Soluciones exactas a las ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes son notoriamente no lineales. Entonces, ¿cómo puede alguien resolverlos exactamente?

Simetría. Ese es el truco.

Cuando la geometría de un flujo es lo suficientemente simple (una tubería recta, dos placas planas, un plano infinito), la velocidad solo puede apuntar en una dirección y variar a lo largo de una o dos coordenadas. En muchas de estas configuraciones simétricas, el término no lineal desaparece o se simplifica tanto que las ecuaciones colapsan en una EDP lineal. En casos estables, a menudo te queda una EDO que puedes resolver con lápiz y papel.

Aquí está la intuición. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen todos los posibles movimientos de fluidos. Pero si se fuerza al fluido a adoptar una situación muy ordenada, sin remolinos, sin caos y todo marchando en una dirección, la mayor parte de la complejidad de la ecuación se vuelve irrelevante. La parte difícil de Navier-Stokes es el circuito de retroalimentación donde el fluido se empuja a sí mismo. En estos flujos simétricos, no hay nada contra lo que oponerse. El término autoadvección no lineal simplemente desaparece.

Estas soluciones exactas no son curiosidades. Son la base de la educación en mecánica de fluidos, los puntos de referencia para los códigos numéricos y el punto de partida para comprender cuándo y cómo los flujos reales se desvían.

Una solución exacta a las ecuaciones de Navier-Stokes es un campo de velocidades $u$ y presión $p$ que satisfagan

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0$$

en forma cerrada, sin aproximación numérica.

El mecanismo clave es la desaparición o simplificación del término de advección no lineal $(u \cdot \nabla)u$. Para flujos paralelos (flujos donde $u = (u(y,t),\, 0,\, 0)$ en coordenadas cartesianas o $u = (0,\, 0,\, u(r,t))$ en coordenadas cilíndricas) el campo de velocidad está libre de divergencia automáticamente y el término de advección desaparece de manera idéntica, porque la velocidad no tiene componente ni variación a lo largo de la dirección de la corriente. La ecuación de momento luego se reduce a una EDP lineal, o para flujos estacionarios, a una EDO.

Cuando el flujo también es estable ($\partial_t u = 0$), lo que queda es

$$\nu \Delta u = \nabla p,$$

una ecuación de Poisson cuyas soluciones son las soluciones exactas clásicas del flujo viscoso: flujo de Poiseuille, flujo de Couette y sus relativos.

Para flujos paralelos inestables ($\partial_t u \neq 0$ pero la advección aún desaparece), la ecuación se convierte en una ecuación de difusión $\partial_t u = \nu\, \partial_{yy} u$, lo que produce el primer y segundo problema de Stokes.

El flujo de Poiseuille (también llamado flujo de Hagen-Poiseuille) es la solución exacta más importante de las ecuaciones de Navier-Stokes y es la que la mayoría de los ingenieros encuentran primero.

Imagínese agua fluyendo de manera constante a través de una tubería larga y recta. Una diferencia de presión constante entre los dos extremos impulsa el flujo. Las paredes de la tubería no se mueven, por lo que el fluido que toca la pared queda atrapado a velocidad cero (esa es la condición de no deslizamiento). Cuanto más lejos de las paredes, el fluido se acelera. El centro se mueve más rápido.

¿El perfil de velocidad? Una parábola. Cero en la pared. Máximo en el centro. Curva suave en el medio. Corte la tubería para abrirla y observe la sección transversal: es un cuenco al revés.

El hecho cuantitativo clave es este: el caudal total aumenta con la cuarta potencia del radio de la tubería. Cuarto poder. Duplique el radio y no obtendrá el doble de flujo, ni siquiera el cuádruple. Obtienes dieciséis veces el flujo. Esa es la ley de Hagen-Poiseuille y explica por qué incluso un pequeño estrechamiento de una arteria puede cortar el suministro de sangre.

