千禧年懸賞問題

Navier-Stokes 指南：方程式、Clay 獎與目前狀態

了解方程式、精確解、2026年9月的聲明，以及無外力正則性仍待解決的問題。

從這裡開始

01

學習方程式

了解方程式描述什麼，以及每一項的作用。

 02

查看具體解與範例

查看可精確計算的特殊流動，以及它們為何不能解決這個Clay 問題。

 03

了解Clay 問題

2026年9月：OpenAI 宣布光滑外力下的三維爆破（Clay C/D）；Clay 表示問題看來已解決。評估與頒獎是不同階段。

 04

查看研究進展

了解數學家已經證明了什麼、嘗試過哪些方法，以及哪些問題仍無答案。

初次造訪？建議從方程式開始。

即時流體模擬。拖曳以攪動。

水 蜂蜜

模擬背後的方程式

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
這些項代表什麼？
粘性ν∆u
流體有多稠——蜂蜜抗拒旋轉，水則自由流動。上方滑桿控制此項 粘性擴散——使流動變平滑並擴散。由上方的 ν 滑桿控制
動量(u·∇)u 運動會攜帶運動——快速水流會拖曳附近流體，產生渦旋 非線性平流——速度輸運自身，產生渦旋伸長與串級
壓力−∇p 當流體聚集時，壓力會把它推開——求解器會自動處理這件事 壓力梯度——由投影步驟計算，以強制滿足無散度約束
變化∂ₜu 結果——流體速度在每一點如何改變，由所有其他項計算得出 淨變化率——左手邊，由平流、壓力與粘性的平衡決定
守恆∇·u = 0 流體不能壓縮或膨脹——它只是重新排列，這正是水之所以像水的原因 無散度約束——每一步由 Helmholtz-Hodge 投影滿足

三維問題實際上在問什麼

無外力三維 Navier–Stokes 的全域正則性仍未解決：所宣布的有外力構造並不解決此問題。以下技術討論中的正則性與唯一性未解問題，除非明確另述背景，均指無外力系統。

Navier-Stokes 方程式描述流體如何運動。它們用於研究空氣、水、血液、天氣與湍流。

資料狀態核查日期：2026-09-12（JST）。9月8日，OpenAI 宣布三維不可壓 Navier–Stokes 在光滑外力下發生有限時間爆破，聲稱滿足 Clay 的選項 C 和 D，並公開論文稿與 Lean 形式化。9月11日，Clay 表示問題「看來已獲解決」，並說明評估與功勞歸屬將刻意從容進行。這不是頒獎公告，也不是本站對證明的驗證。

一手資料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay 官方問題陳述.

Clay 在2000年把 Navier–Stokes 選為七個千禧年問題之一，因為它兼具根本性的數學困難與流體動力學中方程式的核心地位。2026年9月的聲明改變了問題狀態，而非這些重要性理由。

無外力三維 Navier–Stokes 的全域正則性仍未解決：所宣布的有外力構造並不解決此問題。以下技術討論中的正則性與唯一性未解問題，除非明確另述背景，均指無外力系統。

資料狀態核查日期：2026-09-12（JST）。9月8日，OpenAI 宣布三維不可壓 Navier–Stokes 在光滑外力下發生有限時間爆破，聲稱滿足 Clay 的選項 C 和 D，並公開論文稿與 Lean 形式化。9月11日，Clay 表示問題「看來已獲解決」，並說明評估與功勞歸屬將刻意從容進行。這不是頒獎公告，也不是本站對證明的驗證。

一手資料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay 官方問題陳述.

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

本站聚焦於三維非壓縮 Navier-Stokes 在R3\mathbb{R}^3或T3\mathbb{T}^3上的大域正則性問題。

Clay 在2000年把 Navier–Stokes 選為七個千禧年問題之一，因為它兼具根本性的數學困難與流體動力學中方程式的核心地位。2026年9月的聲明改變了問題狀態，而非這些重要性理由。

每日更新的橫向列表，展示與 Navier-Stokes 主題相關的新論文、修訂稿和交叉列表論文。

每個頁面都有兩個版本。頁首的簡明／形式切換可在白話解說與完整數學處理之間切換。你可以隨時更改模式，而不會失去所在位置。

每個頁面皆以平行方式撰寫。簡明模式提供物理直覺；形式模式提供 PDE 層級的陳述。可自由切換——兩種模式的結構彼此對應。