Derivazione delle equazioni di Navier-Stokes

Ogni derivazione di Navier-Stokes parte dalla stessa idea: applicare la seconda legge di Newton a una piccola particella di fluido in movimento. La forza è uguale alla massa per l'accelerazione. Questo è il punto di partenza fondamentale.

Prendiamo una piccola porzione d'acqua, d'aria o di qualunque altro fluido. Ha una certa massa. Su di essa agiscono delle forze: la pressione la comprime da tutti i lati, l'attrito interno la trascina, la gravità la tira verso il basso. Newton dice che la forza risultante determina come quella porzione accelera.

Ma una particella fluida non è una palla da biliardo. Si deforma mentre si muove. Si allunga, si torce, si distorce mentre viene trasportata dal flusso. Quindi "accelerazione" non è semplice come seguire un singolo oggetto. Dobbiamo seguire la particella attraverso tutto questo.

Pensala così: immagina di essere seduto in una canoa su un fiume. La tua accelerazione dipende da come la corrente cambia nel tempo nel punto in cui ti trovi, e dal fatto che la corrente ti trasporta in regioni in cui il flusso è più veloce o più lento. Entrambi gli effetti contribuiscono a come cambia la tua velocità.

Scrivere questo bilancio simultaneamente in ogni punto del fluido ci dà il punto di partenza della derivazione delle equazioni di Navier-Stokes.

La derivazione dell'equazione di Navier-Stokes comincia con l'equazione della quantità di moto di Cauchy: la forma della meccanica dei continui della seconda legge di Newton applicata a un volume materiale $\Omega(t)$ che si muove con il fluido.

Per un fluido con densità $\rho$ e campo di velocità $u(x,t)$, la conservazione della quantità di moto lineare afferma

$$\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)} \rho\, u\, dV = \int_{\partial\Omega(t)} T\, n\, dS + \int_{\Omega(t)} \rho\, f\, dV,$$

dove $T$ è il tensore degli sforzi di Cauchy, $n$ è la normale unitaria uscente e $f$ rappresenta le forze di volume per unità di massa (tipicamente la gravità).

Localizzando con il teorema del trasporto di Reynolds si ottiene la forma differenziale

$$\rho\frac{Du}{Dt} = \nabla \cdot T + \rho f,$$

dove la derivata materiale

$$\frac{Du}{Dt} = \partial_t u + (u \cdot \nabla)u$$

cattura sia il tasso di variazione temporale locale sia l'accelerazione convettiva. Questo è $ma = F$ in ogni punto del continuo.

Nella derivazione dell'equazione di Navier-Stokes compaiono tre tipi di forze:

1. Forze di pressione. Il fluido spinge sulla particella da ogni direzione. Se la pressione è più alta da un lato che dall'altro, la particella viene spinta verso il lato a bassa pressione. Questo squilibrio è descritto dal gradiente di pressione $-\nabla p$: un vettore che punta dall'alta pressione verso la bassa, indicando al fluido in quale direzione andare.

2. Forze viscose. Strati adiacenti di fluido che si muovono a velocità diverse si trascinano a vicenda. Gli strati più veloci tirano con sé quelli vicini più lenti; gli strati più lenti frenano quelli più veloci. Questo attrito interno smorza le differenze di velocità. Per un fluido semplice come l'acqua, l'intensità di questo attrito si riduce a un solo numero: la viscosità $\mu$.

3. Forze esterne. Qualunque cosa agisca sul fluido dall'esterno, più comunemente la gravità. Sono forze di volume: agiscono su ogni porzione di fluido nel volume, non solo sulla superficie.

Le equazioni di Navier-Stokes sono ciò che si ottiene quando si scrive "massa per accelerazione = forza di pressione + forza viscosa + forza esterna" in ogni punto.

Il tensore degli sforzi di Cauchy $T$ codifica tutte le forze interne di contatto. Per qualunque fluido, si decompone in una parte isotropa di pressione e in una parte deviatorica (viscosa):

$$T = -pI + \tau,$$

dove $p$ è la pressione meccanica (definita come $-\tfrac{1}{3}\mathrm{tr}\,T$ per un flusso comprimibile) e $\tau$ è il tensore degli sforzi viscosi.

Gradiente di pressione. Applicando il teorema della divergenza a $-pI$ si ottiene la forza $-\nabla p$ per unità di volume. Questa è la parte isotropa della divergenza dello sforzo.

