Enunciado Clay de Navier-Stokes: critérios oficiais explicados

O problema de Navier–Stokes do Clay Mathematics Institute, escrito por Charles Fefferman para os Problemas do Prêmio do Milênio anunciados em 2000, pergunta se as equações de Navier–Stokes incompressíveis em 3D têm soluções suaves para todo o tempo, ou se soluções suaves podem entrar em ruptura. Esta página explica exatamente o que o enunciado oficial exige: as equações, quais escoamentos iniciais e forças são permitidos, o que conta como uma solução «fisicamente razoável» e as quatro alternativas, qualquer uma das quais o resolve.

Em setembro de 2026, a OpenAI anunciou uma prova das alternativas de ruptura C e D, e Clay disse que o problema «aparentemente foi resolvido»; sua avaliação é deliberadamente sem pressa e nenhum prêmio foi concedido. As alternativas de existência sem força externa, A e B, não são decididas por esse resultado.

O que foi anunciado e como está sendo avaliado: Navier-Stokes está resolvido? (fontes revisadas em 2026-09-29)

Fontes primárias: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Enunciado oficial de Clay.

O enunciado oficial de Fefferman diz respeito ao sistema de Navier–Stokes incompressível em 3D com viscosidade $\nu>0$ em $\mathbb{R}^3$ ou em $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$. Ele define dados iniciais e forças admissíveis, uma classe de soluções fisicamente razoáveis (suaves para todo $t\ge0$, com energia limitada em $\mathbb{R}^3$), e pede uma prova de um entre quatro enunciados A–D.

Em setembro de 2026, a OpenAI anunciou uma prova das alternativas de ruptura C e D, e Clay disse que o problema «aparentemente foi resolvido»; sua avaliação é deliberadamente sem pressa e nenhum prêmio foi concedido. As alternativas de existência sem força externa, A e B, não são decididas por esse resultado.

Situação e fontes: Navier-Stokes está resolvido? (fontes revisadas em 2026-09-29)

Fontes primárias: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Enunciado oficial de Clay.

O problema de Clay não está perguntando se simulações de fluidos funcionam, se engenheiros conseguem resolver exemplos de escoamento em tubos, ou se soluções fracas existem. Essas são perguntas separadas. A pergunta do prêmio é sobre suavidade global ou ruptura em tempo finito para as equações incompressíveis tridimensionais.

Uma resolução precisa cair em uma de duas categorias:

1. Suavidade global: mostrar que, sem força externa, todo escoamento inicial suave admissível permanece suave para todo o tempo futuro.
2. Ruptura: apresentar uma configuração suave admissível, um escoamento inicial e, se desejado, uma força suave de decaimento rápido, para a qual não possa existir uma solução suave global.

Clay pede uma prova de uma entre quatro alternativas, não das quatro: (A) existência global suave sem força externa em R³; (B) existência global suave sem força externa no toro periódico T³; (C) ruptura em R³, permitindo forças suaves admissíveis; (D) ruptura periódica, permitindo forças suaves admissíveis. A/B abrangem todos os dados iniciais admissíveis; C/D exigem um contraexemplo admissível. A ruptura forçada não refuta A/B.

O sistema central é a equação de Navier-Stokes 3D incompressível

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

A formulação de Clay separa os casos do espaço inteiro e periódico. Na direção de existência no espaço inteiro, a velocidade inicial é suave, livre de divergência e de decaimento rápido; o alvo é uma solução globalmente suave com energia finita para todo tempo. Na direção de ruptura, a tarefa é construir dados admissíveis, sob uma das alternativas oficiais, para os quais a solução globalmente suave exigida deixa de existir.

A existência (A, B) é formulada com $f\equiv0$ e quantifica sobre todos os dados admissíveis; a ruptura (C, D) pede um único par admissível $(u_0,f)$, com força externa permitida sob as condições de decaimento abaixo.

1. (A) Suavidade em todo o espaço. Sem força externa, todo escoamento inicial suave, com divergência nula e cujas derivadas decaem rapidamente no infinito, tem uma solução suave para todo o tempo com energia total limitada.
2. (B) Suavidade em uma caixa periódica. O mesmo, sem força externa, para escoamentos suaves com divergência nula que se repetem periodicamente em cada direção.
3. (C) Ruptura em todo o espaço. Algum escoamento inicial suave admissível e alguma força externa suave, cujo tamanho e todas as derivadas decaem rapidamente no espaço e no tempo, não admitem nenhuma solução suave de energia limitada para todo o tempo.
4. (D) Ruptura em uma caixa periódica. Algum escoamento inicial periódico suave e alguma força periódica suave, de decaimento rápido no tempo, não admitem nenhuma solução periódica suave para todo o tempo.

