Navier-Stokes explicado: equações, Prêmio Clay e status

As equações de Navier-Stokes descrevem como os fluidos se movem. Elas governam o ar, a água, o sangue, o clima e a turbulência.

Mas este site não é sobre se as equações funcionam. Elas funcionam e são extraordinariamente bem-sucedidas em aplicações. A verdadeira pergunta é a que está por trás do Prêmio do Milênio Clay: se você começa com um escoamento 3D perfeitamente suave, ele permanece suave para sempre? Ou pode explodir?

Ninguém sabe. É isso que torna o problema extraordinário.

Abaixo, separamos o tema em caminhos distintos: as equações, o status atual resolvido ou aberto, o enunciado formal de Clay, os obstáculos matemáticos, as reduções padrão e as estratégias de prova já tentadas.

Este site está centrado no problema de regularidade global de Navier-Stokes incompressível 3D em $\mathbb{R}^3$ ou $\mathbb{T}^3$.

A equação é

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

No contexto Clay, consideramos dados iniciais suaves e livres de divergência, seja rapidamente decaindo em $\mathbb{R}^3$ ou suaves periódicos em $\mathbb{T}^3$. A questão: tais dados sempre produzem uma solução global suave única, ou a suavidade pode se quebrar em tempo finito? A teoria de Leray de 1934 fornece soluções fracas globais. Suavidade global e unicidade em três dimensões? Ainda em aberto.

As seções abaixo separam a própria EDP, a declaração formal de Clay, os obstáculos de escala, os subproblemas padrão e as abordagens que moldaram o campo.