Existencia y suavidad de Navier-Stokes: enunciado del problema del Milenio de Clay

En 2000, el Clay Mathematics Institute escogió siete de los problemas matemáticos sin resolver más difíciles y asignó 1 millón de dólares a cada uno. El problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes figura en la lista.

Esta página explica el enunciado de Clay: la pregunta exacta sobre Navier-Stokes 3D incompresible, qué datos están permitidos y qué contaría como prueba o contraejemplo. Si solo buscas el estado actual, consulta ¿está resuelto el problema de Navier-Stokes?

La pregunta, resumida: ¿las ecuaciones de movimiento de fluidos siempre producen soluciones suaves y de buen comportamiento, o pueden explotar?

Nadie ha reclamado el premio. Ni siquiera cerca. Ha habido un progreso real en la comprensión de cómo sería una solución (o un colapso), pero el problema en sí sigue abierto.

El Premio del Milenio de Clay para Navier-Stokes se indica en la descripción oficial del problema realizada por Charles Fefferman (2000). Se dan dos formulaciones, una en $\mathbb{R}^3$ y otra en $\mathbb{T}^3$ (condiciones de contorno periódicas). Una solución válida debe abordar uno de ellos.

El premio requiere:

• (A) Existencia y suavidad: Demuestre que para cualquier $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ con $\nabla \cdot u_0 = 0$ y decaimiento adecuado, existe una solución suave $(u, p)$ para todo $t \geq 0$ con control de crecimiento.
• (B) Ruptura: exhibe datos iniciales suaves y sin divergencias y una fuerza externa suave para la cual no existe una solución suave para todo $t > 0$.

Esto es lo que realmente plantea el problema, en lenguaje sencillo:

Configuración: tome cualquier velocidad de fluido inicial que sea perfectamente suave (sin bordes afilados, sin discontinuidades) y que muera en el infinito. Lejos de la acción, el fluido permanece quieto.

Pregunta: ¿La velocidad permanece suave y finita durante todo el tiempo futuro? ¿O puede explotar?

Dos respuestas. Sólo dos.

1. Sí, siempre fluido. Demuestre que no importa qué estado inicial fluido elija, la solución permanece suave para siempre. Cada condición inicial, cada vez.
2. No, ocurre una explosión. Encuentre una configuración de arranque suave específica, posiblemente junto con una fuerza externa suave, donde la solución se descompone. Sólo uno es suficiente.

Siguiendo la formulación de Fefferman sobre $\mathbb{R}^3$ con $f \equiv 0$:

Hipótesis: Sea $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ libre de divergencia. Supongamos que para cada $\alpha$ y $K$ existen constantes $C_{\alpha,K}$ tales que

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{on } \mathbb{R}^3.$$

Conclusión (para probar): Existe $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ y $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ que satisface las ecuaciones de Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, y el límite de energía

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{for all } t \geq 0.$$

Hay tres cosas que colocan a Navier-Stokes en esa lista corta:

• Importancia práctica. Estas ecuaciones abarcan la mayor parte de la dinámica de fluidos: diseño de aeronaves, modelos climáticos, flujo sanguíneo, corrientes oceánicas. Incluso sin una prueba completa, los ingenieros utilizan estas ecuaciones con éxito en muchos regímenes; el problema abierto es si las ecuaciones 3D siempre pueden justificarse matemáticamente.
• Profundidad matemática. Se basa en análisis, geometría, topología y física simultáneamente.
• Pura terquedad (explora por qué). Más de 180 años de esfuerzo por parte de algunos de los más grandes matemáticos quién alguna vez vivió, y todavía no sabemos la respuesta.

Un estudiante brillante puede formular la pregunta en cinco minutos. Nadie ha encontrado una respuesta. Esa brecha entre una simple afirmación y una prueba inalcanzable es lo que define un Problema del Milenio.

