非圧縮ナビエ–ストークス方程式：形、拘束条件、意味

非圧縮ナビエ–ストークス方程式は、密度を一定とみなす粘性流体を記述します：

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f$$

$$\nabla \cdot u = 0.$$

$u$ は速度、$p$ は圧力、$\nu$ は動粘性係数、$f$ は外力です。

$\mathbb{R}^3$ 上では、非圧縮系は

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \qquad \nabla \cdot u = 0, \qquad u(x,0)=u_0(x).$$

です。未知数は $u : \mathbb{R}^3 \times [0,T) \to \mathbb{R}^3$ と $p : \mathbb{R}^3 \times [0,T) \to \mathbb{R}$ です。初期データは $\nabla \cdot u_0 = 0$ を満たさなければなりません。

非圧縮とは、流体が動かないという意味ではありません。小さな流体粒子が移動しても体積を保つという意味です。数学的には $\nabla \cdot u = 0$ です。

密度変化が重要な場合は、圧縮性ナビエ–ストークス方程式を使います。

条件 $\nabla \cdot u = 0$ は、流れの写像に対する局所的な体積保存を意味します。$\Phi_t$ を粒子の流れの写像とすると、速度が発散なしであれば形式的に $\det D\Phi_t = 1$ が成り立ちます。

一定密度の導出では、連続の方程式は $\partial_t \rho + \nabla \cdot(\rho u)=0$ から $\nabla \cdot u=0$ に簡約されます。

非圧縮系の圧力は状態方程式で決まるのではなく、速度場を発散なしに保つために調整されます。

運動量方程式の発散を取り、$\nabla \cdot u = 0$ を用いると、たとえば

$$-\Delta p = \partial_i\partial_j(u_i u_j) - \nabla \cdot f.$$

という圧力のポアソン方程式が得られます。したがって圧力は非圧縮拘束条件のラグランジュ乗数として働きます。この楕円型の結合は、非圧縮系を特徴づける構造的特徴の一つです。

クレイ・ミレニアム問題は3次元の非圧縮ナビエ–ストークス方程式についての問題です。現状は ナビエ–ストークス問題は解決されたのか？、正確な定式化は 存在と滑らかさ を参照してください。

フェファーマンによるクレイの問題文は、$\mathbb{R}^3$ または $\mathbb{T}^3$ 上の滑らかな発散なし初期データを指定し、大域的な滑らかな解の存在か、許容される破綻シナリオのいずれかを求めています。

圧縮系にも固有の深い問題がありますが、ミレニアム賞問題は非圧縮の正則性の問い、すなわち3次元における大域的なルレイ–ホップ弱解と大域的な古典的滑らか解の間のギャップを切り出しています。

より広い比較は 非圧縮 vs. 圧縮ナビエ–ストークス をお読みください。項ごとの入門は ナビエ–ストークス方程式とは を、方程式の由来は 導出 をご覧ください。

次のステップ：圧縮系との比較、運動量収支からの導出、3次元正則性問題が難しい理由。