압축성 나비에-스토크스 방정식: 밀도, 운동량, 에너지

압축성 나비에-스토크스 방정식은 밀도가 변하는 유동을 기술합니다. 그래서 이 시스템은 비압축성 방정식보다 더 큽니다: 밀도가 미지수가 되고, 압력은 열역학적으로 정해지며, 보통 에너지도 함께 추적해야 합니다.

고속 기체 유동, 음향, 충격파, 연소, 그리고 많은 대기·천체물리 유동에 맞는 틀입니다.

보존형으로 쓰면 압축성 나비에-스토크스-푸리에 시스템은 밀도 $\rho$, 속도 $u$, 압력 $p$, 총 비에너지 $E=e+\tfrac12 |u|^2$를 결합합니다.

시스템을 닫으려면 점성 응력과 열유속에 대한 구성 법칙, 그리고 이상 기체의 $p=(\gamma-1)\rho e$ 같은 상태 방정식이 필요합니다.

질량 방정식은 다음과 같습니다.

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0.$$

유동이 유체 입자를 압축하거나 팽창시키면 밀도가 변한다는 뜻입니다. 운동량 방정식은 이류, 압력, 점성, 외력 아래에서 속도가 어떻게 변하는지 추적합니다. 에너지 방정식은 열, 일, 운동 에너지를 추적합니다.

표준적인 압축성 점성 시스템은 다음과 같습니다.

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0,$$

$$\partial_t(\rho u)+\nabla\cdot(\rho u\otimes u)+\nabla p=\nabla\cdot\tau+\rho f,$$

$$\partial_t(\rho E)+\nabla\cdot((\rho E+p)u)=\nabla\cdot(\tau u)+\nabla\cdot(\kappa\nabla\theta)+\rho f\cdot u.$$

뉴턴 유체에서는 $\tau=\mu(\nabla u+\nabla u^T)+\lambda(\nabla\cdot u)I$입니다.

압축성 유동에서 압력은 열역학을 통해 밀도와 온도에 연결됩니다. 단순한 이상 기체에서는 $p=\rho R T$입니다.

이는 압력이 주로 발산 없는 제약 $\nabla\cdot u=0$을 강제하는 비압축성 나비에-스토크스와 다른 점입니다.

압축성 시스템의 비점성 부분은 쌍곡형이며, 유한한 음속 $c=\sqrt{\partial p/\partial \rho|_s}$을 갖는 음향파가 존재합니다. 점성 항과 열 항은 포물형 확산을 더합니다.

이 혼합 쌍곡-포물 구조는 비압축성 시스템에는 없는 방식으로 충격파, 팽창파, 접촉 불연속을 허용합니다.

압축성은 보통 마하 수가 작지 않을 때 중요해집니다:

$$\mathrm{Ma}=\frac{|u|}{c}.$$

많은 공학 유동에서 $\mathrm{Ma}<0.3$이면 사실상 비압축성으로 취급합니다. 음속 근처와 그 이상에서는 밀도 변화와 충격파가 핵심이 됩니다.

비압축성 방정식은 초기 데이터를 적절히 준비했을 때 압축성 방정식의 낮은 마하 수 극한으로 형식적으로 얻어집니다. 이 극한은 특이합니다: 음향파는 무한히 빨라지고, 압력 법칙은 비압축성 유동의 타원형 압력 제약으로 퇴화합니다.

클레이 밀레니엄 문제는 전체 압축성 시스템에 관한 문제가 아닙니다. 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식에 관한 문제입니다.

압축성 시스템에는 큰 데이터에 대한 전역 존재성, 그리고 충격파·점성·진공 상태의 상호작용을 비롯한 그 자체의 중요한 미해결 문제가 있습니다.

압축성 나비에-스토크스는 클레이 비압축성 공식화에는 없는 어려움을 도입합니다: 진공, 음향 모드, 비점성 극한에서의 충격파 형성, 열역학적 닫힘 등입니다. 이들은 수학적으로 중요하지만 3차원 비압축성 전역 정칙성 문제와는 별개입니다.

나란히 놓고 비교하려면 비압축성 vs. 압축성 나비에-스토크스를 읽어 보십시오.