Soluzioni esatte delle equazioni di Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes sono notoriamente non lineari. Allora come può qualcuno risolverle esattamente?

Simmetria. Questo è tutto il trucco.

Quando la geometria di un flusso è abbastanza semplice (un tubo rettilineo, due piastre piane, un piano infinito), la velocità può puntare solo in una direzione e variare lungo una o due coordinate. In molte di queste configurazioni simmetriche, il termine non lineare o si annulla o si semplifica così tanto che le equazioni collassano in una PDE lineare. Nei casi stazionari, spesso resta un'ODE che si può risolvere con carta e penna.

Ecco l'intuizione. Le equazioni di Navier-Stokes descrivono tutti i possibili moti di un fluido. Ma se si costringe il fluido in una situazione molto ordinata, senza vortici, senza caos, con tutto che procede in una sola direzione, gran parte della complessità dell'equazione diventa irrilevante. La parte difficile di Navier-Stokes è il circuito di retroazione in cui il fluido spinge se stesso. In questi flussi simmetrici non c'è nulla contro cui spingere. Il termine non lineare di auto-avvezione semplicemente scompare.

Queste soluzioni esatte non sono curiosità. Sono il fondamento dell'insegnamento della meccanica dei fluidi, i benchmark per i codici numerici e il punto di partenza per capire quando e come i flussi reali prendono una piega inattesa.

Una soluzione esatta delle equazioni di Navier-Stokes è un campo di velocità $u$ e una pressione $p$ che soddisfano

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0$$

in forma chiusa, senza approssimazione numerica.

Il meccanismo chiave è l'annullamento o la semplificazione del termine non lineare di avvezione $(u \cdot \nabla)u$. Per flussi paralleli (flussi in cui $u = (u(y,t),\, 0,\, 0)$ in coordinate cartesiane oppure $u = (0,\, 0,\, u(r,t))$ in coordinate cilindriche) il campo di velocità è automaticamente a divergenza nulla e il termine di avvezione si annulla identicamente, perché la velocità non ha componente nella direzione del flusso né variazione lungo di essa. L'equazione della quantità di moto si riduce allora a una PDE lineare, oppure, per flussi stazionari, a un'ODE.

Quando il flusso è anche stazionario ($\partial_t u = 0$), ciò che resta è

$$\nu \Delta u = \nabla p,$$

un'equazione di Poisson le cui soluzioni sono le soluzioni esatte classiche del flusso viscoso: flusso di Poiseuille, flusso di Couette e loro varianti.

Per flussi paralleli non stazionari ($\partial_t u \neq 0$ ma l'avvezione si annulla comunque), l'equazione diventa un'equazione di diffusione $\partial_t u = \nu\, \partial_{yy} u$, che dà luogo al primo e al secondo problema di Stokes.

Flusso di Poiseuille (chiamato anche flusso di Hagen-Poiseuille) è la soluzione esatta più importante delle equazioni di Navier-Stokes, ed è quella che la maggior parte degli ingegneri incontra per prima.

Immagina l'acqua che scorre in modo stazionario attraverso un tubo lungo e rettilineo. Una differenza di pressione costante tra le due estremità guida il flusso. Le pareti del tubo non si muovono, quindi il fluido a contatto con la parete resta a velocità nulla (questa è la condizione di no-slip). Più lontano dalle pareti, il fluido accelera. Il centro si muove più velocemente.

Il profilo di velocità? Una parabola. Zero alla parete. Massimo al centro. Una curva liscia nel mezzo. Apri idealmente il tubo e guarda la sezione trasversale: è una ciotola rovesciata.

Il fatto quantitativo chiave è questo: la portata totale scala con la quarta potenza del raggio del tubo. Quarta potenza. Raddoppiando il raggio non si ottiene il doppio della portata, e nemmeno il quadruplo. Si ottiene sedici volte la portata. Questa è la legge di Hagen-Poiseuille, e spiega perché anche un minuscolo restringimento di un'arteria può soffocare l'apporto di sangue.

