Navier-Stokes explicado: equações, Prêmio Clay e status

As equações de Navier-Stokes são um sistema de equações diferenciais parciais que descreve o movimento de fluidos viscosos, como a água e o ar. Elas equilibram a inércia de um fluido com a pressão, a viscosidade e as forças externas, e são usadas em tudo, do projeto de aeronaves e do escoamento em tubulações à previsão do tempo e ao fluxo sanguíneo.

A famosa questão em aberto é o que essas equações preveem em três dimensões. Partindo de um escoamento suave de energia finita, a solução permanece suave para sempre, ou a velocidade pode se tornar infinita após um tempo finito? O enunciado oficial de Clay aceita qualquer uma entre quatro respostas: uma prova de que todo início suave permanece suave quando não há força externa, em todo o espaço (A) ou em uma caixa periódica (B), ou um exemplo de ruptura em qualquer um dos dois cenários, no qual também se pode escolher uma força externa suave de decaimento rápido (C e D). Em duas dimensões, sabe-se que as soluções suaves duram para sempre; sem força externa, a questão em 3D continua em aberto.

As condições exatas são explicadas no enunciado oficial do problema de Clay, explicado, e o século de resultados por trás delas em Progresso no problema de Navier-Stokes.

Clay escolheu Navier–Stokes como um de seus sete Problemas do Milênio em 2000 por sua dificuldade matemática fundamental e pelo papel central das equações na dinâmica de fluidos. O anúncio de setembro de 2026 muda o estado, não esses motivos de sua importância.

Fontes primárias: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Enunciado oficial de Clay.

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

Este site é centrado no problema de regularidade global de Navier-Stokes incompressível em 3D em $\mathbb{R}^3$ ou $\mathbb{T}^3$: para dados iniciais suaves com divergência nula que satisfazem as condições oficiais de decaimento (ou de periodicidade) e $f\equiv0$, existe uma solução suave para todo $t\ge0$, com energia limitada em $\mathbb{R}^3$? A formulação de Clay aceita uma prova de existência global (A em $\mathbb{R}^3$, B em $\mathbb{T}^3$, ambas com $f\equiv0$) ou um exemplo de ruptura em que também se pode escolher uma força suave que satisfaça as condições oficiais de decaimento (C, D). O análogo 2D está resolvido há muito; para $f\equiv0$, a questão em 3D continua em aberto.

Condições formais: o enunciado oficial de Clay, explicado. Resultados e métodos: Progresso.

Clay escolheu Navier–Stokes como um de seus sete Problemas do Milênio em 2000 por sua dificuldade matemática fundamental e pelo papel central das equações na dinâmica de fluidos. O anúncio de setembro de 2026 muda o estado, não esses motivos de sua importância.

Fontes primárias: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Enunciado oficial de Clay.