Enunciado Clay de Navier-Stokes: criterios oficiales explicados

El problema de Navier–Stokes del Clay Mathematics Institute, redactado por Charles Fefferman para los Problemas del Premio del Milenio anunciados en 2000, pregunta si las ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles en 3D tienen soluciones suaves para todo tiempo, o si las soluciones suaves pueden romperse. Esta página explica exactamente qué exige el enunciado oficial: las ecuaciones, qué flujos iniciales y qué fuerzas se permiten, qué cuenta como una solución «físicamente razonable» y las cuatro alternativas, cualquiera de las cuales lo resuelve.

En septiembre de 2026, OpenAI anunció una prueba de las alternativas de ruptura C y D, y Clay dijo que el problema «aparentemente se ha resuelto»; su evaluación se hace deliberadamente sin prisas y no se ha concedido ningún premio. Ese resultado no decide las alternativas de existencia sin fuerza A y B.

Qué se anunció y cómo se está evaluando: ¿está resuelto Navier-Stokes? (fuentes revisadas el 2026-09-29)

Fuentes primarias: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Enunciado oficial de Clay.

El enunciado oficial de Fefferman se refiere al sistema de Navier–Stokes incompresible en 3D con viscosidad $\nu>0$ en $\mathbb{R}^3$ o en $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$. Define datos iniciales y fuerzas admisibles, una clase de soluciones físicamente razonables (suaves para todo $t\ge0$, con energía acotada en $\mathbb{R}^3$), y pide una prueba de uno de cuatro enunciados A–D.

En septiembre de 2026, OpenAI anunció una prueba de las alternativas de ruptura C y D, y Clay dijo que el problema «aparentemente se ha resuelto»; su evaluación se hace deliberadamente sin prisas y no se ha concedido ningún premio. Ese resultado no decide las alternativas de existencia sin fuerza A y B.

Estado y fuentes: ¿está resuelto Navier-Stokes? (fuentes revisadas el 2026-09-29)

Fuentes primarias: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Enunciado oficial de Clay.

El problema de Clay no pregunta si las simulaciones de fluidos funcionan, si los ingenieros pueden resolver ejemplos de flujo en tuberías, ni si existen soluciones débiles. Esas son preguntas distintas. La pregunta del premio trata de la suavidad global o la ruptura en tiempo finito para las ecuaciones tridimensionales incompresibles.

Una resolución tiene que caer en uno de dos grupos:

1. Suavidad global: demostrar que, sin fuerza externa, todo flujo inicial suave admisible se mantiene suave para todo tiempo futuro.
2. Ruptura: dar una configuración suave admisible, un flujo inicial y, si se desea, una fuerza suave de decaimiento rápido, para la que no pueda existir una solución suave global.

Clay pide demostrar una de cuatro alternativas, no las cuatro: (A) existencia global suave sin fuerza externa en R³; (B) existencia global suave sin fuerza externa en el toro periódico T³; (C) ruptura en R³, permitiendo fuerzas suaves admisibles; (D) ruptura periódica, permitiendo fuerzas suaves admisibles. A/B abarcan todos los datos iniciales admisibles; C/D requieren un contraejemplo admisible. La ruptura forzada no refuta A/B.

El sistema central es la ecuación de Navier-Stokes 3D incompresible

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

La formulación de Clay separa los casos de espacio completo y periódico. En la dirección de existencia en el espacio completo, la velocidad inicial es suave, libre de divergencia y de decaimiento rápido; el objetivo es una solución globalmente suave con energía finita para todo tiempo. En la dirección de ruptura, la tarea es construir datos admisibles, bajo una de las alternativas oficiales, para los cuales la solución globalmente suave requerida no existe.

La existencia (A, B) se plantea con $f\equiv0$ y cuantifica sobre todos los datos admisibles; la ruptura (C, D) pide un único par admisible $(u_0,f)$, permitiendo una fuerza externa bajo las condiciones de decaimiento que siguen.

1. (A) Suavidad en todo el espacio. Sin fuerza externa, todo flujo inicial suave, con divergencia nula y cuyas derivadas decaen rápidamente en el infinito, tiene una solución suave para todo tiempo con energía total acotada.
2. (B) Suavidad en una caja periódica. Lo mismo, sin fuerza externa, para flujos suaves con divergencia nula que se repiten periódicamente en cada dirección.
3. (C) Ruptura en todo el espacio. Algún flujo inicial suave admisible y alguna fuerza externa suave, cuyo tamaño y todas sus derivadas decaen rápidamente en espacio y tiempo, no admiten ninguna solución suave de energía acotada para todo tiempo.
4. (D) Ruptura en una caja periódica. Algún flujo inicial periódico suave y alguna fuerza periódica suave, de decaimiento rápido en el tiempo, no admiten ninguna solución periódica suave para todo tiempo.

