千禧年懸賞問題

Navier-Stokes 指南：方程式、Clay 獎與目前狀態

了解納維–斯托克斯方程式如何描述流體運動、哪些情形存在精確解，以及三維千禧年問題為何仍未解決。

從這裡開始

01

學習方程式

了解方程式描述什麼，以及每一項的作用。

 02

查看具體解與範例

查看可精確計算的特殊流動，以及它們為何不能解決這個未解問題。

 03

了解未解問題

了解三維問題為何仍未解決，以及證明必須確立哪些結論。

 04

查看研究進展

了解數學家已經證明了什麼、嘗試過哪些方法，以及哪些問題仍無答案。

初次造訪？建議從方程式開始。

即時流體模擬。拖曳以攪動。

水 蜂蜜

模擬背後的方程式

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
這些項代表什麼？
粘性ν∆u
流體有多稠——蜂蜜抗拒旋轉，水則自由流動。上方滑桿控制此項 粘性擴散——使流動變平滑並擴散。由上方的 ν 滑桿控制
動量(u·∇)u 運動會攜帶運動——快速水流會拖曳附近流體，產生渦旋 非線性平流——速度輸運自身，產生渦旋伸長與串級
壓力−∇p 當流體聚集時，壓力會把它推開——求解器會自動處理這件事 壓力梯度——由投影步驟計算，以強制滿足無散度約束
變化∂ₜu 結果——流體速度在每一點如何改變，由所有其他項計算得出 淨變化率——左手邊，由平流、壓力與粘性的平衡決定
守恆∇·u = 0 流體不能壓縮或膨脹——它只是重新排列，這正是水之所以像水的原因 無散度約束——每一步由 Helmholtz-Hodge 投影滿足

三維問題實際上在問什麼

Navier-Stokes 方程式描述流體如何運動。它們用於研究空氣、水、血液、天氣與湍流。

本站的重點不是這些方程式是否有用。它們當然有用，而且在應用上非常成功。真正的問題是 Clay 千禧年獎背後的問題：如果從一個完全光滑的三維流開始，它會永遠保持光滑嗎？還是可能爆發？

沒有人知道。這正是此問題特殊之處。

下面把主題分成清楚路徑：方程式本身、是否已解決的目前狀態、Clay 正式問題陳述、數學障礙、標準化簡，以及人們嘗試過的證明策略。

本站聚焦於三維非壓縮 Navier-Stokes 在R3\mathbb{R}^3或T3\mathbb{T}^3上的大域正則性問題。

方程式為

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

在 Clay 的設定中，我們考慮光滑且無散度的初始資料，或者是在R3\mathbb{R}^3上快速衰減，或者是在T3\mathbb{T}^3上光滑週期。問題是：這樣的資料是否總是產生唯一的大域光滑解，還是光滑性可能在有限時間內崩潰？Leray 1934 年的理論給出了大域弱解。三維中的大域光滑性與唯一性呢？仍然未解。

下面各節區分 PDE 本身、形式化的 Clay 陳述、尺度變換障礙、標準子問題，以及塑造此領域的各種方法。

每日更新的橫向列表，展示與 Navier-Stokes 主題相關的新論文、修訂稿和交叉列表論文。

每個頁面都有兩個版本。頁首的簡明／形式切換可在白話解說與完整數學處理之間切換。你可以隨時更改模式，而不會失去所在位置。

每個頁面皆以平行方式撰寫。簡明模式提供物理直覺；形式模式提供 PDE 層級的陳述。可自由切換——兩種模式的結構彼此對應。