Supuestos: el flujo de Poiseuille supone que el fluido es incompresible y newtoniano (viscosidad constante), que el flujo es constante y está completamente desarrollado (sin acelerar aún desde la entrada) y que el flujo es laminar. Liso. Ordenado. En la práctica, el flujo de la tubería pasa a turbulencia con un número de Reynolds de aproximadamente 2300, lo cual es una observación empírica que nadie ha logrado derivar de la teoría subyacente.

Considere un flujo estacionario, completamente desarrollado y axialmente simétrico en una tubería circular de radio $R$, impulsado por un gradiente de presión uniforme $dp/dx < 0$ en la dirección axial $x$. En coordenadas cilíndricas $(r, \theta, x)$ el campo de velocidad tiene la forma $u = (0,\, 0,\, u(r))$.

La condición de incompresibilidad $\nabla \cdot u = 0$ se satisface automáticamente. El término de advección desaparece porque $u$ no depende de $x$. La ecuación del momento axial se reduce a

$$0 = -\frac{dp}{dx} + \mu\left(\frac{d^2 u}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{du}{dr}\right),$$

o equivalente

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}.$$

Dado que $dp/dx$ es constante, esta es una EDO en $r$. Integrando dos veces con las condiciones de contorno $u(R) = 0$ (sin deslizamiento) y $du/dr|_{r=0} = 0$ (simetría) se obtiene el perfil de velocidad parabólica:

$$u(r) = \frac{1}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)(R^2 - r^2).$$

La velocidad máxima en la línea central es $u_{\max} = \frac{R^2}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)$, y la velocidad media es $\bar{u} = u_{\max}/2$.

La integración sobre la sección transversal produce la ley de Hagen-Poiseuille para el caudal volumétrico:

$$Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8 \mu L},$$

donde $\Delta p > 0$ es la caída de presión sobre la longitud de la tubería $L$.

La dependencia $R^4$ es la característica definitoria: pequeños cambios en el radio producen grandes cambios en el caudal. En hemodinámica, esta es la razón por la que el flujo sanguíneo es tan sensible a la estenosis arterial.

Validez: Esta solución se aplica al flujo laminar incompresible, newtoniano, estable y completamente desarrollado. La transición a turbulencia ocurre experimentalmente en $\text{Re} = \bar{u} D / \nu \approx 2{,}300$, donde $D = 2R$ es el diámetro de la tubería. Este umbral es una observación empírica; no hay ningún teorema que lo prediga a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes. Para una discusión sobre el número de Reynolds y la transición laminar-turbulenta, consulte Número de Reynolds, turbulencia y por qué son importantes las pequeñas escalas.

El flujo de Couette es la solución exacta para el fluido atrapado entre dos placas paralelas cuando una placa se mueve y la otra permanece quieta. Es una de las soluciones exactas más simples en mecánica de fluidos.

Imagínese una baraja de cartas sobre una mesa. Arrastra la carta superior hacia los lados y las cartas de abajo también se desplazan, cada una un poco más pequeña que la de arriba. Eso es todo. La velocidad varía linealmente desde cero en la placa inferior hasta la velocidad de la placa superior, y no hay nada más que eso.

Un perfil de velocidad en línea recta. Placa inferior: estacionaria. Placa superior: en movimiento. Todo lo que hay en el medio simplemente se interpola linealmente, no se necesita un gradiente de presión, no hay una configuración complicada, el movimiento es impulsado exclusivamente por el límite en movimiento que arrastra el fluido.

Las cosas se vuelven más interesantes cuando también se aplica un gradiente de presión a lo largo del canal, porque entonces se combinan el flujo impulsado por cizalla y por presión en el mismo espacio. El perfil de velocidad se deforma en una parábola superpuesta al perfil lineal, a veces llamado flujo plano de Poiseuille-Couette y, dependiendo de la fuerza del gradiente de presión en relación con la velocidad de la placa, incluso se puede obtener un reflujo cerca de una pared.

