Solutions faibles, fortes et régulières des équations de Navier-Stokes

Voici la situation. Le prix du Millénaire offre un million de dollars pour prouver que les équations de Navier-Stokes admettent toujours des solutions régulières. Régulier signifie infiniment différentiable, sans plis, sans explosion, sans surprises. Mais le meilleur résultat d'existence jamais démontré, en presque un siècle de tentatives, ne garantit que des solutions faibles des équations de Navier-Stokes.

Alors, qu'est-ce qu'une solution faible ? Ce n'est pas une approximation. Ce n'est pas « presque juste ». Une solution faible est une solution exacte des équations, mais avec des règles assouplies. Au lieu d'exiger que le champ de vitesse soit assez régulier pour être différentié directement, on multiplie l'équation par une fonction test, on intègre, et on transfère toutes les dérivées sur la fonction test par intégration par parties. Si le résultat est vérifié pour toute fonction test, on a une solution faible.

Pensez-y ainsi. Une solution classique est un étudiant qui résout chaque problème de l'examen en montrant tout son raisonnement, étape par étape. Une solution faible est un étudiant qui ne peut pas vous montrer les étapes intermédiaires, mais dont les réponses finales sont prouvablement correctes pour chaque question qu'on pourrait poser. On ne le voit pas différentier, mais le résultat intégré est toujours cohérent.

Pourquoi s'en soucier ? Parce que parfois les équations sont trop sauvages pour les solutions classiques. Le fluide peut développer des régions où la vitesse change si brusquement que les dérivées cessent d'exister au sens ordinaire. Les solutions faibles permettent de continuer là où les solutions classiques abandonnent. Ce sont le filet de sécurité.

Le piège : les solutions faibles pourraient ne pas être uniques. On pourrait avoir plusieurs solutions faibles partant des mêmes conditions initiales. C'est un problème, car la physique dit que le fluide devrait faire une chose spécifique, pas plusieurs. Et les solutions faibles pourraient ne pas être régulières. La régularité est ce que le prix du Millénaire exige, et c'est ce que personne ne peut prouver.

Une solution faible des équations de Navier-Stokes remplace l'EDP ponctuelle par une formulation distributionnelle. On considère le système incompressible sur $\mathbb{R}^3 \times (0,T)$ :

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0.$$

Un champ vectoriel $u \in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3 \times [0,T))$ est une solution faible si, pour toute fonction test $\varphi$ lisse, à support compact et à divergence nulle :

$$\int_0^T \!\int_{\mathbb{R}^3} \bigl[-u \cdot \partial_t \varphi - (u \otimes u) : \nabla \varphi + \nu \, u \cdot \Delta \varphi \bigr] \, dx \, dt = \int_{\mathbb{R}^3} u_0 \cdot \varphi(x,0) \, dx.$$

La pression disparaît de cette formulation car $\varphi$ est à divergence nulle. Toutes les dérivées ont été transférées de $u$ vers $\varphi$ par intégration par parties. Le point essentiel : $u$ n'a pas besoin d'être classiquement différentiable. Il suffit qu'il soit assez intégrable pour que ces intégrales convergent.

La formulation faible n'est pas une approximation. Une solution classique satisfaisant l'EDP ponctuellement satisfait également la formulation faible pour toute fonction test (on intègre par parties dans l'autre sens). La réciproque est fausse : une solution faible peut ne pas être assez régulière pour satisfaire l'EDP ponctuellement.

Cela importe car : (1) les solutions faibles existent globalement pour des données initiales dans $L^2$ (Leray 1934), tandis que les solutions classiques ne sont connues que localement en temps en 3D ; (2) les solutions faibles ne sont en général pas connues comme étant uniques ; (3) la question de savoir si les solutions faibles sont toujours régulières est équivalente au problème du Millénaire de Clay pour des données initiales appropriées.