Ipotesi: Il flusso di Poiseuille assume che il fluido sia incomprimibile e newtoniano (viscosità costante), che il flusso sia stazionario e completamente sviluppato (non ancora in accelerazione dall'ingresso), e che il flusso sia laminare. Liscio. Ordinato. In pratica, il flusso in tubo transisce alla turbolenza a un numero di Reynolds di circa 2.300, che è un'osservazione empirica che nessuno è riuscito a derivare dalla teoria sottostante.

Consideriamo un flusso stazionario, completamente sviluppato e assialmente simmetrico in un tubo circolare di raggio $R$, guidato da un gradiente di pressione uniforme $dp/dx < 0$ in the axial direction $x$. In cylindrical coordinates $(r, \theta, x)$ the velocity field has the form $u = (0,\, 0,\, u(r))$.

La condizione di incomprimibilità $\nabla \cdot u = 0$ è soddisfatta automaticamente. Il termine di avvezione si annulla perché $u$ non dipende da $x$. L'equazione della quantità di moto assiale si riduce a

$$0 = -\frac{dp}{dx} + \mu\left(\frac{d^2 u}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{du}{dr}\right),$$

oppure equivalentemente

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}.$$

Poiché $dp/dx$ è costante, questa è un'ODE in $r$. Integrando due volte con le condizioni al contorno $u(R) = 0$ (no-slip) e $du/dr|_{r=0} = 0$ (simmetria) si ottiene il profilo di velocità parabolico:

$$u(r) = \frac{1}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)(R^2 - r^2).$$

La velocità massima sull'asse centrale è $u_{\max} = \frac{R^2}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)$, e la velocità media è $\bar{u} = u_{\max}/2$.

Integrando sulla sezione trasversale si ottiene la legge di Hagen-Poiseuille per la portata volumetrica:

$$Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8 \mu L},$$

dove $\Delta p > 0$ è la caduta di pressione lungo la lunghezza del tubo $L$.

La dipendenza da $R^4$ è la caratteristica distintiva: piccole variazioni del raggio producono grandi variazioni della portata. In emodinamica, questo è il motivo per cui il flusso sanguigno è così sensibile alla stenosi arteriosa.

Validità: Questa soluzione si applica a flussi incomprimibili, newtoniani, stazionari, completamente sviluppati e laminari. La transizione alla turbolenza avviene sperimentalmente a $\text{Re} = \bar{u} D / \nu \approx 2{,}300$, dove $D = 2R$ è il diametro del tubo. Questa soglia è un'osservazione empirica; non esiste alcun teorema che la predica a partire dalle equazioni di Navier-Stokes. Per una discussione del numero di Reynolds e della transizione laminare-turbolenta, vedi Numero di Reynolds, turbolenza e perché le piccole scale contano.

Flusso di Couette è la soluzione esatta per un fluido intrappolato tra due piastre parallele quando una piastra si muove e l'altra resta ferma. È una delle soluzioni esatte più semplici della meccanica dei fluidi.

Immagina un mazzo di carte appoggiato piatto su un tavolo. Trascina di lato la carta superiore e anche le carte sotto si spostano, ciascuna un po' meno di quella sopra. Tutto qui. La velocità varia linearmente da zero alla piastra inferiore fino alla velocità della piastra superiore, e non c'è altro.

Un profilo di velocità rettilineo. Piastra inferiore: ferma. Piastra superiore: in movimento. Tutto ciò che sta in mezzo interpola semplicemente in modo lineare, senza bisogno di gradiente di pressione, senza configurazioni complicate, con il moto guidato puramente dal bordo mobile che trascina il fluido.

Le cose diventano più interessanti quando si applica anche un gradiente di pressione lungo il canale, perché allora si combinano, nello stesso interstizio, un flusso guidato dal taglio e uno guidato dalla pressione. Il profilo di velocità si deforma in una parabola sovrapposta al profilo lineare, talvolta chiamata flusso piano di Poiseuille-Couette, e a seconda dell'intensità del gradiente di pressione rispetto alla velocità della piastra, si può persino avere riflusso vicino a una parete.