Sforzo viscoso. Il tensore $\tau$ dipende dalla specifica legge costitutiva che mette in relazione lo sforzo con il tasso di deformazione. La sua divergenza $\nabla \cdot \tau$ dà la forza viscosa per unità di volume. La forma di $\tau$ qui è ancora non specificata; deriva dall'ipotesi di fluido newtoniano nella sezione successiva.

Forze di volume. Le forze esterne come la gravità entrano come $\rho f$ per unità di volume. Sostituendo la decomposizione dello sforzo nell'equazione della quantità di moto di Cauchy si ottiene

$$\rho\frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f.$$

Questa è l'equazione generale della quantità di moto per qualsiasi fluido semplice, newtoniano o no. Per chiudere il sistema, serve una legge costitutiva che specifichi $\tau$.

Non tutti i fluidi si comportano allo stesso modo sotto sforzo. Il miele resiste al moto diversamente dall'acqua. Il ketchup diventa più fluido quando lo si agita. L'amido di mais mescolato con acqua diventa più rigido quando lo si colpisce.

Le equazioni di Navier-Stokes fanno un'ipotesi specifica: il fluido è newtoniano. Ciò significa che l'attrito interno è direttamente proporzionale alla rapidità con cui il fluido viene deformato. Raddoppi il tasso di deformazione, raddoppi lo sforzo. È una relazione lineare.

Acqua e aria sono modellate molto bene come fluidi newtoniani. Ma questa è un'ipotesi, non una conseguenza delle leggi di Newton. La derivazione la richiede. Senza di essa, si ottiene una classe di equazioni completamente diversa (modelli di fluidi non newtoniani).

La costante di proporzionalità è la viscosità dinamica $\mu$. È una proprietà del materiale che misura quanto un fluido resiste al taglio. Acqua: bassa viscosità. Miele: alta viscosità.

C'è anche un secondo parametro di viscosità $\lambda$, talvolta chiamato secondo coefficiente di viscosità, che conta quando il fluido si comprime o si espande. Un'ulteriore semplificazione comune, ipotesi di Stokes, pone $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$. Questa è un'ipotesi aggiuntiva, non un teorema.

La legge costitutiva per un fluido newtoniano assume che lo sforzo viscoso $\tau$ sia una funzione lineare e isotropa del tensore del tasso di deformazione $D(u) = \tfrac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T)$. Per il teorema di rappresentazione delle funzioni tensoriali isotrope, la legge più generale di questo tipo è

$$\tau = 2\mu\, D(u) + \lambda (\nabla \cdot u)\, I,$$

scritta equivalentemente come

$$\tau = \mu(\nabla u + \nabla u^T) + \lambda(\nabla \cdot u)\, I,$$

dove $\mu > 0$ è la viscosità dinamica (di taglio) e $\lambda$ è il secondo coefficiente di viscosità.

Questa è l’ipotesi definitoria di un fluido newtoniano. Non viene derivata da primi principi; è un’ipotesi costitutiva validata empiricamente per molti fluidi comuni.

Ipotesi di Stokes postula inoltre che $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, il che fa annullare la viscosità di volume $\kappa = \lambda + \frac{2}{3}\mu$. Questa semplificazione è ampiamente usata, ma è un’ipotesi indipendente, non una conseguenza della termodinamica né dell’ipotesi newtoniana stessa. La teoria cinetica classica predice una viscosità di volume nulla per gas ideali monoatomici sotto ipotesi idealizzate; per molti gas e liquidi reali, l’ipotesi di Stokes è solo approssimata.

Il vincolo termodinamico derivante dalla disuguaglianza di Clausius-Duhem richiede soltanto $\mu \geq 0$ e $3\lambda + 2\mu \geq 0$ (equivalentemente, $\kappa \geq 0$).