En 1934, Jean Leray a accompli quelque chose qui définit encore le domaine. Dans un seul article de 73 pages publié dans Acta Mathematica, intitulé « Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace », il a prouvé que les solutions faibles des équations de Navier-Stokes existent pour tout temps, pour des données initiales à divergence nulle en trois dimensions. C'était le premier résultat d'existence globale pour les équations 3D, et il reste le théorème d'existence inconditionnel le plus fort dont on dispose, plus de quatre-vingt-dix ans plus tard.

Sa méthode était d'une beauté concrète. On régularise les équations en mollifiiant la non-linéarité, on résout la version lissée (plus facile car les pires interactions non linéaires sont domptées), puis on passe à la limite quand le paramètre de lissage tend vers zéro, et des arguments de compacité garantissent que la limite existe et satisfait la formulation faible.

Mais voici ce que Leray n'a PAS prouvé. L'unicité. Sa méthode produit au moins une solution faible, mais d'autres pourraient exister à partir des mêmes données initiales, et il n'a pas pu l'exclure. Il n'a pas non plus prouvé la régularité. Ses solutions ont une énergie finie et satisfont une inégalité d'énergie (l'énergie peut se dissiper par la viscosité mais ne peut pas augmenter spontanément). C'est tout. Rien de plus.

Leray lui-même pensait que des singularités pourraient se former. Il a esquissé à quoi l'une pourrait ressembler : une explosion autosimilaire où le fluide s'effondre vers un point avec une structure d'échelle spécifique, de plus en plus vite, concentrant toute son énergie dans une région infinitésimale. En 1996, Nečas, Růžička et Šverák ont prouvé que ce scénario autosimilaire exact ne peut pas se produire. La conjecture de Leray sur la forme d'une éventuelle explosion était fausse. L'explosion se produit-elle vraiment, sous quelque forme que ce soit ? Personne ne sait.

En 1951, Eberhard Hopf a étendu la construction de Leray aux domaines bornés, et la classe résultante est devenue connue sous le nom de solutions faibles de Leray-Hopf : des solutions faibles satisfaisant l'inégalité d'énergie. C'est la notion standard. Quand les chercheurs disent « solutions faibles » sans précision supplémentaire, ils veulent presque toujours dire cela.

Un point de plus. Même au sein des solutions faibles de Leray-Hopf, il existe une classe strictement plus petite appelée solutions faibles convenables (suitable weak solutions), qui satisfont une inégalité d'énergie locale, pas seulement globale. Caffarelli, Kohn et Nirenberg ont démontré leur célèbre résultat de régularité partielle en 1982 précisément pour cette classe plus petite. Il ne faut pas confondre les deux : CKN s'applique aux solutions faibles convenables, pas à toutes les solutions de Leray-Hopf.

L'article de Leray de 1934 a établi le résultat suivant : pour toute donnée initiale $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle, il existe au moins une solution faible $u$ des équations de Navier-Stokes sur $\mathbb{R}^3 \times (0,\infty)$ satisfaisant :

• $u \in L^\infty(0,\infty; L^2(\mathbb{R}^3)) \cap L^2(0,\infty; \dot{H}^1(\mathbb{R}^3))$
• L'inégalité d'énergie : $\|u(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \|u_0\|_{L^2}^2$ pour p.p. $t > 0$

La construction procède par mollification. On remplace la non-linéarité $(u \cdot \nabla)u$ par $(u_\varepsilon \cdot \nabla)u$ où $u_\varepsilon = J_\varepsilon * u$ est une mollification spatiale. Le système régularisé admet des solutions globales régulières (la mollification élimine les pires interactions non linéaires). Leray a obtenu des bornes d'énergie uniformes pour les solutions régularisées, puis a extrait une sous-suite faiblement convergente. La limite satisfait la formulation faible et l'inégalité d'énergie.

Leray n'a pas établi l'unicité. L'argument de compacité donne l'existence d'au moins un point d'accumulation ; des sous-suites différentes pourraient converger vers des limites différentes. L'unicité des solutions faibles de Leray-Hopf en 3D reste ouverte à ce jour.