Provar qualquer uma das quatro resolve o problema tal como formulado. Elas não estão dispostas como enunciado e negação: C é mais fraca do que «A é falsa», porque C também permite que quem resolve escolha uma força. O texto oficial descreve as quatro opções como uma forma de dar «uma margem razoável a quem resolve, preservando o cerne do problema».

Seguindo a formulação de Fefferman em $\mathbb{R}^3$ com $f \equiv 0$:

Hipóteses: Seja $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ livre de divergência. Assuma que para todo $\alpha$ e $K$ existem constantes $C_{\alpha,K}$ tais que

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{em } \mathbb{R}^3.$$

Conclusão (a provar): Existem $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ e $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfazendo as equações de Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, e a limitação de energia

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{para todo } t \geq 0.$$

Ruptura (C): existem um $u_0$ suave, com divergência nula, que satisfaz a condição de decaimento acima, e uma $f$ suave em $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ que satisfaz a condição (5),

$$|\partial_x^\alpha \partial_t^m f(x,t)| \leq \frac{C_{\alpha m K}}{(1+|x|+t)^{K}},$$

para todos os $\alpha, m, K$, para os quais nenhum $(p,u)$ com $p,u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))$ satisfaz as equações, a condição inicial e o limite de energia.

Versões periódicas (B, D): $u_0$ e $f$ têm período unitário em cada coordenada; a condição sobre a força passa a ser $|\partial_x^\alpha\partial_t^m f(x,t)|\le C_{\alpha mK}(1+|t|)^{-K}$, a condição (9); as soluções devem ser suaves e periódicas em $x$, e a errata anexa exige que a pressão também seja periódica. B toma $f\equiv0$ e pede uma solução periódica suave global para todo $u_0$ periódico suave com divergência nula; D pede um par periódico admissível $(u_0,f)$ sem solução periódica suave global. As alternativas periódicas não trazem um limite de energia separado.

O teorema anunciado para o espaço inteiro parte de velocidade nula, que atende às condições sobre os dados iniciais, e usa uma força suave com suporte em uma região limitada do espaço e do tempo, que atende à condição de decaimento da força. Ele conclui que não existe solução suave global com energia limitada para esses dados, que é o que C exige; um corolário transfere a construção para a caixa periódica, para D. Verificar essas condições sobre os dados é elementar; isso não verifica a prova em si.

A correspondência diz respeito apenas a C e D. A e B, a suavidade global sem força externa, não são nem provadas nem refutadas por ele, e o enunciado de Clay não as exige uma vez estabelecida C ou D. Se a prova está correta é assunto para a verificação por especialistas e para o procedimento de Clay; veja a explicação da situação.

• Dado inicial. $u_0=0$ é suave, tem divergência nula e satisfaz trivialmente a condição de decaimento (4) e a condição de periodicidade (8).
• Força para C. $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty);\mathbb{R}^3)$ tem suporte compacto no espaço-tempo, então cada derivada é limitada e se anula fora de um compacto; (5) vale.
• Conclusão para C. O Teorema 1.1 fornece $(u,p)$ suaves em $[0,1)$ com $\sup_{0\le t<1}\|u(t)\|_{L^2}<\infty$ e $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$, e enuncia que nenhuma solução suave em $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ com o mesmo dado e a mesma força tem energia cinética uniformemente limitada, que é a classe exigida por (6)–(7).
• D. Corolário 10.6: para todo $\nu>0$, uma força suave em $\mathbb{T}^3\times[0,\infty)$, com suporte compacto no tempo (satisfazendo, portanto, (9)), velocidade inicial nula, explosão da velocidade em $t=1$ e nenhuma solução periódica suave global para o mesmo dado e a mesma força; velocidade e pressão são periódicas, como a errata exige.
• Limites. Estes são os enunciados do manuscrito, e as verificações da classe de dados acima são elementares; elas não verificam a construção, a formalização em Lean nem sua correspondência com o texto oficial.

Manuscrito: OpenAI — Navier–Stokes (PDF), Teorema 1.1 e Corolário 10.6.