Elimina del tutto la piastra mobile, mantieni entrambe le pareti ferme e lascia che sia una differenza di pressione a fare tutto il lavoro. Questo è il flusso piano di Poiseuille, l'analogo a piastre piane del flusso in tubo. Parabolico. Più veloce al centro. Zero su entrambe le pareti.

Consideriamo un flusso stazionario tra due piastre parallele infinite separate da un'intercapedine $h$. Sia $y$ la coordinata perpendicolare alle piastre, con la piastra inferiore in $y = 0$ e la piastra superiore in $y = h$. Il flusso è parallelo: $u = (u(y),\, 0,\, 0)$.

Flusso di Couette semplice. La piastra superiore si muove con velocità $U$ nella direzione $x$; la piastra inferiore è stazionaria; $dp/dx = 0$. L'equazione della quantità di moto si riduce a $d^2u/dy^2 = 0$, da cui

$$u(y) = U\frac{y}{h}.$$

Questa è la più semplice soluzione esatta non banale delle equazioni di Navier-Stokes: un profilo di velocità lineare guidato interamente dalla condizione al contorno.

Flusso piano di Poiseuille. Entrambe le piastre sono stazionarie; un gradiente di pressione costante $dp/dx < 0$ drives the flow. The momentum equation becomes

$$\mu \frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{dp}{dx},$$

con $u(0) = u(h) = 0$. La soluzione è

$$u(y) = \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)y(h - y),$$

un profilo parabolico simmetrico rispetto all'asse centrale $y = h/2$.

Flusso generale di Couette-Poiseuille. Combinando una piastra superiore mobile con un gradiente di pressione si ottiene la sovrapposizione

$$u(y) = U\frac{y}{h} + \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)y(h - y).$$

Il primo termine è il contributo guidato dal taglio; il secondo è il contributo guidato dalla pressione. A seconda del segno e della grandezza di $dp/dx$ rispetto a $\mu U / h^2$, il profilo può essere monotono, avere un massimo interno o persino mostrare riflusso vicino a una parete.

I flussi di Poiseuille e di Couette sono stazionari. Nulla cambia nel tempo. I problemi di Stokes sono le più semplici soluzioni esatte non stazionarie, e rivelano qualcosa di elegante: la viscosità fa diffondere la quantità di moto attraverso un fluido, proprio come il calore si diffonde attraverso un solido.

Il primo problema di Stokes (detto anche problema di Rayleigh): immagina una vasta massa di fluido immobile appoggiata sopra una lastra piana. All’istante zero, la lastra comincia improvvisamente a scorrere lateralmente a velocità costante. Il fluido immediatamente a contatto con la lastra viene trascinato subito, ma il fluido più lontano impiega tempo ad accorgersene. Uno strato limite liscio si propaga verso l’esterno a partire dalla lastra, diventando più spesso col passare del tempo.

La velocità a una qualunque altezza sopra la lastra dipende dal rapporto tra tale altezza e una lunghezza di diffusione caratteristica $\sqrt{\nu t}$, dove $\nu$ è la viscosità e $t$ è il tempo trascorso. Fluido più viscoso? Il moto si propaga verso l’alto più rapidamente.

Il secondo problema di Stokes: stessa configurazione, ma ora la lastra oscilla avanti e indietro sinusoidalmente invece di muoversi a velocità costante. L’oscillazione penetra nel fluido solo per una distanza finita. Più in alto, il fluido se ne accorge appena. L’ampiezza del moto decade esponenzialmente con l’altezza, creando un sottile strato limite oscillatorio. Questo è il meccanismo alla base degli strati limite oscillatori: una lastra oscillante mette in moto il fluido vicino, ma la perturbazione si estingue esponenzialmente con la distanza dalla lastra.

Entrambi i problemi di Stokes coinvolgono un fluido semi-infinito ($y > 0$) sopra una lastra piana in $y = 0$. Il flusso è parallelo: $u = (u(y,t),\, 0,\, 0)$. Il termine di avvezione si annulla, e l’equazione governante è l’equazione di diffusione unidimensionale:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.$$

Primo problema di Stokes (problema di Rayleigh). Condizione iniziale: $u(y,0) = 0$ per $y > 0$. Condizione al contorno: $u(0,t) = U$ per $t > 0$. Condizione al campo lontano: $u \to 0$ per $y \to \infty$.