Hopf (1951) a adapté la construction aux domaines bornés $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ avec conditions aux limites de Dirichlet, en utilisant l'approximation de Galerkin (projection sur des sous-espaces de dimension finie) plutôt que la mollification. La classe résultante — solutions faibles satisfaisant l'inégalité d'énergie — porte les deux noms : solutions faibles de Leray-Hopf.

Le théorème de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1982) concerne une classe strictement plus petite : les solutions faibles convenables, qui satisfont en outre une inégalité d'énergie locale de la forme

$$\partial_t \left(\frac{|u|^2}{2}\right) + \nabla \cdot \left(\left(\frac{|u|^2}{2} + p\right)u\right) + \nu |\nabla u|^2 \leq \nu \Delta \left(\frac{|u|^2}{2}\right)$$

au sens des distributions. CKN a prouvé que pour toute solution faible convenable, la mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle de l'ensemble singulier dans l'espace-temps est nulle. Cela signifie que les singularités, si elles existent, sont extrêmement éparses (elles ne peuvent pas remplir une courbe dans l'espace-temps). Mais le théorème ne dit rien sur la question de savoir si les singularités se produisent réellement, et il ne s'applique qu'aux solutions faibles convenables, pas à toutes les solutions de Leray-Hopf.

Leray lui-même a conjecturé l'existence d'une explosion autosimilaire de la forme $u(x,t) = (T-t)^{-1/2} U(x / (T-t)^{1/2})$. Nečas, Růžička et Šverák (1996) ont prouvé qu'une telle explosion autosimilaire n'existe pas pour les solutions dans $L^3(\mathbb{R}^3)$, et Tsai (2009) a étendu ce résultat pour exclure les explosions asymptotiquement autosimilaires. La forme des singularités potentielles, si elles existent, reste inconnue.

Les solutions faibles existent globalement. Mais elles pourraient ne pas être uniques, et elles pourraient ne pas être régulières. Peut-on faire mieux ?

Oui, mais seulement localement. Les solutions fortes des équations de Navier-Stokes sont des solutions avec assez de régularité pour que l'EDP soit satisfaite au sens classique (ponctuel), pas seulement au sens intégré et distributionnel. Pour des données initiales régulières en 3D, les solutions fortes existent pendant un temps court. Combien court dépend des données : plus la vitesse initiale est grande et sauvage, plus l'intervalle d'existence garanti est court. Et personne ne peut prouver que ces solutions fortes ne finissent pas par exploser.

Il existe un beau résultat partiel. En 1962, James Serrin a prouvé que si une solution faible de Leray-Hopf se trouve dans $L^p_t L^q_x$ avec $2/p + 3/q \leq 1$ (et $q > 3$), alors elle est automatiquement régulière. Et par l'unicité faible-forte, c'est la seule solution faible de Leray-Hopf avec ces conditions initiales sur cet intervalle de temps. C'est une condition suffisante, pas nécessaire. Si une solution faible de Leray-Hopf satisfait la condition de Serrin, on peut la « promouvoir » : elle était régulière depuis le début, et aucune autre solution faible de Leray-Hopf avec les mêmes données ne peut en différer. Si elle ne satisfait pas la condition, on ne peut rien conclure.

Les conditions de Serrin sont un résultat de régularité conditionnelle. Elles disent : SI la solution n'est pas trop sauvage, ALORS elle est parfaitement bien comportée. Toute la difficulté est de prouver le SI.

En deux dimensions, les estimations d'énergie sont assez fortes pour que toute solution faible de Leray-Hopf satisfasse automatiquement les conditions de type Serrin. C'est pourquoi le 2D est résolu. En 3D, les estimations d'énergie sont en deçà d'une demi-dérivée de ce qu'il faudrait, et combler cet écart est tout le jeu.

