ナビエ–ストークス問題は解決されたのか？2026年9月の更新

OpenAIは、Clayが提示したとおりの形で問題を解決するとOpenAI自身が述べる証明を発表し、Clayは問題が「解決されたようだ」と述べています。2026年9月8日、OpenAIは、静止状態から出発し滑らかな外力で駆動される3次元非圧縮ナビエ–ストークス方程式の滑らかな解が、有限時間で非有界な速度をもつに至ることを発表し、これをClayの公式問題における破綻の選択肢CとDに当たるものとして提示しました。公式問題は、四つの可能な答えのうちいずれか一つを求めています。Clayの声明は9月11日に出されました。評価と功績の帰属の判断は意図的に時間をかけて進められており、賞は授与されていません。

わかりやすく言えば、問われていたのは、水や空気の流れを記述する方程式が、完全に滑らかな初期状態から無限大の速度を生み出して「壊れる」ことがありうるか、ということでした。発表された証明によれば、答えは「はい」です。ただしそれは、外部からの滑らかな押しがちょうどよい形で加えられた場合です。その押しがない場合に同じことが起こるとは示しておらず、現実の水が無限の速さに達すると予言するものでもありません。

資料の状況は2026-09-29（JST）に確認しました。このページは一次資料が述べている内容を伝えるもので、私たち自身が証明を検証したものではありません。

一次資料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clayの公式問題文 · 論文原稿（PDF）.

OpenAIは、Clayが提示したとおりの形で問題を解決するとOpenAI自身が述べる証明を発表し、Clayは問題が「解決されたようだ」と述べています。2026年9月8日、OpenAIは、静止状態から出発し滑らかな外力で駆動される3次元非圧縮ナビエ–ストークス方程式の滑らかな解が、有限時間で非有界な速度をもつに至ることを発表し、これをClayの公式問題における破綻の選択肢CとDに当たるものとして提示しました。公式問題は、四つの可能な答えのうちいずれか一つを求めています。Clayの声明は9月11日に出されました。評価と功績の帰属の判断は意図的に時間をかけて進められており、賞は授与されていません。

公開された原稿は（定理1.1）、任意の粘性係数 $\nu>0$ に対して、外力 $f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty);\mathbb{R}^3)$、コンパクト集合 $K\subset\mathbb{R}^3$、および $\mathbb{R}^3\times[0,1)$ 上の滑らかな $(u,p)$ が存在して、$u_0=0$ として方程式を満たし、速度と圧力の台はいずれも各時刻で $K$ に含まれ、$\sup_{0\le t<1}\|u(t)\|_{L^2}<\infty$ でありながら $\limsup_{t\uparrow1}\|u(t)\|_{L^\infty}=\infty$ となる、と主張しています。その帰結として、同じ外力と初期値をもつ $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ 上の滑らかな解で、運動エネルギーが一様に有界なものは存在しないと述べています。これが選択肢Cです。系10.6は $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$ 上の周期版を与え、時間についてコンパクトな台をもつ滑らかな外力に対して、大域的な滑らかな周期解が存在しないことを示します。これが選択肢Dです。外力は $t=1$ においても、その後も滑らかなままです。以上は著者らによる定理の主張を書き写したもので、ここで検証したものではありません：OpenAI — Navier–Stokes（PDF）、1.1 / 10.6。

資料の状況は2026-09-29（JST）に確認しました。このページは一次資料が述べている内容を伝えるもので、私たち自身が証明を検証したものではありません。

一次資料: Clay (2026-09-11) · OpenAI (2026-09-08) · Lean / GitHub · Clayの公式問題文.