La variabile di similarità $\eta = y / (2\sqrt{\nu t})$ riduce la PDE a un’ODE. La soluzione è

$$u(y,t) = U\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{y}{2\sqrt{\nu t}}\right),$$

dove $\operatorname{erfc}$ è la funzione errore complementare. Lo spessore dello strato limite cresce come $\delta \sim \sqrt{\nu t}$, il segno distintivo della propagazione diffusiva.

Secondo problema di Stokes. La lastra oscilla: $u(0,t) = U\cos(\omega t)$. Cercando una soluzione della forma $u(y,t) = \operatorname{Re}[\hat{u}(y)\, e^{i\omega t}]$ si ottiene

$$\hat{u}(y) = U\exp\!\left(-(1+i)\frac{y}{\delta_s}\right), \qquad \delta_s = \sqrt{\frac{2\nu}{\omega}},$$

così che

$$u(y,t) = U\exp\!\left(-\frac{y}{\delta_s}\right)\cos\!\left(\omega t - \frac{y}{\delta_s}\right).$$

L’ampiezza decade esponenzialmente con la profondità di penetrazione $\delta_s$, e la fase ritarda linearmente: un’onda trasversale la cui energia è interamente dissipata dalla viscosità. Frequenze più alte penetrano meno in profondità.

I flussi di Poiseuille, Couette e Stokes ricevono la maggior parte dell’attenzione. Ma non sono affatto le uniche soluzioni esatte. Neanche lontanamente.

• Vortice di Taylor-Green: uno schema decadente di vortici rotanti in due dimensioni con autentica struttura vorticale. Hai testato un codice CFD? Probabilmente lo hai confrontato con questo. È il benchmark a cui tutti ricorrono per primo, ed è così da decenni.
• Flusso di Jeffery-Hamel: flusso in un canale a forma di cuneo che converge o diverge. Descrive come il fluido acceleri entrando in una fessura che si restringe o deceleri entrando in una che si allarga.
• Flusso di punto di ristagno di Hiemenz: fluido che urta frontalmente una parete piana, rallentando fino a velocità nulla alla superficie e deviando lateralmente. Vento che colpisce un edificio. Un getto che impatta una lastra.

Simmetria. Ognuna di queste soluzioni sfrutta una specifica simmetria geometrica per rendere trattabili le equazioni, e sono importanti in contesti specializzati, ma per la fluidodinamica introduttiva di tutti i giorni Poiseuille e Couette continuano a fare la parte più pesante.

Oltre ai flussi paralleli, diverse altre famiglie di soluzioni esatte sfruttano simmetrie specifiche o strutture autosimili:

• Vortice di Taylor-Green. In 2D, $u = (A\cos(ax)\sin(by),\, -B\sin(ax)\cos(by))$ con $aA = bB$ (incomprimibilità) e decadimento temporale esponenziale $e^{-\nu(a^2+b^2)t}$. Questa è una soluzione esatta delle equazioni di Navier-Stokes 2D complete, incluso il termine non lineare (che risulta essere un gradiente e viene assorbito nella pressione). È un caso standard di validazione per codici DNS.
• Flusso di Jeffery-Hamel. Flusso stazionario puramente radiale $u_r(r,\theta)$ in un cuneo di semiangolo $\alpha$. La funzione di corrente $\psi = \nu f(\theta)$ soddisfa un’ODE non lineare del terzo ordine in $\theta$. Esistono soluzioni sia per canali convergenti sia divergenti, con una ricca struttura di biforcazione a numeri di Reynolds più elevati.
• Flusso di punto di ristagno di Hiemenz. Una soluzione di similarità 2D per un flusso che incide su una parete piana. La funzione di corrente $\psi = \sqrt{a\nu}\, x\, f(\eta)$, $\eta = y\sqrt{a/\nu}$, riduce Navier-Stokes all’ODE di Hiemenz: $f''' + ff'' - f'^2 + 1 = 0$ con $f(0)=f'(0)=0$, $f'(\infty)=1$.