D'autres résultats conditionnels existent. Pour les équations d'Euler, le critère de Beale-Kato-Majda dit qu'une solution régulière continue tant que la vorticité reste intégrable en temps. Des analogues pour Navier-Stokes existent et affinent ce résultat. Le critère d'Escauriaza-Seregin-Šverák (2003) pousse cela au point final : si $u \in L^\infty_t L^3_x$, pas d'explosion. Chacun de ces résultats convertit le problème de régularité globale en une seule estimation a priori. Prouver inconditionnellement l'une quelconque de ces estimations résoudrait le problème du Millénaire. Personne n'y est parvenu. Pour un panorama des différentes stratégies de preuve qui ont été tentées, une page entière y est consacrée.

Une solution forte des équations de Navier-Stokes est une solution avec assez de régularité pour que l'EDP soit satisfaite ponctuellement (p.p.) et que le terme non linéaire $(u \cdot \nabla)u$ soit bien défini comme fonction et non simplement comme distribution. Typiquement, cela signifie $u \in L^\infty(0,T; H^1(\mathbb{R}^3)) \cap L^2(0,T; H^2(\mathbb{R}^3))$. Un cadre connexe mais distinct est celui de Fujita-Kato (1964), qui construit des solutions mild locales dans des espaces critiques.

L'existence locale de solutions fortes pour des données initiales $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$ avec $s \geq 1/2$ découle de l'argument de point fixe de Fujita-Kato sous forme de solution mild :

$$u(t) = e^{\nu t \Delta} u_0 - \int_0^t e^{\nu(t-s)\Delta} \mathbb{P} \nabla \cdot (u \otimes u)(s) \, ds,$$

où $\mathbb{P}$ est la projection de Leray sur les champs à divergence nulle. Cette équation intégrale admet une unique solution locale par le principe de contraction dans des espaces fonctionnels appropriés. Pour des données petites dans des espaces critiques ($L^3$, $\dot{H}^{1/2}$, $BMO^{-1}$), la solution est globale.

La question est de savoir si les solutions fortes à données grandes persistent pour tout temps. Le résultat conditionnel clé est celui de Serrin (1962) : si une solution faible de Leray-Hopf satisfait $u \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{R}^3))$ avec

$$\frac{2}{p} + \frac{3}{q} \leq 1, \qquad q > 3,$$

alors $u$ est régulière sur $(0,T] \times \mathbb{R}^3$ et est l'unique solution faible de Leray-Hopf avec les données initiales considérées. Ce sont les conditions de Prodi-Serrin (Prodi 1959 a établi un résultat apparenté).

Le cas limite $q = 3$ ($p = \infty$) a été résolu par Escauriaza, Seregin et Šverák (2003) : si $u \in L^\infty(0,T; L^3(\mathbb{R}^3))$, alors $u$ n'explose pas au temps $T$. C'est le critère de continuation le plus fort connu dans le cadre de Leray-Hopf.

En deux dimensions, la borne d'énergie $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t H^1_x$ combinée à l'inégalité de Ladyzhenskaya $\|f\|_{L^4}^2 \leq C\|f\|_{L^2}\|\nabla f\|_{L^2}$ (spécifique au 2D) donne $u \in L^4_t L^4_x$, ce qui satisfait la condition de Serrin $2/4 + 2/4 = 1$ (dans la version 2D avec $2/p + 2/q \leq 1$). En 3D, la borne d'énergie donne $u \in L^{10/3}_t L^{10/3}_x$ par injection de Sobolev, ce qui donne $2/(10/3) + 3/(10/3) = 3/2 > 1$. La condition de Serrin échoue exactement à hauteur du décalage correspondant à l'écart de surcriticité. Voir Why Navier-Stokes Is Hard pour plus de détails sur cette obstruction structurelle.

Les solutions régulières sont le standard absolu. Infiniment différentiables en espace et en temps, sans singularités, sans angles, sans discontinuités. On peut les dériver autant de fois qu'on veut et toujours obtenir un résultat bien défini.