• 2026年9月8日 — OpenAI。滑らかな外力をもつ3次元非圧縮方程式の有限時間爆発の証明を発表し、それがClayの公式定式化の選択肢C（およびD）を確立すると述べました。原稿とLeanによる形式化を公開し、これとは別に、外力のない3次元Euler方程式の爆発も発表しました。OpenAIはミレニアム賞を請求するつもりはないとしています。
• 2026年9月10日 — リポジトリ。当サイトが確認した時点での、公開Leanリポジトリへの最新コミットの日付です。そのメタデータでは、レビュー状況はいまも「self-assessed」（自己評価）と記されています。
• 2026年9月11日 — クレイ数学研究所。「ナビエ–ストークス問題が解決されたようだという発表を受け止めるにあたり、世界の数学界とともにその興奮を分かち合う」と述べ、研究を評価し功績を帰属させるプロセスは「意図的に時間をかけて進める」ものだとしました。
• 2026年9月29日 — 当サイトによる資料確認。Clayの発表ページとニュースページには、その後の決定は掲載されていませんでした。これはそれらのページだけを確認したものであり、あらゆる機関の声明やあらゆる独立した査読について述べるものではありません。

• 2026年9月8日 — OpenAI。滑らかな外力をもつ3次元非圧縮方程式の有限時間爆発の証明を発表し、それがClayの公式定式化の選択肢C（およびD）を確立すると述べました。原稿とLeanによる形式化を公開し、これとは別に、外力のない3次元Euler方程式の爆発も発表しました。OpenAIはミレニアム賞を請求するつもりはないとしています。
• 2026年9月10日 — リポジトリ。当サイトが確認した時点での、公開Leanリポジトリへの最新コミットの日付です。そのメタデータでは、レビュー状況はいまも「self-assessed」（自己評価）と記されています。
• 2026年9月11日 — クレイ数学研究所。「ナビエ–ストークス問題が解決されたようだという発表を受け止めるにあたり、世界の数学界とともにその興奮を分かち合う」と述べ、研究を評価し功績を帰属させるプロセスは「意図的に時間をかけて進める」ものだとしました。
• 2026年9月29日 — 当サイトによる資料確認。Clayの発表ページとニュースページには、その後の決定は掲載されていませんでした。これはそれらのページだけを確認したものであり、あらゆる機関の声明やあらゆる独立した査読について述べるものではありません。

ナビエ–ストークス方程式において、外力項 $f$ は流体を外部から押すあらゆるもの、つまり重力、かき混ぜる羽根、ポンプなどを表します。$f=0$ なら、流体は単に初期状態から時間発展します。

チャールズ・フェファーマンが執筆したClayの公式問題文は、問題を解決する四つの方法を挙げ、そのうち一つで十分だとしています。二つは存在に関する主張で、滑らかで性質のよい初期の流れはすべて永遠に滑らかなままだ、というものです。これらは外力なしで設定されています（全空間ではA、周期的な箱ではB）。残りの二つは破綻に関する主張で、そこでは解答者が滑らかな初期の流れと滑らかな外力の両方を選べます。ただし、外力とそのすべての導関数が急速に減衰することが条件です。全空間では空間と時間の両方について（C）、周期的な箱では時間について（D）減衰しなければなりません。問題文はこの四つの選択肢について、「問題の核心を保ちつつ、解答者に合理的な裁量の余地を与える」ものだと述べるのみです。

いいえ。発表された構成は、慎重に選ばれた滑らかな外力に依存しています。外力のない滑らかな流れがすべて永遠に滑らかなままかどうか（選択肢AとB）を決着させるものではなく、Clayの問題文もそれを要求していません。求められているのは四つすべてではなく、一つの選択肢です。

発表された構成における外力は、隠れた特異性ではありません。滑らかで、空間の有界な領域と有界な時間区間に限られており、速度が非有界になる瞬間にも滑らかなままです。全運動エネルギーも有界のままです。エネルギーが有界でも、最大速度が非有界になることは妨げられません。運動がどんどん小さな領域に集中しうるからです。

系を $\partial_t u + (u\cdot\nabla)u = -\nabla p + \nu\Delta u + f$, $\nabla\cdot u=0$ と書きます。AとBでは $f\equiv0$ であり、主張は全称的です：すべての許容される $u_0$ が大域的な滑らかな解をもつ（$\mathbb{R}^3$ 上ではエネルギー有界）。CとDでは主張は存在的です：ある許容される組 $(u_0,f)$ が、要求されるクラスにおいて大域的な滑らかな解をもたない。$\mathbb{R}^3$ 上では、外力は条件(5)を満たさなければなりません：

$$|\partial_x^\alpha\partial_t^m f(x,t)|\le \frac{C_{\alpha m K}}{(1+|x|+t)^{K}},$$

