Existência e Suavidade de Navier-Stokes: enunciado do Problema do Milênio Clay

Em 2000, o Clay Mathematics Institute escolheu sete dos problemas não resolvidos mais difíceis da matemática e colocou $1 milhão em cada um. O problema da existência e suavidade de Navier-Stokes entrou na lista.

Esta página explica o enunciado de Clay: a pergunta exata sobre Navier-Stokes 3D incompressível, quais dados são permitidos e o que contaria como prova ou contraexemplo. Se você quer apenas o status atual, veja o problema de Navier-Stokes está resolvido?

A pergunta, resumida: as equações do movimento de fluidos sempre produzem soluções suaves e bem comportadas, ou elas podem explodir?

Ninguém reivindicou o prêmio. Nem perto. Houve progresso real na compreensão de como seria uma solução (ou uma quebra), mas o problema em si permanece completamente aberto.

O Prêmio do Milênio Clay para Navier-Stokes está declarado na descrição oficial do problema por Charles Fefferman (2000). Duas formulações são dadas, uma em $\mathbb{R}^3$ e uma em $\mathbb{T}^3$ (condições de contorno periódicas). Uma solução válida deve abordar uma delas.

O prêmio requer:

• (A) Existência e suavidade: Provar que para qualquer $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ com $\nabla \cdot u_0 = 0$ e decaimento adequado, existe uma solução suave $(u, p)$ para todo $t \geq 0$ com crescimento controlado.
• (B) Quebra: Exibir dados iniciais suaves e livres de divergência e uma força externa suave para os quais não existe solução suave para todo $t > 0$.

Aqui está o que o problema realmente pergunta, em linguagem simples:

Configuração: Tome qualquer velocidade inicial do fluido que seja perfeitamente suave (sem bordas afiadas, sem descontinuidades) e que desapareça no infinito. Longe da ação, o fluido fica parado.

Pergunta: A velocidade permanece suave e finita para todo tempo futuro? Ou ela pode explodir?

Duas respostas. Apenas duas.

1. Sim, sempre suave. Prove que não importa qual estado inicial suave você escolha, a solução permanece suave para sempre. Toda condição inicial, todo tempo.
2. Não, a explosão acontece. Encontre uma configuração inicial suave específica, possivelmente junto com uma força externa suave, onde a solução quebra. Apenas uma é suficiente.

Seguindo a formulação de Fefferman em $\mathbb{R}^3$ com $f \equiv 0$:

Hipóteses: Seja $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ livre de divergência. Assuma que para todo $\alpha$ e $K$ existem constantes $C_{\alpha,K}$ tais que

$$|\partial^\alpha u_0(x)| \leq \frac{C_{\alpha,K}}{(1 + |x|)^K} \quad \text{on } \mathbb{R}^3.$$

Conclusão (a provar): Existem $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ e $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfazendo as equações de Navier-Stokes, $u(x,0) = u_0(x)$, e a limitação de energia

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C \quad \text{for all } t \geq 0.$$

Três coisas colocaram Navier-Stokes nessa lista restrita:

• Importância prática. Essas equações governam a maior parte da dinâmica de fluidos: projeto de aeronaves, modelos climáticos, fluxo sanguíneo, correntes oceânicas. Mesmo sem uma prova completa, engenheiros usam essas equações com sucesso em muitos regimes; o problema aberto é sobre se as equações 3D podem sempre ser justificadas matematicamente.
• Profundidade matemática. Envolve análise, geometria, topologia e física simultaneamente.
• Pura teimosia (explore por quê). Mais de 180 anos de esforço por alguns dos maiores matemáticos que já viveram, e ainda não sabemos a resposta.

Um estudante brilhante de graduação pode enunciar a pergunta em cinco minutos. Ninguém encontrou uma resposta. Essa lacuna entre uma declaração simples e uma prova inalcançável é o que define um Problema do Milênio.

