圧縮性ナビエ–ストークス方程式：密度、運動量、エネルギー

圧縮性ナビエ–ストークス方程式は、密度が変化する流れを記述します。密度が未知数になり、圧力は熱力学と結びつき、通常はエネルギーも追跡します。

圧縮系は密度 $\rho$、速度 $u$、圧力 $p$、全比エネルギー $E=e+\tfrac12|u|^2$ を結合します。理想気体なら $p=(\gamma-1)\rho e$ のような状態方程式で閉じます。

質量保存は $$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u)=0$$ です。流れが粒子を圧縮・膨張させることで密度が変化します。

標準的には $$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u)=0,$$ $$\partial_t(\rho u)+\nabla\cdot(\rho u\otimes u)+\nabla p=\nabla\cdot\tau+\rho f$$ にエネルギー方程式と応力テンソルの構成法則を加えます。

圧縮流では圧力は密度と温度に結びつきます。マッハ数 $$\mathrm{Ma}=|u|/c$$ が小さくないとき、圧縮性が重要になります。

圧縮系の双曲型部分は音速 $c=\sqrt{\partial p/\partial\rho|_s}$ で音響波を伝えます。粘性と熱伝導は放物型拡散を加えます。

クレイ・ミレニアム問題は完全な圧縮系ではなく、非圧縮系に関する問題です。圧縮系には衝撃波、真空状態、大データ解など別の深い問題があります。

直接の比較は 非圧縮 vs. 圧縮ナビエ–ストークス を参照してください。