Demostrar cualquiera de las cuatro resuelve el problema tal como está planteado. No están dispuestas como enunciado y negación: C es más débil que «A es falsa», porque C también permite a quien resuelve elegir una fuerza. El texto oficial describe las cuatro opciones como una forma de dar «un margen razonable a quienes lo resuelvan, conservando el núcleo del problema».

Siguiendo la formulación de Fefferman sobre $\mathbb{R}^3$ con $f \equiv 0$:

Hipótesis: Sea $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ libre de divergencia. Supongamos que para cada $\alpha$ y $K$ existen constantes $C_{\alpha,K}$ tales que

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{en } \mathbb{R}^3.$$

Conclusión (para probar): Existe $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ y $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ que satisface las ecuaciones de Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, y el límite de energía

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{para todo } t \geq 0.$$

Ruptura (C): existen un $u_0$ suave, con divergencia nula, que satisface la condición de decaimiento anterior, y una $f$ suave en $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ que satisface la condición (5),

$$|\partial_x^\alpha \partial_t^m f(x,t)| \leq \frac{C_{\alpha m K}}{(1+|x|+t)^{K}},$$

para todos los $\alpha, m, K$, para los que ningún $(p,u)$ con $p,u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))$ satisface las ecuaciones, la condición inicial y la cota de energía.

Versiones periódicas (B, D): $u_0$ y $f$ son de periodo unidad en cada coordenada; la condición sobre la fuerza pasa a ser $|\partial_x^\alpha\partial_t^m f(x,t)|\le C_{\alpha mK}(1+|t|)^{-K}$, la condición (9); las soluciones deben ser suaves y periódicas en $x$, y la fe de erratas anexa exige que la presión también sea periódica. B toma $f\equiv0$ y pide una solución periódica suave global para todo $u_0$ periódico suave con divergencia nula; D pide un par periódico admisible $(u_0,f)$ sin solución periódica suave global. Las alternativas periódicas no llevan una cota de energía aparte.

El teorema anunciado para todo el espacio parte de velocidad nula, que cumple las condiciones sobre los datos iniciales, y usa una fuerza suave con soporte en una región acotada del espacio y del tiempo, que cumple la condición de decaimiento de la fuerza. Concluye que para esos datos no existe ninguna solución suave global con energía acotada, que es lo que exige C; un corolario traslada la construcción a la caja periódica para D. Comprobar estas condiciones sobre los datos es elemental; no verifica la prueba en sí.

La correspondencia se refiere solo a C y D. A y B, la suavidad global sin fuerza externa, no quedan ni demostradas ni refutadas, y el enunciado de Clay no las exige una vez establecida C o D. Si la prueba es correcta es algo que corresponde a la comprobación de expertos y al procedimiento de Clay; consulta la explicación del estado.

• Dato inicial. $u_0=0$ es suave, tiene divergencia nula y satisface trivialmente la condición de decaimiento (4) y la condición de periodicidad (8).
• Fuerza para C. $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty);\mathbb{R}^3)$ tiene soporte compacto en el espacio-tiempo, así que cada derivada está acotada y se anula fuera de un compacto; se cumple (5).
• Conclusión para C. El Teorema 1.1 da $(u,p)$ suaves en $[0,1)$ con $\sup_{0\le t<1}\|u(t)\|_{L^2}<\infty$ y $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$, y enuncia que ninguna solución suave en $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ con el mismo dato y la misma fuerza tiene energía cinética uniformemente acotada, que es la clase exigida por (6)–(7).
• D. Corolario 10.6: para todo $\nu>0$, una fuerza suave en $\mathbb{T}^3\times[0,\infty)$, con soporte compacto en el tiempo (y que, por tanto, satisface (9)), velocidad inicial nula, explosión de la velocidad en $t=1$ y ninguna solución periódica suave global para el mismo dato y la misma fuerza; la velocidad y la presión son periódicas, como exige la fe de erratas.
• Límites. Estos son los enunciados del manuscrito, y las comprobaciones de la clase de datos anteriores son elementales; no verifican la construcción, la formalización en Lean ni su correspondencia con el texto oficial.

Manuscrito: OpenAI — Navier–Stokes (PDF), Teorema 1.1 y Corolario 10.6.