A dificuldade do problema está enraizada na natureza supercrítica das equações 3D. A estimativa de energia natural

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \frac{1}{2}\|u_0\|_{L^2}^2$$

coloca $u$ em $L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, que está abaixo do escalonamento crítico. As equações de Navier-Stokes são invariantes sob

$$u(x,t) \mapsto \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t), \quad p(x,t) \mapsto \lambda^2 p(\lambda x, \lambda^2 t)$$

e o espaço crítico é $L^3(\mathbb{R}^3)$ (ou $\dot{H}^{1/2}$). A classe de energia $L^2$ é supercrítica. Ela está abaixo do limiar de escalonamento crítico e não controla por si só a cascata não linear em pequena escala, deixando uma lacuna que todas as técnicas existentes lutam para preencher.

Os marcos essenciais:

• 1822: Navier deriva as equações a partir de considerações moleculares.
• 1845: Stokes dá a derivação moderna a partir da mecânica do contínuo.
• 1934: Leray prova que soluções "fracas" sempre existem. Um resultado massivo, mas essas soluções podem não ser suaves.
• 1982: Caffarelli, Kohn e Nirenberg provam que singularidades (mais sobre regularidade parcial), se existirem, são extremamente pequenas: na geometria parabólica natural a essas equações, o conjunto singular tem medida de Hausdorff parabólica unidimensional zero.
• 1984: Beale, Kato e Majda provam (originalmente para Euler, com análogos para Navier-Stokes) que a explosão só pode acontecer se a vorticidade se tornar infinita.
• 2000: Clay o nomeia um Problema do Milênio.
• Hoje: Ainda aberto. Trabalho ativo em abordagens de espaço crítico, classificação de explosão Tipo-I/II e prova assistida por computador.

Resultados fundamentais, seletivamente:

• Leray (1934): Soluções fracas globais $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ existem, provadas via compacidade. Ele introduziu o projetor de Leray e o conceito de soluções turbulentas. O tiro de partida para tudo que se seguiu.
• Hopf (1951): Estendeu a construção de Leray para domínios limitados.
• Ladyzhenskaya, Prodi, Serrin (anos 1960): Critérios de regularidade. Se $u \in L^p_t L^q_x$ com $2/p + 3/q \leq 1$, $q > 3$, então a solução é suave. Escauriaza, Seregin e Šverák resolveram o caso de ponto final $L^\infty_t L^3_x$ em 2003.
• Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982): $\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$. O conjunto singular tem medida de Hausdorff parabólica unidimensional zero.
• Beale, Kato, Majda (1984): Originalmente provado para Euler incompressível: a explosão acontece se e somente se $\int_0^{T^*} \|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty} \, dt = \infty$. Critérios análogos valem para Navier-Stokes.
• Koch, Tataru (2001): Boa colocação local para dados pequenos em $\mathrm{BMO}^{-1}$. Este é o maior espaço crítico onde a boa colocação é conhecida.
• Seregin (2012): Em um tempo de explosão $T^*$, a norma $L^3$ deve divergir: $\|u(t)\|_{L^3} \to \infty$ quando $t \to T^*$. Estritamente mais forte que ESS (2003), que apenas mostrou falha de limitação uniforme.

Este artigo faz parte de O Problema.

Se você veio aqui se perguntando se alguém já o resolveu, comece com O Problema de Navier-Stokes Foi Resolvido?.

Então explore por que é tão difícil, ou veja como os matemáticos o dividiram em subproblemas. Para as razões estruturais pelas quais o problema 2D é tratável enquanto o 3D permanece aberto, veja Por Que 2D É Mais Fácil Que 3D.

Este artigo faz parte de O Problema.

Quer a resposta curta sobre se foi resolvido? Veja O Problema de Navier-Stokes Foi Resolvido? Essa página também esclarece a lacuna entre existência fraca e regularidade suave global.

Os obstáculos matemáticos são apresentados em Por Que É Difícil. Para uma decomposição em peças tratáveis (soluções fracas, regularidade parcial, classificação de explosão), veja Subproblemas. E para entender por que o caso 2D está resolvido enquanto o 3D não está, veja Por Que 2D É Mais Fácil Que 3D.