圧縮性ナビエ–ストークス方程式：密度、運動量、エネルギー

圧縮性ナビエ–ストークス方程式は、密度が変化する流れを記述します。密度が未知数になり、圧力は熱力学と結びつき、通常はエネルギーも追跡します。

これは高速の気体流、音響、衝撃波、燃焼、そして多くの大気・宇宙物理の流れに適した枠組みです。

保存形では、圧縮性ナビエ–ストークス–フーリエ系は密度 $\rho$、速度 $u$、圧力 $p$、全比エネルギー $E=e+\tfrac12 |u|^2$ を結合します。

閉じるためには、粘性応力と熱流束の構成法則に加えて、理想気体に対する $p=(\gamma-1)\rho e$ のような状態方程式が必要です。

質量保存の方程式は

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0.$$

です。流れが流体粒子を圧縮・膨張させることで密度が変化します。運動量方程式は、移流、圧力、粘性、外力のもとで速度がどう変化するかを追跡します。エネルギー方程式は熱、仕事、運動エネルギーを追跡します。

標準的な圧縮性粘性系は

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0,$$

$$\partial_t(\rho u)+\nabla\cdot(\rho u\otimes u)+\nabla p=\nabla\cdot\tau+\rho f,$$

$$\partial_t(\rho E)+\nabla\cdot((\rho E+p)u)=\nabla\cdot(\tau u)+\nabla\cdot(\kappa\nabla\theta)+\rho f\cdot u.$$

です。ニュートン流体では $\tau=\mu(\nabla u+\nabla u^T)+\lambda(\nabla\cdot u)I$ です。

圧縮流では、圧力は熱力学を通じて密度と温度に結びつきます。単純な理想気体では $p=\rho R T$ です。

これは非圧縮ナビエ–ストークス方程式とは異なります。非圧縮系では、圧力は主に発散なし条件 $\nabla\cdot u=0$ を課す役割を果たします。

圧縮系の非粘性部分は双曲型で、有限の音速 $c=\sqrt{\partial p/\partial \rho|_s}$ を持つ音響波を伝えます。粘性項と熱伝導項は放物型の拡散を加えます。

この双曲型と放物型の混合構造は、非圧縮系にはない形で衝撃波、希薄波、接触不連続を生じさせます。

圧縮性が重要になるのは、通常マッハ数

$$\mathrm{Ma}=\frac{|u|}{c}.$$

が小さくないときです。多くの工学的な流れでは、$\mathrm{Ma}<0.3$ は実質的に非圧縮として扱われます。音速に近づくかそれを超えると、密度変化と衝撃波が中心的になります。

非圧縮方程式は、初期データを適切に準備したうえで、圧縮方程式の低マッハ数極限として形式的に得られます。この極限は特異的です。音響波は無限に速くなり、圧力の法則は非圧縮流の楕円型の圧力拘束へと退化します。

クレイ・ミレニアム問題は完全な圧縮系ではなく、非圧縮系に関する問題です。圧縮系には衝撃波、真空状態、大データ解など別の深い問題があります。

圧縮性ナビエ–ストークスには、クレイの非圧縮定式化には現れない困難が伴います。真空、音響モード、非粘性極限での衝撃波形成、熱力学的閉包などです。これらは数学的に重要ですが、3次元非圧縮の大域正則性問題とは別の問題です。

並べての比較は 非圧縮 vs. 圧縮ナビエ–ストークス を参照してください。