Ora mettiamo insieme i pezzi. Abbiamo:

• Massa per accelerazione a sinistra (la derivata materiale della velocità)
• Pressione, attrito viscoso e gravità a destra
• La legge del fluido newtoniano che collega l’attrito al tasso di deformazione

Sostituendo e semplificando si ottiene l’equazione della quantità di moto di Navier-Stokes comprimibile:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u\Big) = -\nabla p + \mu\, \Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho\, f$$

Ogni termine ha un significato fisico:

• $\rho\,\partial_t u$: come la velocità in un punto fissato cambia nel tempo
• $\rho(u \cdot \nabla) u$: il fluido che trasporta la propria velocità da un luogo all’altro (avvezione)
• $-\nabla p$: la pressione che spinge dalle zone ad alta pressione a quelle a bassa pressione
• $\mu\,\Delta u$: la viscosità che smussa le differenze di velocità
• $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$: un termine viscoso aggiuntivo che conta solo quando il fluido si comprime o si espande
• $\rho f$: forze esterne come la gravità

Questa è l’equazione completa della quantità di moto. Affiancala alla conservazione della massa e a un’equazione di stato (che collega pressione e densità), e ottieni il sistema di Navier-Stokes comprimibile.

Sostituendo la legge costitutiva newtoniana $\tau = 2\mu D(u) + \lambda(\nabla \cdot u)I$ nell’equazione della quantità di moto $\rho \frac{Du}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho f$ e calcolando la divergenza di $\tau$:

$$\nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \big[\mu(\nabla u + \nabla u^T)\big] + \nabla\big[\lambda(\nabla \cdot u)\big].$$

Se $\mu$ e $\lambda$ sono costanti (un’ipotesi standard in molte derivazioni), questo si semplifica in

$$\nabla \cdot \tau = \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u),$$

usando l’identità vettoriale $\nabla \cdot (\nabla u^T) = \nabla(\nabla \cdot u)$. L’equazione della quantità di moto di Navier-Stokes comprimibile è quindi

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + (\mu + \lambda)\,\nabla(\nabla \cdot u) + \rho f.$$

Questa deve essere accoppiata con la conservazione della massa (l’equazione di continuità)

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$$

e con un’equazione di stato $p = p(\rho, \theta)$ (o un’equazione dell’energia) per chiudere il sistema. Con l’ipotesi di Stokes $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$, il coefficiente $\mu + \lambda = \frac{1}{3}\mu$. Per un confronto dettagliato con il sistema incomprimibile, vedi Navier-Stokes incomprimibile vs. comprimibile.

Acqua in un tubo. Correnti d’aria lente. Circolazione oceanica. Questi flussi coinvolgono fluidi la cui densità resta essenzialmente costante. Introdurre questa semplificazione trasforma le equazioni generali in qualcosa di molto più pulito.

Densità costante significa che $\rho$ non cambia, da nessuna parte, mai. La conservazione della massa allora impone $\nabla \cdot u = 0$: il fluido non può comprimersi né espandersi. Questo è il vincolo di incomprimibilità.

Questa semplificazione elimina completamente un termine. Il termine viscoso aggiuntivo $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ si annulla identicamente. Il secondo coefficiente di viscosità $\lambda$ scompare dall’equazione. Semplicemente non conta quando il fluido non può comprimersi. L’equazione della quantità di moto diventa:

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u\Big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f$$

Dividendo entrambi i membri per $\rho$, scrivendo $\nu = \mu / \rho$ (la viscosità cinematica), e ridefinendo la pressione per assorbire il fattore $1/\rho$, si ottiene la forma standard:

$$\frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Questo è il sistema studiato nel Problema del Millennio del Clay. È la versione che incontrerai in tutto questo sito e nella maggior parte delle trattazioni matematiche di Navier-Stokes. Per un confronto approfondito con il sistema comprimibile, vedi Navier-Stokes incomprimibile vs. comprimibile.

Ponendo $\nu = 0$ (nessuna viscosità) si ottengono le equazioni di Euler, un sistema correlato ma significativamente diverso.

Una specializzazione incomprimibile comune assume densità costante $\rho$ in tutto il flusso. L’equazione di continuità $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u) = 0$ allora impone $\nabla \cdot u = 0$. Più in generale, l’incomprimibilità è codificata da $\nabla \cdot u = 0$ (equivalentemente $D\rho/Dt = 0$ tramite la continuità), il che consente in linea di principio una densità variabile, ma il caso a densità costante è l’impostazione standard per il problema del Clay.

