Navier-Stokes 指南：方程式、Clay 獎與目前狀態

Navier-Stokes 方程式描述流體如何運動。它們用於研究空氣、水、血液、天氣與湍流。

本站的重點不是這些方程式是否有用。它們當然有用，而且在應用上非常成功。真正的問題是 Clay 千禧年獎背後的問題：如果從一個完全光滑的三維流開始，它會永遠保持光滑嗎？還是可能爆發？

沒有人知道。這正是此問題特殊之處。

下面把主題分成清楚路徑：方程式本身、是否已解決的目前狀態、Clay 正式問題陳述、數學障礙、標準化簡，以及人們嘗試過的證明策略。

本站聚焦於三維非壓縮 Navier-Stokes 在$\mathbb{R}^3$或$\mathbb{T}^3$上的大域正則性問題。

方程式為

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

在 Clay 的設定中，我們考慮光滑且無散度的初始資料，或者是在$\mathbb{R}^3$上快速衰減，或者是在$\mathbb{T}^3$上光滑週期。問題是：這樣的資料是否總是產生唯一的大域光滑解，還是光滑性可能在有限時間內崩潰？Leray 1934 年的理論給出了大域弱解。三維中的大域光滑性與唯一性呢？仍然未解。

下面各節區分 PDE 本身、形式化的 Clay 陳述、尺度變換障礙、標準子問題，以及塑造此領域的各種方法。