O Que São as Equações de Navier-Stokes?

As equações de Navier-Stokes são um sistema de equações diferenciais parciais que descrevem o movimento de fluidos viscosos como água e ar.

Elas são usadas para descrever água num cano, ar ao redor da asa de um avião, sangue numa artéria e inúmeros outros escoamentos.

Em termos gerais, elas dizem: um fluido muda seu movimento devido à pressão, viscosidade e quaisquer forças que atuam sobre ele. A pressão empurra o fluido, a viscosidade suaviza diferenças bruscas no movimento, e forças externas como a gravidade podem impulsionar o escoamento.

Estas equações não são apenas um slogan da física. Elas são a linguagem de trabalho de grande parte da dinâmica de fluidos, engenharia e simulação computacional.

As equações de Navier-Stokes são as equações de balanço de momento para um fluido newtoniano viscoso. No regime incompressível, elas acoplam o campo de velocidade $u(x,t)$ e a pressão $p(x,t)$ através de um sistema de EDPs não lineares.

Estritamente falando, Navier-Stokes é um sistema de equações em vez de uma única equação. Elas modelam a conservação de momento juntamente com a lei constitutiva de que a tensão viscosa é proporcional ao gradiente simétrico de velocidade. A incompressibilidade adiciona a restrição de que o volume é preservado localmente.

Para o problema do Milênio Clay e para a maior parte deste site, o regime relevante é o sistema incompressível 3D.

Na sua forma comum mais simples, as equações são assim:

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0$$

Aqui:

• $u$ é a velocidade do fluido
• $p$ é a pressão
• $\nu$ é a viscosidade cinemática
• $f$ é qualquer força externa, como a gravidade

O lado esquerdo descreve como a velocidade muda no tempo e como o fluido transporta seu próprio movimento. O lado direito contém as forças que empurram e suavizam o escoamento.

O sistema de Navier-Stokes incompressível em $\mathbb{R}^3$ é

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f,$$

$$\nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

Os termos têm interpretações padrão:

• $\partial_t u$: variação temporal local
• $(u \cdot \nabla)u$: advecção não linear, significando que o fluido transporta sua própria velocidade
• $-\nabla p$: força de pressão
• $\nu \Delta u$: difusão viscosa
• $f$: forçamento externo
• $\nabla \cdot u = 0$: restrição de incompressibilidade

Esta é a forma usada ao longo das páginas do site sobre o problema do Milênio, dificuldade e estratégias de prova.

As equações vêm de uma ideia simples: aplicar a segunda lei de Newton a uma pequena parcela de fluido. A massa dessa parcela vezes sua aceleração deve ser igual à força total atuando sobre ela.

Para um fluido viscoso, essas forças vêm principalmente da pressão e do atrito interno. Quando você escreve esse balanço cuidadosamente em cada ponto do fluido, você obtém as equações de Navier-Stokes.

Portanto, as equações não são arbitrárias. Elas são uma versão de mecânica do contínuo de força igual a massa vezes aceleração. Para a derivação completa passo a passo, veja Como as Equações de Navier-Stokes São Derivadas.

A derivação começa a partir da conservação de momento para um contínuo. Escreve-se o balanço de momento linear num volume material e então localiza-se a identidade para obter uma EDP.

Para um fluido newtoniano incompressível, o tensor de tensão de Cauchy tem a forma

$$T = -pI + 2\mu D(u), \qquad D(u)=\frac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T),$$

onde $\mu$ é a viscosidade dinâmica. Substituindo esta lei constitutiva na equação de momento e dividindo pela densidade obtém-se o sistema incompressível familiar com viscosidade cinemática $\nu = \mu/\rho$.

No regime incompressível padrão de densidade constante, a equação de continuidade reduz-se a $\nabla \cdot u = 0$. Para a derivação completa a partir do balanço de momento e da lei constitutiva newtoniana, veja Derivação.

A parte difícil é o termo não linear $(u \cdot \nabla)u$. O fluido não apenas responde a forças externas; ele também empurra a si mesmo. Essa retroalimentação é o que torna possível a turbulência e o movimento de aparência caótica.

Em duas dimensões espaciais, as equações são muito mais bem comportadas. Em três dimensões, ainda não sabemos se todo escoamento inicial suave permanece suave para sempre.

É por isso que estas equações são famosas muito além da engenharia: elas levam diretamente ao Problema do Milênio de Navier-Stokes.

A principal dificuldade analítica é que a estimativa de energia natural é mais fraca do que o escalonamento da equação 3D. Grosso modo, o controle $L^2$ padrão não é forte o suficiente para descartar concentração em escalas muito pequenas.

Esta é a fonte da lacuna entre o que é conhecido para soluções fracas globais e o que seria necessário para provar suavidade global. O termo de advecção não linear é supercrítico em energia: o controle no nível de energia natural é supercrítico em relação ao escalonamento da equação, portanto é fraco demais para descartar concentração em pequenas escalas.

Para uma discussão mais completa, veja Por Que É Difícil e Abordagens.

As equações de Navier-Stokes são usadas todos os dias na ciência e engenharia. Aplicações típicas incluem:

• escoamento de ar ao redor de asas e veículos
• modelos meteorológicos e climáticos
• circulação oceânica
• transporte industrial de fluidos
• fluxo sanguíneo e outros problemas de transporte biológico

Na prática, as pessoas resolvem aproximações destas equações numericamente, frequentemente com suposições de modelagem adicionais. Esse sucesso prático é uma razão pela qual as questões matemáticas restantes são tão marcantes.

O trabalho aplicado tipicamente usa aproximações numéricas de Navier-Stokes ou modelos relacionados sob regimes específicos: escoamento incompressível, escoamento compressível, fechamentos de turbulência, aproximações de camada limite e modelos reduzidos.

Simulação numérica direta, simulação de grandes escalas e fechamentos médios de Reynolds todos remontam ao mesmo arcabouço de EDP contínua, mas não eliminam a questão fundamental de regularidade em três dimensões.

Esta divisão entre eficácia prática e teoria incompleta é parte do que torna o assunto tão fascinante.

Se sua principal questão é se o problema está resolvido, comece com O Problema de Navier-Stokes Está Resolvido?.

Se você quer as questões matemáticas amplas, continue para O Problema do Milênio.

Se você quer entender como Navier-Stokes difere das equações de Euler não viscosas e por que a viscosidade importa, leia Euler vs. Navier-Stokes.

Se você quer a intuição física por trás da turbulência e pequenas escalas, leia Número de Reynolds, Turbulência e Por Que Pequenas Escalas Importam.

Se você quer os principais obstáculos, vá para Por Que É Difícil.

Próximos passos naturais neste site:

• O Problema de Navier-Stokes Está Resolvido? para a questão do estado atual e a distinção entre existência fraca e teoria suave global
• O Problema do Milênio para a formulação precisa de Clay
• Euler vs. Navier-Stokes para o papel da viscosidade e as diferenças-chave entre os sistemas não viscoso e viscoso
• Navier-Stokes Incompressível vs. Compressível para a diferença entre formulações de densidade constante e densidade variável
• Número de Reynolds, Turbulência e Por Que Pequenas Escalas Importam para a intuição em nível de regime por trás do escoamento multiescala
• Por Que É Difícil para escalonamento, supercriticidade e cenários de explosão