Três coisas colocaram Navier-Stokes nessa lista restrita:

• Importância prática. Essas equações governam a maior parte da dinâmica de fluidos: projeto de aeronaves, modelos climáticos, fluxo sanguíneo, correntes oceânicas. Mesmo sem uma prova completa, engenheiros usam essas equações com sucesso em muitos regimes; o problema aberto é sobre se as equações 3D podem sempre ser justificadas matematicamente.
• Profundidade matemática. Envolve análise, geometria, topologia e física simultaneamente.
• Importância duradoura. Clay escolheu Navier–Stokes como um de seus sete Problemas do Milênio em 2000 por sua dificuldade matemática fundamental e pelo papel central das equações na dinâmica de fluidos. O anúncio de setembro de 2026 muda o estado, não esses motivos de sua importância. Veja também: explore por quê

A dificuldade do problema está enraizada na natureza supercrítica das equações 3D. A estimativa de energia natural

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

coloca $u$ em $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, que está abaixo do escalonamento crítico. As equações de Navier-Stokes são invariantes sob

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

e o espaço crítico é $L^3(\mathbb{R}^3)$ (ou $\dot{H}^{1/2}$). A classe de energia $L^2$ é supercrítica. Ela está abaixo do limiar de escalonamento crítico e não controla por si só a cascata não linear em pequena escala, deixando uma lacuna que todas as técnicas existentes lutam para preencher.

A estimativa de energia aqui exibida vale sem força externa. Com força, o lado direito também inclui o termo de trabalho $\int_0^t\!\int f(x,s)\cdot u(x,s)\,dx\,ds$.

Os marcos essenciais:

• 1822: Navier deriva as equações a partir de considerações moleculares.
• 1845: Stokes dá a derivação moderna a partir da mecânica do contínuo.
• 1934: Leray prova que soluções "fracas" sempre existem. Um resultado massivo, mas essas soluções podem não ser suaves.
• 1982: Caffarelli, Kohn e Nirenberg provam que singularidades (mais sobre regularidade parcial), se existirem, são extremamente pequenas: na geometria parabólica natural a essas equações, o conjunto singular tem medida de Hausdorff parabólica unidimensional zero.
• 1984: Beale, Kato e Majda provam (originalmente para Euler, com análogos para Navier-Stokes) que a explosão só pode acontecer se a vorticidade se tornar infinita.
• 2000: Clay o nomeia um Problema do Milênio.
• 2026: a OpenAI anuncia uma prova de ruptura com força suave reivindicando as alternativas C e D; Clay diz que o problema «aparentemente foi resolvido», com avaliação deliberadamente sem pressa.

Veja também: abordagens de espaço crítico

Resultados fundamentais, seletivamente:

• Leray (1934): Soluções fracas globais $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ existem, provadas via compacidade. Ele introduziu o projetor de Leray e o conceito de soluções turbulentas. O tiro de partida para tudo que se seguiu.
• Hopf (1951): Estendeu a construção de Leray para domínios limitados.
• Ladyzhenskaya, Prodi, Serrin (anos 1960): Critérios de regularidade. Se $u \in L^p_t L^q_x$ com $2/p + 3/q \leq 1$, $q > 3$, então a solução é suave. Escauriaza, Seregin e Šverák resolveram o caso de ponto final $L^\infty_t L^3_x$ em 2003.
• Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982): $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$. O conjunto singular tem medida de Hausdorff parabólica unidimensional zero.
• Beale, Kato, Majda (1984): Originalmente provado para Euler incompressível: a explosão acontece se e somente se $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$. Critérios análogos valem para Navier-Stokes.
• Koch, Tataru (2001): boa colocação global para dados pequenos em $\mathrm{BMO}^{-1}$, o maior dos espaços críticos padrão em que um resultado desse tipo é conhecido.
• Seregin (2012): Em um tempo de explosão $T^*$, a norma $L^3$ deve divergir: $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ quando $t \to T^*$. Estritamente mais forte que ESS (2003), que apenas mostrou falha de limitação uniforme.
• 2026: anunciada ruptura forçada (Teorema 1.1 e Corolário 10.6 do manuscrito), reivindicando C e D; veja a correspondência acima.

Este artigo faz parte de O Problema.

Se você veio aqui se perguntando se alguém já o resolveu, comece com O Problema de Navier-Stokes Foi Resolvido?.

Então explore por que é tão difícil, ou veja como os matemáticos o dividiram em subproblemas. Para as razões estruturais pelas quais o problema 2D é tratável enquanto o 3D permanece aberto, veja Por Que 2D É Mais Fácil Que 3D.

Este artigo faz parte de O Problema.

Quer a resposta curta sobre se foi resolvido? Veja O Problema de Navier-Stokes Foi Resolvido? Essa página também esclarece a lacuna entre existência fraca e regularidade suave global.

Os obstáculos matemáticos são apresentados em Por Que É Difícil. Para uma decomposição em peças tratáveis (soluções fracas, regularidade parcial, classificação de explosão), veja Subproblemas. E para entender por que o caso 2D está resolvido enquanto o 3D não está, veja Por Que 2D É Mais Fácil Que 3D.