これはすべての多重指数 $\alpha$ とすべての $m,K$ について成り立つ必要があります。$\mathbb{T}^3$ 上では、$t$ に関する減衰のみを課す条件(9)を満たさなければなりません。時空間でコンパクトな台をもつ滑らかな外力は(5)を満たします。

したがって、CはAの否定ではありません。Aの否定とは、$f\equiv0$ のもとで大域的な滑らかでエネルギー有界な解をもたない許容 $u_0$ が存在することです。一方Cは、滑らかで急速に減衰する外力もあわせて選んだ反例を認めます。公式の文章は、四通りの定式化の理由として「問題の核心を保ちつつ、解答者に合理的な裁量の余地を与える」ことを挙げるのみです。CまたはDの証明は、AとBの真偽を未決のまま残しつつ、提示されたとおりの問題を解決します。

いいえ。発表された構成は、慎重に選ばれた滑らかな外力に依存しています。外力のない滑らかな流れがすべて永遠に滑らかなままかどうか（選択肢AとB）を決着させるものではなく、Clayの問題文もそれを要求していません。求められているのは四つすべてではなく、一つの選択肢です。

Clayが求めるのは四つすべてではなく、一つの選択肢の証明です：(A) R³上で外力なしの大域的な滑らかな解の存在、(B) 周期的トーラスT³上で外力なしの大域的な滑らかな解の存在、(C) 許容される滑らかな外力を認めたR³上の破綻、(D) 許容される滑らかな外力を認めた周期的な破綻。A/Bはすべての許容初期データを対象とし、C/Dには許容される反例が必要です。外力付きの破綻はA/Bの反証にはなりません。

正確な条件（減衰、エネルギー上界、周期性）についてはClayの公式問題文の解説を参照してください。そこでは、発表された定理をCとDに一行ずつ対応づけています。

以下の全空間での記述はAとCの要約で、公式の仮定をすべて列挙したものではありません。Aでは $f=0$ です。Cでは外力のすべての空間・時間微分がClayの減衰条件を満たし、存在しないとする大域解は公式の滑らかでエネルギー有界なクラスの解です。周期的な選択肢はBとDです。

Clayが求めるのは四つすべてではなく、一つの選択肢の証明です：(A) R³上で外力なしの大域的な滑らかな解の存在、(B) 周期的トーラスT³上で外力なしの大域的な滑らかな解の存在、(C) 許容される滑らかな外力を認めたR³上の破綻、(D) 許容される滑らかな外力を認めた周期的な破綻。A/Bはすべての許容初期データを対象とし、C/Dには許容される反例が必要です。外力付きの破綻はA/Bの反証にはなりません。

1. (A) 存在と滑らかさ：すべての $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ であって、$\nabla \cdot u_0 = 0$ かつ $|\partial_x^\alpha u_0(x)| \leq C_{\alpha K} (1 + |x|)^{-K}$ をすべての $\alpha, K$ に対して満たすものについて、方程式を満たす $(u, p) \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ の存在を証明せよ。ただし $\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C$ がすべての $t \geq 0$ で成り立つこと。
2. (C) 破綻： $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$（発散なし、所定の減衰を満たす）と、外力の微分の減衰条件(5)を満たす $f \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ を構成し、指定された初期データと時間に関して一様有界な運動エネルギーを持つ $(u,p) \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ が系を満たすことはないと示します。

