Équations de Navier-Stokes compressibles : densité, quantité de mouvement, énergie

Les équations de Navier-Stokes compressibles décrivent les écoulements où la densité varie. La densité devient une inconnue, la pression est thermodynamique et l'énergie doit généralement être suivie.

Le système couple $\rho$, $u$, $p$ et l'énergie totale spécifique $E=e+\tfrac12|u|^2$. Il faut aussi une loi d'état, par exemple $p=(\gamma-1)\rho e$ pour un gaz parfait.

L'équation de masse est $$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u)=0.$$ Elle dit que la densité change lorsque le flot comprime ou dilate les parcelles de fluide.

Une forme standard est $$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u)=0,$$ $$\partial_t(\rho u)+\nabla\cdot(\rho u\otimes u)+\nabla p=\nabla\cdot\tau+\rho f,$$ avec une équation d'énergie et une loi constitutive pour $\tau$.

La pression est liée à la densité et à la température. La compressibilité devient importante lorsque le nombre de Mach $$\mathrm{Ma}=|u|/c$$ n'est plus petit.

La partie hyperbolique du système transporte les ondes acoustiques à vitesse finie $c=\sqrt{\partial p/\partial\rho|_s}$. Les termes visqueux et thermiques ajoutent une diffusion parabolique.

Le problème du Millénaire de Clay concerne le système incompressible, pas le système compressible complet. Le cas compressible a ses propres problèmes ouverts : chocs, vide et grandes données.

Pour une comparaison directe, voir Navier-Stokes incompressible vs compressible.