Possiamo risolvere esattamente le equazioni di Navier-Stokes in tutti questi casi. Allora perché esiste ancora un problema aperto da un milione di dollari?

Trucchi. Ognuna si basa su un trucco. La geometria è scelta con tanta cura che la parte più difficile dell’equazione (il termine non lineare) o scompare del tutto o si riduce a qualcosa di gestibile, e il problema diventa risolvibile proprio perché è stato svuotato di tutto ciò che rende difficili le Navier-Stokes. Flusso in tubo? Unidimensionale. Couette? Una retta. Il vortice di Taylor-Green nasconde la sua non linearità dentro la pressione.

Il problema del Premio del Millennio riguarda i flussi generali tridimensionali. Niente trucchi di simmetria. Nessuna geometria semplificante. Dati iniziali lisci a divergenza nulla, interazione non lineare completa su tutte le scale. In questo contesto, nessuno ha dimostrato che le soluzioni restino sempre lisce, e nessuno ha dimostrato che esplodano. Davvero non lo sappiamo.

Quindi queste soluzioni esatte ci dicono qualcosa, ma neanche lontanamente abbastanza. Dimostrano che le equazioni possono produrre soluzioni lisce esplicite quando si fornisce loro una forte simmetria su cui appoggiarsi. La domanda da un milione di dollari è se la regolarità valga sempre, per dati iniziali lisci arbitrari a divergenza nulla nelle formulazioni 3D standard, oppure se da qualche parte, nella piena violenza della turbolenza, qualcosa vada catastroficamente e irreversibilmente storto.

Ogni soluzione esatta discussa sopra ottiene la trattabilità eliminando o banalizzando il termine di avvezione non lineare $(u \cdot \nabla)u$. Nei flussi paralleli esso si annulla identicamente. Nel vortice di Taylor-Green è un gradiente assorbito nella pressione. Nelle soluzioni di similarità si riduce, tramite un cambio di variabili, a un problema di dimensione inferiore.

Il problema del Premio del Millennio del Clay riguarda il problema di Cauchy per le equazioni di Navier-Stokes incomprimibili 3D con dati iniziali lisci arbitrari e rapidamente decrescenti, precisamente il regime in cui nessuna di queste semplificazioni si applica.

La domanda è se le soluzioni di

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \quad \nabla \cdot u = 0, \quad u(x,0)=u_0(x)$$

su $\mathbb{R}^3$ rimangano in $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ per ogni tempo, dati iniziali lisci, a divergenza nulla e rapidamente decrescenti. Le soluzioni esatte non affrontano questo punto perché abitano sottospazi dello spazio delle soluzioni in cui la dinamica non lineare completa non entra mai in gioco.

In breve: le soluzioni esatte forniscono soluzioni lisce esplicite in regimi altamente simmetrici. Il problema aperto è se la buona positura si estenda ai flussi 3D non ristretti. Per la formulazione precisa, vedi Esistenza e regolarità per Navier-Stokes.

Per comprendere le equazioni stesse e il significato di ciascun termine, inizia da Che cosa sono le equazioni di Navier-Stokes?

Per vedere come queste equazioni si costruiscono a partire dai primi principi, leggi Come si derivano le equazioni di Navier-Stokes.

Per capire quando flussi laminari come Poiseuille e Couette degenerano in turbolenza, leggi Numero di Reynolds, turbolenza e perché le piccole scale contano.

Per capire la domanda da un milione di dollari a cui le soluzioni esatte non possono rispondere, leggi Il problema del Premio del Millennio: esistenza e regolarità.

Prossime pagine consigliate su questo sito:

• Che cosa sono le equazioni di Navier-Stokes? (il sistema governante e i suoi termini)
• Come si derivano le equazioni di Navier-Stokes (dal bilancio della quantità di moto e dalla legge costitutiva newtoniana alla PDE)
• Numero di Reynolds, turbolenza e perché le piccole scale contano (la transizione dai regimi laminari descritti qui al flusso pienamente turbolento)
• Il problema del premio del millennio: esistenza e regolarità (la formulazione precisa del problema aperto che le soluzioni esatte non risolvono)