Millennium Prize Problem

Le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes

Un guide sur la question ouverte de la régularité en 3D, de l'intuition aux mathématiques rigoureuses

A live fluid simulation. Drag to stir.

Water Honey

The equation behind the simulation

$$\textcolor{#e0e0e0}{\partial_t u} \;+\; \textcolor{#e040fb}{(u \cdot \nabla)u} \;=\; \textcolor{#66bb6a}{-\nabla p} \;+\; \textcolor{#4fc3f7}{\nu \Delta u}, \qquad \textcolor{#90a4ae}{\nabla \cdot u = 0}$$

What do these terms mean?

Viscosityν∆u

How thick the fluid is — honey resists swirling, water flows freely. The slider above controls this Viscous diffusion — smooths and spreads the flow. Controlled by the ν slider above

Momentum(u·∇)u Movement carries movement — a fast stream drags nearby fluid along, creating swirls Nonlinear advection — velocity transports itself, producing vortex stretching and cascade

Pressure−∇p When fluid bunches up, pressure pushes it apart — the solver handles this automatically Pressure gradient — computed by the projection step to enforce the divergence-free constraint

Change∂ₜu The result — how the fluid's speed changes at each point, computed from all the other terms Net rate of change — the left-hand side, determined by the balance of advection, pressure, and viscosity

Conservation∇·u = 0 The fluid can't compress or expand — it just rearranges, which is what makes water behave like water Divergence-free constraint — satisfied each step by the Helmholtz-Hodge projection

Ce que le problème 3D demande réellement

Les équations de Navier-Stokes modélisent le mouvement des fluides. Elles servent à étudier l'air, l'eau, la circulation sanguine, la météo et la turbulence.

Ce site ne traite pas principalement de l'utilité des équations. Il porte sur la question ouverte précise derrière le prix du Millénaire de Clay : pour les équations incompressibles en 3D, les écoulements initiaux lisses et à divergence nulle restent-ils lisses pour tout temps, ou une singularité peut-elle se former en temps fini ?

Les sections ci-dessous séparent le sujet en plusieurs chemins distincts : les équations de base, l'énoncé formel du problème, les principaux obstacles mathématiques, les réductions classiques et les stratégies de preuve explorées.

Ce site est centré sur le problème de régularité globale des équations de Navier-Stokes incompressibles en 3D sur $\mathbb{R}^3$ ou $\mathbb{T}^3$.

L'équation est

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

Dans le cadre de Clay, on étudie des données initiales lisses à divergence nulle, soit à décroissance rapide sur $\mathbb{R}^3$, soit périodiques lisses sur $\mathbb{T}^3$. La question est de savoir si de telles données engendrent toujours une solution globale lisse unique, ou si la régularité peut être perdue en temps fini. La théorie de Leray fournit des solutions faibles globales, mais la régularité globale et l'unicité en trois dimensions restent ouvertes.

Les sections ci-dessous séparent l'EDP elle-même, l'énoncé formel de Clay, les obstacles de changement d'échelle, les sous-problèmes classiques et les approches qui ont façonné le domaine.

Start Here

The Equations

What each term means physically and where the equations come from

Incompressible system, pressure projection, and physical interpretation

→ 02

Exact Solutions

Poiseuille, Couette, and Stokes flow — cases where the equations can be solved

Closed-form solutions for pipe flow, shear flow, and impulsively started plates

→ 03

Is It Solved?

No — but here is exactly what is known and what remains open

Weak vs. strong vs. smooth — the gap that remains

→ 04

Millennium Problem

The precise question Clay posed and what a valid solution requires

The Clay global regularity statement and its boundary conditions

→ 05

Why It's Hard

Why the three-dimensional case defeats every technique tried so far

Supercritical scaling, the energy gap, and why known estimates fail

→

Go Deeper

Subproblems

The smaller questions researchers can actually attack

Partial regularity, continuation criteria, blowup classification

→ 07

Approaches

The main proof strategies from energy methods to regularity criteria

Leray-Hopf, CKN, critical-space methods, geometric regularity

→ 08

Reynolds & Turbulence

The physical picture that explains why three dimensions are different

Reynolds number, energy cascade, and the small-scales barrier

→

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