Quite la placa móvil por completo, mantenga ambas paredes estacionarias y deje que una diferencia de presión haga todo el trabajo. Ése es el flujo plano de Poiseuille, el análogo de placa plana del flujo de tuberías. Parabólico. El más rápido en el medio. Cero en ambas paredes.

Considere un flujo constante entre dos placas paralelas infinitas separadas por un espacio $h$. Sea $y$ la coordenada perpendicular a las placas, con la placa inferior en $y = 0$ y la placa superior en $y = h$. El flujo es paralelo: $u = (u(y),\, 0,\, 0)$.

Flujo de Couette simple. La placa superior se mueve a la velocidad $U$ en la dirección $x$; la placa inferior es estacionaria; $dp/dx = 0$. La ecuación del momento se reduce a $d^2u/dy^2 = 0$, lo que produce

$$u(y) = U\frac{y}{h}.$$

Esta es la solución exacta no trivial más simple de las ecuaciones de Navier-Stokes: un perfil de velocidad lineal impulsado completamente por la condición de frontera.

Flujo plano de Poiseuille. Ambas placas son estacionarias; un gradiente de presión constante $dp/dx < 0$ impulsa el flujo. La ecuación de impulso se convierte en

$$\mu \frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{dp}{dx},$$

con $u(0) = u(h) = 0$. La solución es

$$u(y) = \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)y(h - y),$$

un perfil parabólico simétrico con respecto a la línea central $y = h/2$.

Flujo general de Couette-Poiseuille. La combinación de una placa superior móvil con un gradiente de presión da el superposición

$$u(y) = U\frac{y}{h} + \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)y(h - y).$$

El primer término es la contribución impulsada por el corte; el segundo es la contribución impulsada por la presión. Dependiendo del signo y la magnitud de $dp/dx$ en relación con $\mu U / h^2$, el perfil puede ser monótono, tener un máximo interior o incluso exhibir reflujo cerca de una pared.

Los flujos de Poiseuille y Couette son constantes. Nada cambia con el tiempo. Los problemas de Stokes son las soluciones exactas inestables más simples y revelan algo hermoso: la viscosidad hace que el impulso se difunda a través de un fluido, del mismo modo que el calor se difunde a través de un sólido.

El primer problema de Stokes (también llamado problema de Rayleigh): imagina un gran charco de fluido en reposo sobre una placa plana. En el momento cero, la placa comienza repentinamente a deslizarse hacia los lados a velocidad constante. El líquido que está justo al lado de la placa es arrastrado inmediatamente, pero el líquido que está más lejos tarda en darse cuenta. Una capa límite suave crece hacia afuera de la placa y se vuelve más gruesa a medida que pasa el tiempo.

La velocidad a cualquier altura sobre la placa depende de la relación entre esa altura y una longitud de difusión característica $\sqrt{\nu t}$, donde $\nu$ es la viscosidad y $t$ es el tiempo transcurrido. ¿Fluido más viscoso? El movimiento se propaga hacia arriba más rápido.

Segundo problema de Stokes: la misma configuración, pero ahora la placa oscila hacia adelante y hacia atrás de forma sinusoidal en lugar de moverse a velocidad constante. La oscilación sólo penetra una distancia finita en el fluido. Más arriba, el líquido apenas se nota. La amplitud del movimiento decae exponencialmente con la altura, creando una delgada capa límite oscilatoria. Este es el mecanismo detrás de las capas límite oscilatorias: una placa oscilante pone en movimiento el fluido cercano, pero la perturbación desaparece exponencialmente con la distancia a la placa.

Ambos problemas de Stokes involucran un fluido semiinfinito ($y > 0$) sobre una placa plana en $y = 0$. El flujo es paralelo: $u = (u(y,t),\, 0,\, 0)$. El término de advección desaparece y la ecuación gobernante es la ecuación de difusión unidimensional:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.$$

Primer problema de Stokes (problema de Rayleigh). Condición inicial: $u(y,0) = 0$ para $y > 0$. Condición de frontera: $u(0,t) = U$ para $t > 0$. Campo lejano: $u \to 0$ como $y \to \infty$.