Sotto l’ipotesi di incomprimibilità, il termine $(\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u)$ si annulla identicamente. Il secondo coefficiente di viscosità $\lambda$ diventa irrilevante: né l’ipotesi di Stokes né qualunque altra assunzione su $\lambda$ conta per il sistema incomprimibile. L’equazione della quantità di moto si riduce a

$$\rho\big(\partial_t u + (u \cdot \nabla)u\big) = -\nabla p + \mu\,\Delta u + \rho f.$$

Dividendo per $\rho$ e definendo la viscosità cinematica $\nu = \mu/\rho$ (con $p$ ridefinita per assorbire il fattore $1/\rho$) si ottiene il sistema di Navier-Stokes incomprimibile su $\mathbb{R}^3$:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0) = u_0(x).$$

Questo è il sistema studiato nel Problema del Millennio del Clay (Fefferman, 2000). Il problema ufficiale riguarda la regolarità globale per dati iniziali lisci a divergenza nulla su $\mathbb{R}^3$ (o $\mathbb{T}^3$) nella formulazione standard di Clay (Fefferman, 2000).

La pressione $p$ non è una variabile dinamica indipendente: è determinata (a meno di una costante) prendendo la divergenza dell'equazione della quantità di moto e usando $\nabla \cdot u = 0$, ottenendo un'equazione di Poisson $\Delta p = -\nabla \cdot [(u \cdot \nabla)u] + \nabla \cdot f$ (o $\Delta p = -\partial_i \partial_j(u_i u_j)$ quando $f$ è a divergenza nulla o assente). Questo accoppiamento ellittico è una caratteristica distintiva del sistema incomprimibile.

Ponendo $\nu = 0$ si recuperano le equazioni di Euler. La relazione tra questi due sistemi è centrale in molte questioni aperte della fluidodinamica matematica.

La derivazione ci fornisce le equazioni di Navier-Stokes. Ci dice che cosa sono e perché assumono la forma che hanno. Ogni termine risale a un principio fisico o a un'ipotesi esplicita.

Ma derivare le equazioni non è la stessa cosa che comprendere le loro soluzioni. La derivazione non risponde a:

• Le soluzioni esistono sempre per ogni tempo?
• Se partono lisce, restano lisce?
• La velocità può esplodere all'infinito in tempo finito?

Queste sono domande sul comportamento matematico delle equazioni, non sulla loro origine fisica. In tre dimensioni, sono ancora aperte. Questo divario è il Problema del Millennio di Clay: se dati lisci 3D incomprimibili per Navier-Stokes producano sempre soluzioni lisce globali, oppure se possano formarsi singolarità in tempo finito.

Le equazioni risalgono al XIX secolo e il Clay Mathematics Institute offre dal 2000 un premio di 1 milione di dollari per una soluzione del moderno problema della regolarità.

La derivazione stabilisce le equazioni di Navier-Stokes come un sistema di PDE ben motivato, fondato sulla conservazione della quantità di moto e sulla legge costitutiva newtoniana. Essa non affronta la questione centrale della buona posizione matematica.

In particolare, la derivazione non dice nulla su:

• Esistenza globale: Se soluzioni lisce persistano per ogni $t > 0$ dati dati iniziali lisci.
• Regolarità: Se le soluzioni rimangano in $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ o possano sviluppare singolarità.
• Unicità: Se le soluzioni in vari contesti di spazi funzionali siano uniche.

La teoria di Leray (1934) garantisce l'esistenza globale di soluzioni deboli in $L^2$, ma l'unicità e la regolarità delle soluzioni di Leray-Hopf restano non dimostrate in 3D. Il divario tra le stime di energia disponibili e lo scaling della non linearità è il cuore analitico della difficoltà.

Il Problema del Millennio di Clay chiede precisamente una dimostrazione o una confutazione della regolarità globale in $\mathbb{R}^3$. La derivazione motiva il sistema di PDE, ma non risolve esistenza, regolarità o unicità in 3D.

Ora che hai visto da dove vengono le equazioni:

• Che cosa sono le equazioni di Navier-Stokes? per le equazioni in sé, con spiegazione termine per termine
• Navier-Stokes incomprimibili vs. comprimibili per che cosa cambia quando la densità varia, e perché il caso incomprimibile è speciale
• Euler vs. Navier-Stokes per che cosa accade quando si elimina completamente la viscosità
• Il Problema del Millennio per la questione aperta che rende famose queste equazioni

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• Che cosa sono le equazioni di Navier-Stokes? per le forme standard con discussione dettagliata di ciascun termine
• Navier-Stokes incomprimibili vs. comprimibili per il sistema comprimibile completo, le chiusure barotropiche e il limite di basso numero di Mach
• Euler vs. Navier-Stokes per il limite inviscido, il ruolo di $\nu$ e il problema della viscosità evanescente
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