압축성 나비에-스토크스 방정식: 밀도, 운동량, 에너지

압축성 나비에-스토크스 방정식은 밀도가 변하는 유동을 기술합니다. 밀도가 미지수가 되고, 압력은 열역학과 연결되며, 보통 에너지도 추적해야 합니다.

압축성 시스템은 밀도 $\rho$, 속도 $u$, 압력 $p$, 총 비에너지 $E=e+\tfrac12|u|^2$를 결합합니다. 이상 기체에서는 $p=(\gamma-1)\rho e$ 같은 상태 방정식으로 닫습니다.

질량 보존은 $$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u)=0$$ 입니다. 유동이 유체 입자를 압축하거나 팽창시키면 밀도가 변합니다.

표준형은 $$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u)=0,$$ $$\partial_t(\rho u)+\nabla\cdot(\rho u\otimes u)+\nabla p=\nabla\cdot\tau+\rho f$$ 에 에너지 방정식과 응력 텐서 구성 법칙을 더합니다.

압축성 유동에서 압력은 밀도와 온도에 연결됩니다. 마하 수 $$\mathrm{Ma}=|u|/c$$ 가 작지 않을 때 압축성이 중요해집니다.

압축성 시스템의 쌍곡 부분은 음속 $c=\sqrt{\partial p/\partial\rho|_s}$로 음향파를 전파합니다. 점성과 열전도는 포물형 확산을 추가합니다.

클레이 밀레니엄 문제는 전체 압축성 시스템이 아니라 비압축성 시스템에 관한 문제입니다. 압축성 시스템에는 충격파, 진공 상태, 큰 데이터 해 등 별도의 깊은 문제가 있습니다.

직접 비교는 비압축성 vs. 압축성 나비에-스토크스를 참고하십시오.