非圧縮ナビエ–ストークス方程式：形、拘束条件、意味

非圧縮ナビエ–ストークス方程式は、密度を一定とみなす粘性流体を記述します：

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0.$$

$u$ は速度、$p$ は圧力、$\nu$ は動粘性係数、$f$ は外力です。

$\mathbb{R}^3$ 上の標準形は $$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu\Delta u+f,\quad \nabla\cdot u=0,\quad u(x,0)=u_0(x).$$ 初期データも $\nabla\cdot u_0=0$ を満たす必要があります。

非圧縮とは、流体が動かないという意味ではありません。小さな流体粒子が移動しても体積を保つという意味です。数学的には $\nabla\cdot u=0$ です。

密度変化が重要な場合は、圧縮性ナビエ–ストークス方程式を使います。

発散なし条件は局所的な体積保存を表します。一定密度の場合、連続の方程式はこの条件に簡約されます。

非圧縮系の圧力は状態方程式で決まるのではなく、速度場を発散なしに保つために調整されます。

運動量方程式の発散を取ると、圧力について $$-\Delta p=\partial_i\partial_j(u_i u_j)-\nabla\cdot f$$ のようなポアソン方程式が得られます。圧力は非圧縮拘束条件のラグランジュ乗数として働きます。

クレイ・ミレニアム問題は3次元の非圧縮ナビエ–ストークス方程式についての問題です。現状は ナビエ–ストークス問題は解決されたのか？、正確な定式化は 存在と滑らかさ を参照してください。

この問題は、3次元でのルレイ–ホップ弱解と大域的な古典的滑らか解の間のギャップを問います。比較は 非圧縮 vs. 圧縮 を参照してください。