La dificultad del problema radica en la naturaleza supercrítica de las ecuaciones 3D. La estimación de energía natural

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

coloca $u$ en $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, que está por debajo de la escala crítica. Las ecuaciones de Navier-Stokes son invariantes bajo

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

y el espacio crítico es $L^3(\mathbb{R}^3)$ (o $\dot{H}^{1/2}$). La clase energética $L^2$ es supercrítica. Se encuentra por debajo del umbral de escalamiento crítico y no controla por sí solo la cascada no lineal a pequeña escala, lo que deja una brecha que todas las técnicas existentes luchan por salvar.

Los hitos esenciales:

• 1822: Navier deriva las ecuaciones a partir de consideraciones moleculares.
• 1845: Stokes da la derivación moderna desde la mecánica del continuo.
• 1934: Leray demuestra que las soluciones "débiles" siempre existen. Un resultado enorme, pero esas soluciones podrían no ser suaves.
• 1982: Caffarelli, Kohn y Nirenberg demuestran que las singularidades (más sobre regularidad parcial), si existen, son extremadamente pequeñas: en la geometría parabólica natural de estas ecuaciones, el conjunto singular tiene medida de Hausdorff parabólica unidimensional nula.
• 1984: Beale, Kato y Majda demuestran (originalmente para Euler, con análogos para Navier-Stokes) que la explosión solo puede ocurrir si la vorticidad se vuelve infinita.
• 2000: Clay lo declara Problema del Milenio.
• Hoy: Sigue abierto. Hay trabajo activo en enfoques en espacios críticos, clasificación de explosión tipo I/II y pruebas asistidas por computadora.

Resultados fundamentales, de forma selectiva:

• Leray (1934): Existen soluciones débiles globales $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, demostradas por compacidad. Introdujo el proyector de Leray y el concepto de soluciones turbulentas. El pistoletazo de salida de todo lo que siguió.
• Hopf (1951): Extendió la construcción de Leray a dominios acotados.
• Ladyzhenskaya, Prodi, Serrin (década de 1960): Criterios de regularidad. Si $u \in L^p_t L^q_x$ con $2/p + 3/q \leq 1$ y $q > 3$, entonces la solución es suave. Escauriaza, Seregin y Šverák resolvieron el caso extremo $L^\infty_t L^3_x$ en 2003.
• Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982): $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$. El conjunto singular tiene medida de Hausdorff parabólica unidimensional nula.
• Beale, Kato, Majda (1984): Probado originalmente para Euler incompresible: hay explosión si y solo si $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$. Criterios análogos valen para Navier-Stokes.
• Koch, Tataru (2001): Buen planteamiento local para datos pequeños en $\mathrm{BMO}^{-1}$. Este es el espacio crítico más grande en el que se conoce buen planteamiento.
• Seregin (2012): En un tiempo de explosión $T^*$, la norma $L^3$ debe divergir: $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ cuando $t \to T^*$. Es estrictamente más fuerte que ESS (2003), que solo mostró fallo de acotación uniforme.

Este artículo es parte de El problema.

Si vino aquí preguntándose si alguien ya lo resolvió, comience con ¿Está resuelto el problema de Navier-Stokes?.

Luego explore por qué es tan difícil, o vea cómo los matemáticos lo han dividido en subproblemas. Por razones estructurales, el problema 2D es manejable mientras que el 3D permanece abierto, consulte Por qué 2D es más fácil que 3D.

Este artículo es parte de El problema.

¿Quieres una respuesta breve sobre si se ha resuelto? Consulte ¿Se ha resuelto el problema de Navier-Stokes? Esa página también aclara la brecha entre una existencia débil y una regularidad global suave.

Los obstáculos matemáticos se exponen en Por qué es difícil. Para una descomposición en partes manejables (soluciones débiles, regularidad parcial, clasificación ampliada), consulte Subproblemas. Y para saber por qué el caso 2D se resuelve mientras que el 3D no, consulte Por qué 2D es más fácil que 3D.