La variable de similitud $\eta = y / (2\sqrt{\nu t})$ reduce la EDP a una EDO. La solución es

$$u(y,t) = U\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{y}{2\sqrt{\nu t}}\right),$$

donde $\operatorname{erfc}$ es la función de error complementaria. El espesor de la capa límite crece como $\delta \sim \sqrt{\nu t}$, el sello distintivo de la dispersión difusiva.

Segundo problema de Stokes. La placa oscila: $u(0,t) = U\cos(\omega t)$. Buscando una solución de la forma $u(y,t) = \operatorname{Re}[\hat{u}(y)\, e^{i\omega t}]$ da

$$\hat{u}(y) = U\exp\!\left(-(1+i)\frac{y}{\delta_s}\right), \qquad \delta_s = \sqrt{\frac{2\nu}{\omega}},$$

de modo que

$$u(y,t) = U\exp\!\left(-\frac{y}{\delta_s}\right)\cos\!\left(\omega t - \frac{y}{\delta_s}\right).$$

La amplitud decae exponencialmente con la profundidad de penetración $\delta_s$, y la fase se retrasa linealmente: una onda transversal cuya energía se disipa completamente por la viscosidad. Las frecuencias más altas penetran menos profundamente.

Los flujos de Poiseuille, Couette y Stokes reciben la mayor parte de la atención. Sin embargo, no son las únicas soluciones exactas. Ni mucho menos.

• Vórtice Taylor-Green: un patrón en descomposición de vórtices arremolinados en dos dimensiones con una estructura de vórtice genuina. ¿Probó un código CFD? Probablemente lo hayas comparado con esto. Es el punto de referencia que todo el mundo alcanza primero, y ha sido así durante décadas.
• Flujo Jeffery-Hamel: flujo en un canal en forma de cuña que converge o diverge. Capta cómo el fluido se acelera hacia una brecha que se estrecha o se desacelera hacia una brecha que se expande.
• Flujo en el punto de estancamiento de Hiemenz: el fluido choca de frente contra una pared plana, se desacelera hasta cero en la superficie y se desvía hacia los lados. Viento golpeando un edificio. Un chorro choca contra una placa.

Simetría. Cada uno de ellos explota una simetría geométrica específica para hacer que las ecuaciones sean manejables, y son importantes en contextos especializados, pero para la introducción cotidiana a la mecánica de fluidos, Poiseuille y Couette todavía hacen todo el trabajo pesado.

Más allá de los flujos paralelos, varias otras familias de soluciones exactas explotan simetrías específicas o estructuras autosemejantes:

• Vórtice Taylor-Green. En 2D, $u = (A\cos(ax)\sin(by),\, -B\sin(ax)\cos(by))$ con $aA = bB$ (incompresibilidad) y decaimiento temporal exponencial $e^{-\nu(a^2+b^2)t}$. Esta es una solución exacta a las ecuaciones 2D completas de Navier-Stokes, incluido el término no lineal (que resulta ser un gradiente y es absorbido por la presión). Es un caso de validación estándar para códigos DNS.
• Flujo Jeffery-Hamel. Flujo constante y puramente radial $u_r(r,\theta)$ en una cuña de medio ángulo $\alpha$. La función de flujo $\psi = \nu f(\theta)$ satisface una EDO no lineal de tercer orden en $\theta$. Existen soluciones tanto para canales convergentes como divergentes, con una rica estructura de bifurcación en números de Reynolds más altos.
• Flujo en punto de estancamiento de Hiemenz. Una solución de similitud 2D para flujo que incide en una pared plana. La función de flujo $\psi = \sqrt{a\nu}\, x\, f(\eta)$, $\eta = y\sqrt{a/\nu}$, reduce Navier-Stokes a la EDO de Hiemenz: $f''' + ff'' - f'^2 + 1 = 0$ con $f(0)=f'(0)=0$, $f'(\infty)=1$.