混同しやすい三つの事柄があります：

• 数学的な主張。長い原稿とLeanによる形式化です。リポジトリは、主要な結果が完全に形式化され、未完了のステップ（「sorry」）はないと報告しており、レビュー状況を「self-assessed」（自己評価）としています。このラベルは著者ら自身のメタデータであり、独立した検証を確立するものでも、ほかの誰も確認していないことを示すものでもありません。形式的証明は意図された定理の主張とも照合する必要があり、それは別個の確認作業です。
• Clayの反応。9月11日の声明は、問題が解決されたようだということを認めるものです。認定や賞の授与ではなく、受賞者の名前も挙げていません。
• 賞の手続き。Clayの規則は、条件として、要件を満たす媒体での出版、出版から少なくとも2年の経過、数学界における一般的な受容などを挙げています。OpenAIは100万ドルの賞金を請求するつもりはないと述べています。いずれの点も、時期や結果を意味するものではありません。

このサイトは公開資料を報告するものです。私たちは証明を監査しておらず、Leanプロジェクトをビルドしておらず、形式的な主張と非形式的な主張の対応も確認していません。

OpenAIは、外力のない3次元Eulerで滑らかな初期データからの爆発も発表しました。この非粘性の結果は、外力のない粘性ナビエ–ストークスの爆発を示すものではありません。

• 原稿。上に引用したとおり、定理1.1（全空間）と系10.6（周期）。周期版の系には別個のエネルギー不等式は記載されていませんが、公式のDはそれを要求していません。
• 形式化。リポジトリのメタデータ（コミット f9e8bc5、2026年9月10日）は、定理1.1と系10.6を二つのLean宣言に対応づけ、sorry がゼロであること、および標準的な公理 propext、Classical.choice、Quot.sound のみを用いていることを報告しており、CとDの参照用の主張はFormal Conjecturesプロジェクトから取っています。レビュー状況は「self-assessed」（自己評価）です。これらは著者が提供した情報です。ビルド、公理の監査、形式的な主張がフェファーマンの文章と一致するかの確認はそれぞれ独立した作業であり、本サイトでは行っていません。
• 機関と賞。Clay（9月11日）：「解決されたようだ」、評価と功績の帰属は「意図的に時間をかけて」。Clayの規則は、条件として要件を満たす出版、2年の期間、一般的な受容を挙げています。OpenAIは100万ドルの賞金を請求するつもりはないとしています。

OpenAIは、外力のない3次元Eulerで滑らかな初期データからの爆発も発表しました。この非粘性の結果は、外力のない粘性ナビエ–ストークスの爆発を示すものではありません。

問題は完全に暗闇ではありません — 数学者たちは過去1世紀にわたって深い進展を遂げてきました：

• 弱解は存在する（ルレイ、1934年）。解の概念を弱めれば、大域解は存在します。外力がない場合、それらが滑らかで一意なままかどうかはいまも未解決です。
• 2次元は決着済み。2次元では、滑らかな解がすべての時間にわたって存在します。これは古くから知られており、Clayの問題文はラディジェンスカヤの業績を挙げています。難しさは3次元に特有のものです。
• 特異点は稀である（カファレリ–コーン–ニーレンバーグ、1982年）。3次元で特異点が存在するとしても、1次元放物型ハウスドルフ測度ゼロの集合に限定されます。方程式に自然な幾何で見ても極めて小さい集合です。
• 短時間の解は存在する。任意の滑らかな初期データに対して、少なくとも短い時間は一意の滑らかな解が存在します。問題はそれを常に永遠に延長できるかどうかです。

つまり、ギャップは狭いけれども深いのです。解が滑らかに始まることも、弱解が大域的に存続することもわかっています。しかし外力のない3次元の流れについて、滑らかさが常に保たれることを証明した人はおらず、外力なしの反例も知られていません。

確立された主要な結果：

• ルレイ（1934年）：エネルギー不等式 $\|u(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \|u_0\|_{L^2}^2$ を満たす大域弱（超関数）解の存在。$f\equiv0$ のとき、このクラスにおける一意性は？未解決です。
• 2次元：2次元非圧縮問題では、滑らかで発散ゼロのデータから一意な大域的滑らかな解が得られます。古くから知られており、Clayの問題文はラディジェンスカヤを引用しています。
• カファレリ–コーン–ニーレンバーグ（1982年）：適切な弱解の部分正則性 — 特異点集合の1次元放物型ハウスドルフ測度はゼロ：$\mathcal{P}^1(S) = 0$。
• 局所適切性：$s > 3/2$ の発散ゼロな $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$、またはスケーリング臨界空間 $\dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}^3)$（藤田–加藤、1964年）に属するデータに対して、ある区間 $[0, T^*)$ 上に一意な局所強解（mild解）が存在し、正の時刻では滑らかです。コッホ–タタル（2001年）は、臨界空間 $BMO^{-1}$ において十分小さいデータに対する大域適切性を証明しました。すべての許容データに対して $T^* = \infty$ となるのでしょうか？