Le problème du Millénaire de Clay, tel que formulé par Charles Fefferman en 2000, pose une question précise : étant donné des données initiales régulières, à divergence nulle, avec une décroissance appropriée sur $\mathbb{R}^3$, l'équation de Navier-Stokes admet-elle toujours une solution régulière qui existe pour tout temps avec une énergie bornée ? Ou peut-on trouver des données initiales pour lesquelles la solution explose ?

L'une ou l'autre réponse vaut un million de dollars. Prouver la régularité globale, ou construire une explosion. Les deux seraient historiques.

Voici où on en est. Personne n'a prouvé que les solutions régulières existent toujours globalement en 3D. Personne n'a construit d'explosion non plus. On est bloqué entre les deux, et on l'est depuis l'article de Leray de 1934. Cela fait plus de quatre-vingt-dix ans sans réponse.

Le tableau local est satisfaisant. Pour des données initiales régulières, les équations produisent une solution régulière pendant un certain intervalle de temps. Le fluide se met en mouvement, les mathématiques fonctionnent, tout est propre. La question est ce qui se passe ensuite. La solution reste-t-elle régulière à jamais, ou finit-elle par développer une singularité où la vitesse (ou ses dérivées) devient infinie ?

Si elle reste régulière, cette solution régulière est automatiquement une solution faible (puisque toute solution classique satisfait la formulation faible). Elle est aussi automatiquement unique parmi les solutions faibles de Leray-Hopf, par le principe d'unicité faible-forte : si une solution forte existe, aucune autre solution faible ne peut rivaliser avec elle. Prouver la régularité globale ferait donc s'effondrer toute la hiérarchie. Faible, forte, régulière : un seul et même objet. C'est ce qui rend le problème si séduisant et si difficile. L'écart entre ce qu'on peut prouver exister (solutions faibles) et ce qu'on veut (solutions régulières) est exactement le contenu du problème.

Le problème du Millénaire de Clay (Fefferman 2000) demande : pour toute donnée initiale $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ à divergence nulle satisfaisant $|\partial^\alpha u_0(x)| \leq C_{\alpha K}(1 + |x|)^{-K}$ pour tout $\alpha, K$, existe-t-il $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ et $p \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations de Navier-Stokes avec $\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C$ pour tout $t \geq 0$ ?

L'alternative (également digne du prix) : trouver $u_0$ dans la classe ci-dessus tel qu'aucune telle solution régulière n'existe.

Ce qui est connu :

• Existence locale : Pour $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$, $s \geq 1/2$, une unique solution locale mild/forte existe sur $[0,T^*)$ pour un certain $T^* > 0$ dépendant de $\|u_0\|_{H^s}$, et elle est régulière pour tout temps positif $t > 0$. Si $T^* < \infty$, alors $\|u(t)\|_{H^s} \to \infty$ quand $t \to T^*$.
• Existence globale pour données petites : Si $\|u_0\|_{\dot{H}^{1/2}}$ (ou $\|u_0\|_{L^3}$, ou $\|u_0\|_{BMO^{-1}}$) est inférieure à une constante universelle, la solution est globale et régulière (Fujita-Kato 1964, Koch-Tataru 2001).
• Unicité faible-forte : Si une solution forte existe sur $[0,T]$, alors toute solution faible de Leray-Hopf avec les mêmes données initiales coïncide avec elle sur $[0,T]$. Ce résultat a été établi par Serrin (1962) et affiné par des travaux ultérieurs. Il signifie que prouver la régularité résout aussi l'unicité dans la classe de Leray-Hopf.

La hiérarchie s'effondre vers le haut : régulière $\Rightarrow$ forte $\Rightarrow$ faible, et l'unicité faible-forte signifie qu'une solution régulière, si elle existe, est l'unique solution faible de Leray-Hopf. Le problème du Millénaire est donc équivalent à la question : toutes les solutions faibles de Leray-Hopf issues de données initiales régulières sont-elles elles-mêmes régulières ? L'écart entre « une solution faible existe » (Leray 1934) et « une solution régulière existe » (ouvert) est exactement la question du prix.

