keine hat das vollständige 3D-Regularitätsproblem gelöst. Zum Kontext, wie Viskosität die Mathematik im Vergleich zu den reibungsfreien Euler-Gleichungen prägt, siehe Euler vs. Navier-Stokes. Zum aktuellen Stand siehe Ist das Navier-Stokes-Problem gelöst? Für die genaue formale Aussage kehre zurück zu Das Millennium-Problem.

Dieser Artikel ist Teil von Fortschritt.

Die obigen Ansätze stellen die wichtigsten rigorosen Stränge in der Literatur zu Regularität und Eindeutigkeit bis 2022 dar. Keine Kombination hat das vollständige 3D-Problem gelöst. Das Feld bewegt sich weiter. Computergestützte Beweismethoden sind ein aktiver Bereich, der auf dieser Website separat behandelt wird.

Zum Vergleich zwischen viskosen und reibungsfreien Systemen (und warum Viskosität hilft, aber nicht genug), siehe Euler vs. Navier-Stokes. Zu den Teilproblemen, auf die diese Ansätze zielen, siehe Teilprobleme. Zu den Skalierungshindernissen siehe Warum es schwierig ist.