ギャップはここにあります：弱解が大域的に存在することはわかっており、強解が完全な一意性とともに局所的に存在することもわかっています。$f\equiv0$ の場合、強解が常にすべての時間へ延長できるかどうかは未解決のままです。2026年の主張は、外力のあるデータに関するものです。

ここに示すエネルギー評価は外力がゼロの場合です。外力がある場合、右辺には仕事の項も加わります： $2\int_0^t\!\int f(x,s)\cdot u(x,s)\,dx\,ds$.

• 外力なしの大域正則性。外力のない、滑らかで有限エネルギーの流れはすべて永遠に滑らかなままか（ClayのAとB）？発表された結果は、これを決着させるものではありません。
• 外力なしでの一意性。特別に設計された外力のもとで、アルブリトン、ブリュエ、コロンボ（2022年）はルレイ–ホップ弱解が一意でない場合があることを示しました。外力がない場合、このクラスでの一意性は未解決です。
• 検証と受容。専門家による原稿の精読、形式的な主張と非形式的な主張の照合、そして規則に基づくClayの評価は、それぞれ別の段階です。ここで確認した資料は、完了した賞の評価を報告していません。
• メカニズム。この構成が、粘性流がどのように集中しうるかについて何を明らかにするのか、そして外力なしでも同様のことが起こりうるのかは、研究課題です。

部分正則性、延長判定条件、弱解の理論は、これらの問いに取り組むための道具であり続けています。部分問題と2026年を含む進展の歴史を参照してください。

• A/B。$f\equiv0$ とすべての許容される $u_0$（$\mathbb{R}^3$ 上で減衰するもの、または周期的なもの）に対して、大域的な滑らかな解は存在するか？証明も、外力なしの反例も知られていません。
• $f\equiv0$ に対するルレイ–ホップ解の一意性。未解決。適切な外力のもとでの非一意性は知られており（アルブリトン–ブリュエ–コロンボ、2022年）、外力なしでも、ルレイ–ホップ・クラスの外にある超関数の意味の弱解については非一意性が知られています（バックマスター–ヴィコル、2019年）。
• 検証。独立した精読、形式的主張と非形式的主張の対応、Clayの手続きは、発表そのものとは別のものです。
• 特異性の構造。発表された外力付き特異性の爆発レート、幾何、安定性、およびそれらとType I/Type IIのシナリオや、外力なし問題に対する延長判定条件との関係。

部分問題と進展を参照してください。

外力とは、速度の方程式への外部からの入力のことであり、無限大になる力のことではありません。ナビエ–ストークス方程式は連続体モデルです。流体を滑らかな物質として扱い、分子スケールでは正確な記述ではありません。方程式における特異性は、そのモデルの数学についての主張です。現実の水や空気が無限の速さに達すると予言するものではなく、今回の発表は任意の流れに対する閉じた形の公式でも、新しい工学的手法でもありません。

それでもこの問いは、物理学や工学にとって意味があります。方程式は日々使われており、それが破綻しうるかどうかを知ることで、モデル自体が何を保証でき、何を保証できないかがわかるのです。

この結果は、理想化された偏微分方程式、すなわち密度と粘性が一定の非圧縮ニュートン連続体の古典解に関するものです。$t=1$ における $\|u\|_{L^\infty}$ の非有界性はそのモデルの性質であり、モデルの仮定（連続体仮説、構成則、非圧縮性）は任意に小さなスケールで成り立つようには設計されていません。そのようなメカニズムの物理的な意味は別の問題であり、定理はそれを扱っていません。

