Problema do Prêmio do Milênio

Navier-Stokes explicado: equações, Prêmio Clay e status

Explore as equações, soluções exatas, o anúncio de setembro de 2026 e as questões restantes de regularidade sem força externa.

Comece Aqui

01

Aprenda as equações

Aprenda o que as equações descrevem e a função de cada termo.

 02

Soluções detalhadas e exemplos

Veja fluxos especiais que podemos calcular exatamente — e por que eles não resolvem o problema de Clay.

 03

Entenda o problema de Clay

Setembro de 2026: OpenAI anuncia explosão 3D com força suave (Clay C/D); Clay reconhece aparente resolução. Avaliação e prêmio são etapas distintas.

 04

Veja os avanços da pesquisa

Veja o que os matemáticos já provaram, quais abordagens tentaram e o que ainda não se sabe.

Primeira visita? Comece pelas equações.

Uma simulação de fluido ao vivo. Arraste para agitar.

Água Mel

A equação por trás da simulação

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
O que esses termos significam?
Viscosidadeν∆u
Quão espesso é o fluido — o mel resiste ao movimento, a água flui livremente. O controle acima controla isso Difusão viscosa — suaviza e espalha o fluxo. Controlado pelo controle ν acima
Momento(u·∇)u Movimento carrega movimento — uma corrente rápida arrasta o fluido próximo, criando redemoinhos Advecção não linear — a velocidade transporta a si mesma, produzindo estiramento de vórtice e cascata
Pressão−∇p Quando o fluido se acumula, a pressão o empurra para fora — o solucionador lida com isso automaticamente Gradiente de pressão — calculado pela etapa de projeção para impor a restrição livre de divergência
Mudança∂ₜu O resultado — como a velocidade do fluido muda em cada ponto, calculada a partir de todos os outros termos Taxa líquida de mudança — o lado esquerdo, determinado pelo equilíbrio de advecção, pressão e viscosidade
Conservação∇·u = 0 O fluido não pode comprimir ou expandir — ele apenas se rearranja, o que faz a água se comportar como água Restrição livre de divergência — satisfeita a cada passo pela projeção de Helmholtz-Hodge

O Que o Problema 3D Realmente Pergunta

A regularidade global de Navier–Stokes 3D sem força externa permanece em aberto: a construção forçada anunciada não a resolve. Na discussão técnica abaixo, questões abertas de regularidade e unicidade referem-se ao sistema sem força externa, salvo indicação explícita de outro contexto.

As equações de Navier-Stokes descrevem como os fluidos se movem. Elas governam o ar, a água, o sangue, o clima e a turbulência.

Estado das fontes revisado em 2026-09-12 (JST). Em 8 de setembro, a OpenAI anunciou explosão em tempo finito para Navier–Stokes incompressível 3D com força externa suave, alegando resolver as alternativas C e D de Clay, com manuscrito e formalização em Lean. Em 11 de setembro, Clay declarou que o problema «aparentemente foi resolvido»; a avaliação e a atribuição de crédito serão deliberadamente sem pressa. Isso não é a concessão do prêmio nem uma verificação da prova por este site.

Fontes primárias: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Enunciado oficial de Clay.

Clay escolheu Navier–Stokes como um de seus sete Problemas do Milênio em 2000 por sua dificuldade matemática fundamental e pelo papel central das equações na dinâmica de fluidos. O anúncio de setembro de 2026 muda o estado, não esses motivos de sua importância.

A regularidade global de Navier–Stokes 3D sem força externa permanece em aberto: a construção forçada anunciada não a resolve. Na discussão técnica abaixo, questões abertas de regularidade e unicidade referem-se ao sistema sem força externa, salvo indicação explícita de outro contexto.

Estado das fontes revisado em 2026-09-12 (JST). Em 8 de setembro, a OpenAI anunciou explosão em tempo finito para Navier–Stokes incompressível 3D com força externa suave, alegando resolver as alternativas C e D de Clay, com manuscrito e formalização em Lean. Em 11 de setembro, Clay declarou que o problema «aparentemente foi resolvido»; a avaliação e a atribuição de crédito serão deliberadamente sem pressa. Isso não é a concessão do prêmio nem uma verificação da prova por este site.

Fontes primárias: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Enunciado oficial de Clay.

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

Este site está centrado no problema de regularidade global de Navier-Stokes incompressível 3D em R3\mathbb{R}^3 ou T3\mathbb{T}^3.

Clay escolheu Navier–Stokes como um de seus sete Problemas do Milênio em 2000 por sua dificuldade matemática fundamental e pelo papel central das equações na dinâmica de fluidos. O anúncio de setembro de 2026 muda o estado, não esses motivos de sua importância.

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