千禧年懸賞問題

Navier-Stokes 指南：方程式、Clay 獎與目前狀態

了解方程式、精確解、Clay 千禧年問題，以及關於三維流動能否保持光滑的百年研究。

狀態更新 資料核查日期：

外力作用下有限時間爆破的證明已宣布

2026年9月8日，OpenAI 宣布證明：在光滑外力作用下，三維不可壓 Navier–Stokes 方程式的解可以在有限時間內爆破，即 Clay 的選項 C 和 D。9月11日，Clay 表示問題「看來已獲解決」；評估將刻意從容進行，目前沒有頒發任何獎項。該結果並未回答無外力的流動是否總保持光滑。

從這裡開始

01

學習方程式

了解方程式描述什麼，以及每一項的作用。

 02

查看具體解與範例

查看可精確計算的特殊流動，以及它們為何不能解決這個Clay 問題。

 03

了解Clay 問題

Clay 官方問題究竟問什麼、三維為何困難，以及問題的現狀。

 04

查看研究進展

了解數學家已經證明了什麼、嘗試過哪些方法，以及哪些問題仍無答案。

初次造訪？建議從方程式開始。

即時流體模擬。拖曳以攪動。

水 蜂蜜

模擬背後的方程式

∂tu  +  (u⋅∇)u  =  −∇p  +  νΔu,∇⋅u=0\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}
這些項代表什麼？
粘性ν∆u
流體有多稠——蜂蜜抗拒旋轉，水則自由流動。上方滑桿控制此項 粘性擴散——使流動變平滑並擴散。由上方的 ν 滑桿控制
動量(u·∇)u 運動會攜帶運動——快速水流會拖曳附近流體，產生渦旋 非線性平流——速度輸運自身，產生渦旋伸長與串級
壓力−∇p 當流體聚集時，壓力會把它推開——求解器會自動處理這件事 壓力梯度——由投影步驟計算，以強制滿足無散度約束
變化∂ₜu 結果——流體速度在每一點如何改變，由所有其他項計算得出 淨變化率——左手邊，由平流、壓力與粘性的平衡決定
守恆∇·u = 0 流體不能壓縮或膨脹——它只是重新排列，這正是水之所以像水的原因 無散度約束——每一步由 Helmholtz-Hodge 投影滿足

三維問題實際上在問什麼

Navier-Stokes（納維-斯托克斯）方程式是一組偏微分方程式，描述水與空氣等黏性流體的運動。它們在流體的慣性與壓力、黏性和外力之間取得平衡，應用範圍從飛機設計、管路流動，到天氣預報與血液流動，無所不包。

著名的開放問題在於這些方程式在三維中預言了什麼。從一個能量有限的光滑流動出發：解會永遠保持光滑，還是速度可能在有限時間後變為無限大？Clay 的官方問題陳述接受四種答案中的任一種：證明在沒有外力時每個光滑的初始狀態都保持光滑，針對整個空間（A）或週期盒子（B）；或在任一設定下給出破裂的例子，其中也可以選擇一個光滑、快速衰減的外力（C 和 D）。在二維中，已知光滑解會永遠存在；在無外力時，三維問題仍未解決。

精確條件在Clay 官方問題陳述詳解中說明，其背後一個世紀的研究成果則見Navier-Stokes 問題的進展。

Clay 在2000年把 Navier–Stokes 選為七個千禧年問題之一，因為它兼具根本性的數學困難與流體動力學中方程式的核心地位。2026年9月的聲明改變了問題狀態，而非這些重要性理由。

一手資料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay 官方問題陳述.

∂tu+(u⋅∇)u=−∇p+νΔu,∇⋅u=0.\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.

本站以 R3\mathbb{R}^3 或 T3\mathbb{T}^3 上的三維不可壓縮 Navier-Stokes 全域正則性問題為中心：對於滿足官方衰減（或週期性）條件的光滑無散度初始資料，且 f≡0f\equiv0，是否存在對所有 t≥0t\ge0 光滑、並在 R3\mathbb{R}^3 上能量有界的解？Clay 的表述接受全域存在性的證明（R3\mathbb{R}^3 上的 A、T3\mathbb{T}^3 上的 B，皆為 f≡0f\equiv0），或一個破裂例子，其中也可以選擇滿足官方衰減條件的光滑外力（C、D）。二維的類似問題早已解決；對於 f≡0f\equiv0，三維問題仍未解決。

形式條件：Clay 官方問題陳述詳解。結果與方法：進展。

Clay 在2000年把 Navier–Stokes 選為七個千禧年問題之一，因為它兼具根本性的數學困難與流體動力學中方程式的核心地位。2026年9月的聲明改變了問題狀態，而非這些重要性理由。

一手資料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clay 官方問題陳述.

常見問題

什麼是 Navier-Stokes（納維-斯托克斯）方程式？

Navier-Stokes（納維-斯托克斯）方程式是一組偏微分方程式，描述水與空氣等黏性流體的運動。它們在流體的慣性與壓力、黏性和外力之間取得平衡，應用範圍從飛機設計、管路流動，到天氣預報與血液流動，無所不包。

Navier-Stokes 方程式已經被解決了嗎？

2026年9月8日，OpenAI 宣布證明：在光滑外力作用下，三維不可壓 Navier–Stokes 方程式的解可以在有限時間內爆破，即 Clay 的選項 C 和 D。9月11日，Clay 表示問題「看來已獲解決」；評估將刻意從容進行，目前沒有頒發任何獎項。該結果並未回答無外力的流動是否總保持光滑。

為何 Navier-Stokes 問題是千禧年大獎難題？

Clay 在2000年把 Navier–Stokes 選為七個千禧年問題之一，因為它兼具根本性的數學困難與流體動力學中方程式的核心地位。2026年9月的聲明改變了問題狀態，而非這些重要性理由。

每日更新的橫向列表，展示與 Navier-Stokes 主題相關的新論文、修訂稿和交叉列表論文。

每個頁面都有兩個版本。頁首的簡明／形式切換可在白話解說與完整數學處理之間切換。你可以隨時更改模式，而不會失去所在位置。

每個頁面皆以平行方式撰寫。簡明模式提供物理直覺；形式模式提供 PDE 層級的陳述。可自由切換——兩種模式的結構彼此對應。