また、これは一般的な解の公式でもありません。厳密な閉じた形の解は依然として特殊な場合に限られ、実際の計算は数値計算のままです。ナビエ–ストークス方程式を解くを参照してください。

• 1822年 — ナビエが分子論的考察から方程式を導出
• 1845年 — ストークスが近代的な数学的形式を与える
• 1934年 — ルレイが弱解の大域的存在を証明
• 1969年：ラディジェンスカヤのモノグラフ。Clayの問題文は2次元の理論についてこれを引用しています。2次元での大域正則性は古くから知られています。
• 1982年 — カファレリ、コーン、ニーレンバーグが部分正則性を証明：特異点は存在するとしても極めて稀である
• 1984年 — ビール、加藤、マイダが3次元オイラー方程式の爆発への唯一の経路が非有界渦度を通ることを示す（判定条件はナビエ–ストークスにも拡張）
• 2000年 — クレイ数学研究所がミレニアム懸賞問題に指定
• 2014年：タオが方程式の平均化版に対して爆発を構成し（プレプリント。2016年に出版）、エネルギーとスケーリングだけでは特異性を排除できないことを示しました。
• 2026年：OpenAIが、ClayのCとDを主張する、滑らかな外力による爆発の証明を発表。Clayは問題が「解決されたようだ」と述べ、評価は意図的に時間をかけて行われています。

全体の流れについてはナビエ–ストークス問題の研究の進展を参照してください。

• 1822年 — ナビエ：分子応力モデルを介した方程式の導出
• 1845年 — ストークス：厳密な連続体導出
• 1934年 — ルレイ：$L^2$ における弱解の大域的存在；ルレイ射影とエネルギー不等式を導入
• 1951年 — ホップ：ルレイの構成を有界領域に拡張（ルレイ–ホップ弱解）
• 1962年 — セリン：条件付き正則性 — $u \in L^p_t L^q_x$、$2/p + 3/q \leq 1$、$q > 3$ ならば滑らか；端点の $L^\infty_t L^3_x$ はエスカウリアサ–セレギン–シュヴェラークが2003年に解決
• 1969年：ラディジェンスカヤのモノグラフ。2次元の大域正則性は古くから既知。
• 1982年 — カファレリ–コーン–ニーレンバーグ：スケーリングされたエネルギー評価による部分正則性；$\mathcal{P}^1(S) = 0$
• 1984年 — ビール–加藤–マイダ：3次元オイラーの爆発判定条件 — $T^* < \infty$ ならば $\int_0^{T^*} \|\omega(s)\|_{L^\infty} \, ds = \infty$（ナビエ–ストークスにも類似の継続判定条件が成り立つ）
• 2000年 — クレイ・ミレニアム問題の指定（フェファーマンの定式化）
• 2014年 — タオ：平均化ナビエ–ストークス方程式に対する有限時間爆発（プレプリント；JAMS 2016年出版）、純粋に構造保存的な議論では特異点を排除できないことを示す
• 2026年：CとDを主張する、滑らかな外力による爆発の発表（原稿の定理1.1、系10.6）。Clay：「解決されたようだ」。

背景と関連：進展。

この記事は未解決問題の一部です。

現状がわかったところで、より深い問題を探索してください：なぜこの問題はこれほど難しいのか？、数学者が取り組んでいる主要な部分問題は何か、そしてどのようなアプローチが試みられてきたか。

クレイの正式な問題文については、ミレニアム問題のページをご覧ください。この問題がどのバージョンの方程式を扱うかを理解するには、非圧縮 vs. 圧縮ナビエ–ストークスをご覧ください。

この記事は未解決問題の一部です。

クレイの正確な定式化と賞の条件については、ミレニアム問題をご覧ください。数学的障害については、なぜ難しいのかをご覧ください。部分的結果と戦略の全体像については、部分問題とアプローチをご覧ください。クレイ問題が扱う方程式のどのバージョンかについては、非圧縮 vs. 圧縮ナビエ–ストークスをご覧ください。