Hay tres cosas que colocan a Navier-Stokes en esa lista corta:

• Importancia práctica. Estas ecuaciones abarcan la mayor parte de la dinámica de fluidos: diseño de aeronaves, modelos climáticos, flujo sanguíneo, corrientes oceánicas. Incluso sin una prueba completa, los ingenieros utilizan estas ecuaciones con éxito en muchos regímenes; el problema abierto es si las ecuaciones 3D siempre pueden justificarse matemáticamente.
• Profundidad matemática. Se basa en análisis, geometría, topología y física simultáneamente.
• Importancia duradera. Clay eligió Navier–Stokes como uno de sus siete Problemas del Milenio en 2000 por su dificultad matemática fundamental y por el papel central de las ecuaciones en dinámica de fluidos. El anuncio de septiembre de 2026 cambia el estado, no esas razones de su importancia. Véase también: explora por qué

La dificultad del problema radica en la naturaleza supercrítica de las ecuaciones 3D. La estimación de energía natural

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

coloca $u$ en $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, que está por debajo de la escala crítica. Las ecuaciones de Navier-Stokes son invariantes bajo

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

y el espacio crítico es $L^3(\mathbb{R}^3)$ (o $\dot{H}^{1/2}$). La clase energética $L^2$ es supercrítica. Se encuentra por debajo del umbral de escalamiento crítico y no controla por sí solo la cascada no lineal a pequeña escala, lo que deja una brecha que todas las técnicas existentes luchan por salvar.

La estimación de energía mostrada aquí corresponde a fuerza nula. Con fuerza externa, el lado derecho también incluye el término de trabajo $\int_0^t\!\int f(x,s)\cdot u(x,s)\,dx\,ds$.

Los hitos esenciales:

• 1822: Navier deriva las ecuaciones a partir de consideraciones moleculares.
• 1845: Stokes da la derivación moderna desde la mecánica del continuo.
• 1934: Leray demuestra que las soluciones "débiles" siempre existen. Un resultado enorme, pero esas soluciones podrían no ser suaves.
• 1982: Caffarelli, Kohn y Nirenberg demuestran que las singularidades (más sobre regularidad parcial), si existen, son extremadamente pequeñas: en la geometría parabólica natural de estas ecuaciones, el conjunto singular tiene medida de Hausdorff parabólica unidimensional nula.
• 1984: Beale, Kato y Majda demuestran (originalmente para Euler, con análogos para Navier-Stokes) que la explosión solo puede ocurrir si la vorticidad se vuelve infinita.
• 2000: Clay lo declara Problema del Milenio.
• 2026: OpenAI anuncia una prueba de ruptura con fuerza suave que reivindica las alternativas C y D; Clay dice que el problema «aparentemente se ha resuelto», con una evaluación deliberadamente sin prisas.

Véase también: enfoques en espacios críticos

Resultados fundamentales, de forma selectiva:

• Leray (1934): Existen soluciones débiles globales $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, demostradas por compacidad. Introdujo el proyector de Leray y el concepto de soluciones turbulentas. El pistoletazo de salida de todo lo que siguió.
• Hopf (1951): Extendió la construcción de Leray a dominios acotados.
• Ladyzhenskaya, Prodi, Serrin (década de 1960): Criterios de regularidad. Si $u \in L^p_t L^q_x$ con $2/p + 3/q \leq 1$ y $q > 3$, entonces la solución es suave. Escauriaza, Seregin y Šverák resolvieron el caso extremo $L^\infty_t L^3_x$ en 2003.
• Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982): $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$. El conjunto singular tiene medida de Hausdorff parabólica unidimensional nula.
• Beale, Kato, Majda (1984): Probado originalmente para Euler incompresible: hay explosión si y solo si $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$. Criterios análogos valen para Navier-Stokes.
• Koch, Tataru (2001): buen planteamiento global para datos pequeños en $\mathrm{BMO}^{-1}$, el mayor de los espacios críticos estándar en los que se conoce un resultado de este tipo.
• Seregin (2012): En un tiempo de explosión $T^*$, la norma $L^3$ debe divergir: $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ cuando $t \to T^*$. Es estrictamente más fuerte que ESS (2003), que solo mostró fallo de acotación uniforme.
• 2026: anuncio de ruptura forzada (Teorema 1.1 y Corolario 10.6 del manuscrito) que reivindica C y D; véase la correspondencia anterior.

Este artículo es parte de El problema.

Si vino aquí preguntándose si alguien ya lo resolvió, comience con ¿Está resuelto el problema de Navier-Stokes?.

Luego explore por qué es tan difícil, o vea cómo los matemáticos lo han dividido en subproblemas. Por razones estructurales, el problema 2D es manejable mientras que el 3D permanece abierto, consulte Por qué 2D es más fácil que 3D.

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¿Quieres una respuesta breve sobre si se ha resuelto? Consulte ¿Se ha resuelto el problema de Navier-Stokes? Esa página también aclara la brecha entre una existencia débil y una regularidad global suave.

Los obstáculos matemáticos se exponen en Por qué es difícil. Para una descomposición en partes manejables (soluciones débiles, regularidad parcial, clasificación del blow-up), consulte Subproblemas. Y para saber por qué el caso 2D se resuelve mientras que el 3D no, consulte Por qué 2D es más fácil que 3D.