Équations de Navier-Stokes compressibles : densité, quantité de mouvement, énergie

Les équations de Navier-Stokes compressibles décrivent les écoulements où la densité varie. Le système est donc plus grand que les équations incompressibles : la densité devient une inconnue, la pression est thermodynamique et l'énergie doit généralement être suivie.

C'est le bon cadre pour les écoulements de gaz à grande vitesse, l'acoustique, les ondes de choc, la combustion et de nombreux écoulements atmosphériques ou astrophysiques.

Sous forme conservative, le système compressible de Navier-Stokes-Fourier couple la densité $\rho$, la vitesse $u$, la pression $p$ et l'énergie totale spécifique $E=e+\tfrac12 |u|^2$.

La fermeture exige une loi constitutive pour la contrainte visqueuse et le flux de chaleur, plus une équation d'état telle que $p=(\gamma-1)\rho e$ pour un gaz parfait.

L'équation de masse est

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0.$$

Elle dit que la densité change lorsque l'écoulement comprime ou dilate les parcelles de fluide. L'équation de quantité de mouvement suit l'évolution de la vitesse sous l'advection, la pression, la viscosité et les forces extérieures. L'équation d'énergie suit la chaleur, le travail et l'énergie cinétique.

Un système visqueux compressible standard est

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0,$$

$$\partial_t(\rho u)+\nabla\cdot(\rho u\otimes u)+\nabla p=\nabla\cdot\tau+\rho f,$$

$$\partial_t(\rho E)+\nabla\cdot((\rho E+p)u)=\nabla\cdot(\tau u)+\nabla\cdot(\kappa\nabla\theta)+\rho f\cdot u.$$

Pour un fluide newtonien, $\tau=\mu(\nabla u+\nabla u^T)+\lambda(\nabla\cdot u)I$.

En écoulement compressible, la pression est liée à la densité et à la température par la thermodynamique. Dans un gaz parfait simple, $p=\rho R T$.

C'est différent des équations de Navier-Stokes incompressibles, où la pression sert surtout à imposer la contrainte de divergence nulle $\nabla\cdot u=0$.

La partie non visqueuse du système compressible est hyperbolique et possède des ondes acoustiques de vitesse du son finie $c=\sqrt{\partial p/\partial \rho|_s}$. Les termes visqueux et thermiques ajoutent une diffusion parabolique.

Cette structure mixte hyperbolique-parabolique permet des chocs, des détentes et des discontinuités de contact d'une manière que le système incompressible ne permet pas.

La compressibilité compte en général lorsque le nombre de Mach n'est pas petit :

$$\mathrm{Ma}=\frac{|u|}{c}.$$

Pour de nombreux écoulements d'ingénierie, $\mathrm{Ma}<0.3$ est traité comme effectivement incompressible. Près de la vitesse du son et au-delà, les variations de densité et les ondes de choc deviennent centrales.

Les équations incompressibles apparaissent formellement comme une limite à faible nombre de Mach des équations compressibles, sous une préparation convenable des données initiales. Cette limite est singulière : les ondes acoustiques deviennent infiniment rapides et la loi de pression dégénère en la contrainte de pression elliptique de l'écoulement incompressible.

Le problème du Millénaire de Clay ne porte pas sur le système compressible complet. Il porte sur les équations de Navier-Stokes incompressibles en dimension trois.

Le système compressible a ses propres grands problèmes ouverts, dont l'existence globale pour de grandes données et l'interaction des chocs, de la viscosité et des états de vide.

Le système compressible de Navier-Stokes introduit des difficultés absentes de la formulation incompressible de Clay : le vide, les modes acoustiques, la formation de chocs dans les limites non visqueuses et la fermeture thermodynamique. Ces questions sont mathématiquement importantes mais distinctes du problème de régularité globale incompressible en 3D.

Pour la comparaison côte à côte, lisez Navier-Stokes incompressible vs compressible.