Podemos resolver las ecuaciones de Navier-Stokes exactamente en todos estos casos. Entonces, ¿por qué sigue habiendo un problema abierto de un millón de dólares?

Trucos. Cada uno se basa en un truco. La geometría se elige con tanto cuidado que la parte más difícil de la ecuación (el término no lineal) desaparece por completo o se reduce a algo manejable, y el problema se vuelve solucionable precisamente porque se le ha eliminado todo lo que hace que Navier-Stokes sea difícil. ¿Flujo de tubería? Unidimensional. ¿Couette? Una línea. El vórtice Taylor-Green oculta su no linealidad dentro de la presión.

El problema del Premio del Milenio pregunta sobre flujos tridimensionales generales. Sin trucos de simetría. Sin simplificar la geometría. Datos iniciales suaves y sin divergencias, interacción no lineal completa en todas las escalas. En ese contexto, nadie ha demostrado que las soluciones siempre sean suaves y nadie ha demostrado que exploten. Realmente no lo sabemos.

Así que estas soluciones exactas nos dicen algo, pero no lo suficiente. Demuestran que las ecuaciones pueden producir soluciones explícitas y suaves cuando se les da una fuerte simetría en la que apoyarse. La pregunta del millón es si la suavidad se mantiene siempre, para datos iniciales arbitrarios, suaves y sin divergencias en las formulaciones 3D estándar, o si en algún lugar de la violencia total de la turbulencia algo sale catastrófica e irreversiblemente mal.

Cada solución exacta discutida anteriormente logra manejabilidad eliminando o trivializando el término de advección no lineal $(u \cdot \nabla)u$. En flujos paralelos desaparece idénticamente. En el vórtice Taylor-Green es un gradiente absorbido por la presión. En soluciones de similitud, se reduce mediante un cambio de variables a un problema de dimensiones inferiores.

El problema del Premio del Milenio de Clay se refiere al problema del valor inicial para las ecuaciones tridimensionales incompresibles de Navier-Stokes con datos iniciales arbitrarios suaves y que decaen rápidamente, precisamente el régimen donde no se aplica ninguna de estas simplificaciones.

La pregunta es si las soluciones a

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \quad \nabla \cdot u = 0, \quad u(x,0)=u_0(x)$$

en $\mathbb{R}^3$ permanecen en $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ para todo el tiempo, dados datos iniciales suaves, libres de divergencias y que decaen rápidamente. Las soluciones exactas no abordan esto porque habitan subespacios del espacio de soluciones donde nunca interviene la dinámica no lineal completa.

En resumen: las soluciones exactas proporcionan soluciones suaves explícitas en regímenes altamente simétricos. El problema abierto es si la buen planteamiento se extiende a los flujos 3D sin restricciones. Para obtener la formulación precisa, consulte Existencia y suavidad de Navier-Stokes.

Para comprender las ecuaciones en sí y lo que significa cada término, comience con ¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?

Para ver cómo se construyen estas ecuaciones a partir de los primeros principios, lea Cómo se derivan las ecuaciones de Navier-Stokes.

Para comprender cuando los flujos laminares como Poiseuille y Couette se descomponen en turbulencias, lea El número de Reynolds, la turbulencia y por qué son importantes las pequeñas escalas.

Para comprender la pregunta del millón que las soluciones exactas no pueden responder, lea El problema del Premio del Milenio: existencia y suavidad.

Próximas páginas recomendadas en este sitio:

• ¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes? (el sistema rector y sus términos)
• Cómo se derivan las ecuaciones de Navier-Stokes (a partir del equilibrio de impulso y la ley constitutiva de Newton) a la EDP)
• Número de Reynolds, turbulencia y por qué son importantes las pequeñas escalas (la transición de los regímenes laminares descritos aquí al flujo completamente turbulento)
• El problema del Premio del Milenio: existencia y suavidad (la formulación precisa del problema abierto que las soluciones exactas no resuelven)