ナビエ–ストークス方程式の存在と滑らかさの問題

ナビエ–ストークス方程式は、流体の運動を記述するものです。空気、水、血流、気象、乱流の研究に用いられています。

このサイトの主題は、方程式が役に立つかどうかではありません。クレイ・ミレニアム懸賞問題の背後にある正確な未解決問題についてです。すなわち、3次元非圧縮方程式において、滑らかな発散なしの初期流れは常に滑らかであり続けるのか、それとも有限時間で特異点が生じうるのか？

以下のセクションでは、基本方程式、形式的な問題の記述、主要な数学的障害、標準的な帰着、そしてこれまでに探索された証明戦略を、いくつかの異なる経路に分けて紹介します。

本サイトは、$\mathbb{R}^3$ または $\mathbb{T}^3$ 上の3次元非圧縮ナビエ–ストークス方程式の大域正則性問題を中心に据えています。

方程式は

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

クレイの設定では、$\mathbb{R}^3$ 上で急減少する滑らかな発散なし初期データ、または $\mathbb{T}^3$ 上の滑らかな周期データを扱います。問題は、そのようなデータが常に一意の大域滑らかな解を生成するのか、それとも滑らかさが有限時間で破綻しうるのかです。ルレイの理論は大域弱解を与えますが、3次元における大域的な滑らかさと一意性は未解決のままです。

以下のセクションでは、PDE自体、クレイの正式な問題文、スケーリングの障害、標準的な部分問題、そしてこの分野を形作ってきたアプローチを整理しています。