Problema do Prêmio do Milênio

Navier-Stokes explicado: equações, Prêmio Clay e status

Descubra como Navier-Stokes descreve o movimento dos fluidos, onde existem soluções exatas e por que o Problema do Milênio 3D continua em aberto.

Comece Aqui

01

Aprenda as equações

Aprenda o que as equações descrevem e a função de cada termo.

 02

Soluções detalhadas e exemplos

Veja fluxos especiais que podemos calcular exatamente — e por que eles não resolvem o problema em aberto.

 03

Entenda o problema em aberto

Entenda por que o problema 3D continua em aberto e o que uma prova precisa estabelecer.

 04

Veja os avanços da pesquisa

Veja o que os matemáticos já provaram, quais abordagens tentaram e o que ainda não se sabe.

Primeira visita? Comece pelas equações.

Uma simulação de fluido ao vivo. Arraste para agitar.

Água Mel

A equação por trás da simulação

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
O que esses termos significam?
Viscosidadeν∆u
Quão espesso é o fluido — o mel resiste ao movimento, a água flui livremente. O controle acima controla isso Difusão viscosa — suaviza e espalha o fluxo. Controlado pelo controle ν acima
Momento(u·∇)u Movimento carrega movimento — uma corrente rápida arrasta o fluido próximo, criando redemoinhos Advecção não linear — a velocidade transporta a si mesma, produzindo estiramento de vórtice e cascata
Pressão−∇p Quando o fluido se acumula, a pressão o empurra para fora — o solucionador lida com isso automaticamente Gradiente de pressão — calculado pela etapa de projeção para impor a restrição livre de divergência
Mudança∂ₜu O resultado — como a velocidade do fluido muda em cada ponto, calculada a partir de todos os outros termos Taxa líquida de mudança — o lado esquerdo, determinado pelo equilíbrio de advecção, pressão e viscosidade
Conservação∇·u = 0 O fluido não pode comprimir ou expandir — ele apenas se rearranja, o que faz a água se comportar como água Restrição livre de divergência — satisfeita a cada passo pela projeção de Helmholtz-Hodge

O Que o Problema 3D Realmente Pergunta

As equações de Navier-Stokes descrevem como os fluidos se movem. Elas governam o ar, a água, o sangue, o clima e a turbulência.

Mas este site não é sobre se as equações funcionam. Elas funcionam e são extraordinariamente bem-sucedidas em aplicações. A verdadeira pergunta é a que está por trás do Prêmio do Milênio Clay: se você começa com um escoamento 3D perfeitamente suave, ele permanece suave para sempre? Ou pode explodir?

Ninguém sabe. É isso que torna o problema extraordinário.

Abaixo, separamos o tema em caminhos distintos: as equações, o status atual resolvido ou aberto, o enunciado formal de Clay, os obstáculos matemáticos, as reduções padrão e as estratégias de prova já tentadas.

Este site está centrado no problema de regularidade global de Navier-Stokes incompressível 3D em R3\mathbb{R}^3 ou T3\mathbb{T}^3.

A equação é

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

No contexto Clay, consideramos dados iniciais suaves e livres de divergência, seja rapidamente decaindo em R3\mathbb{R}^3 ou suaves periódicos em T3\mathbb{T}^3. A questão: tais dados sempre produzem uma solução global suave única, ou a suavidade pode se quebrar em tempo finito? A teoria de Leray de 1934 fornece soluções fracas globais. Suavidade global e unicidade em três dimensões? Ainda em aberto.

As seções abaixo separam a própria EDP, a declaração formal de Clay, os obstáculos de escala, os subproblemas padrão e as abordagens que moldaram o campo.

Um carrossel atualizado diariamente com artigos novos, revisados e cross-listados do arXiv relacionados a temas de Navier-Stokes.

Cada página tem duas versões. O botão Simples / Formal no cabeçalho alterna entre explicações em linguagem simples e o tratamento matemático completo. Você pode mudar de modo a qualquer momento sem perder sua posição.

Cada página é escrita em paralelo. O modo Simples fornece intuição física; o modo Formal fornece as formulações em EDP. Alterne livremente — a estrutura espelha ambos os modos.