Si les solutions faibles existent et décrivent le fluide, pourquoi se soucier de la régularité ?

Trois raisons.

Premièrement, l'unicité. La physique exige une seule réponse. Donnez-moi l'état initial d'un fluide, et je devrais pouvoir vous dire exactement, précisément, sans ambiguïté ce qui se passe ensuite — pas vous offrir un menu de possibilités en haussant les épaules. Les solutions faibles ne garantissent pas l'unicité. Plusieurs solutions faibles pourraient émerger du même point de départ, et on ne sait pas laquelle le fluide physique suivrait. Si l'unicité échoue, les équations perdent leur pouvoir prédictif déterministe à ce niveau de régularité.

Deuxièmement, la fiabilité numérique. Chaque simulation CFD sur Terre résout ces équations de manière approximative. Sans théorie générale de régularité et d'unicité, aucun théorème ne garantit que le raffinement du maillage converge vers une unique solution physiquement pertinente dans tout contexte 3D. On pourrait converger vers une solution faible sur une machine et vers une autre sur une machine différente.

Troisièmement, la physique extrême. Si des singularités peuvent se former, cela nous dit quelque chose sur ce que font les vrais fluides aux plus petites échelles : nos équations prédisent des vitesses infinies ou des gradients de pression infinis, un signal que le modèle continu lui-même se brise.

Ce n'est pas un détail technique. C'est la faille qui traverse tout. D'un côté : l'existence (Leray, 1934, acquis). De l'autre : la régularité (ouvert, un million de dollars, et la frustration collective de tous les analystes vivants). Pourquoi traverser est-il si difficile ? Parce que les estimations d'énergie 3D sont exactement une demi-dérivée en deçà de ce qu'il faut, et quatre-vingt-dix ans d'efforts, des centaines d'articles, des carrières entières, n'ont pas comblé cet écart.

Chaque stratégie de preuve actuellement poursuivie est une tentative de franchir ce fossé. Prouver que les solutions faibles sont régulières. Ou prouver qu'elles ne le sont pas. Deux mots ou trois. L'une ou l'autre réponse réécrit les manuels.

La hiérarchie des solutions pour les équations de Navier-Stokes incompressibles en 3D est :

$$\text{régulière} \subset \text{forte} \subset \text{faible de Leray-Hopf} \subset \text{faible distributionnelle}$$

Ce qui est connu à chaque niveau :

Le problème du Millénaire se situe dans l'écart entre l'existence globale des solutions faibles de Leray-Hopf et la régularité globale. La difficulté fondamentale : l'inégalité d'énergie fournit $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$, ce qui est une demi-dérivée en dessous du scaling critique $\dot{H}^{1/2}$. Combler cet écart de surcriticité est équivalent à prouver la régularité globale.

L'unicité faible-forte implique que la hiérarchie s'effondre si les solutions régulières existent globalement. Plus précisément : si pour une donnée $u_0 \in C^\infty$ une solution régulière $u$ existe sur $[0,T]$, alors toute solution faible de Leray-Hopf avec les mêmes données est égale à $u$ sur $[0,T]$. Donc régularité globale $\Rightarrow$ unicité globale dans la classe de Leray-Hopf.

Réciproquement, la non-unicité des solutions faibles de Leray-Hopf impliquerait que les solutions régulières ne persistent pas globalement (puisqu'une solution régulière forcerait l'unicité). Les travaux récents sur l'intégration convexe (s'appuyant sur De Lellis-Székelyhidi pour Euler, étendu par Buckmaster-Vicol 2019 pour construire des solutions faibles non uniques de Navier-Stokes en dessous de la régularité de Leray-Hopf) montrent que les solutions faibles distributionnelles peuvent être hautement non uniques. La question de savoir si cette non-unicité s'étend à la classe de Leray-Hopf est un problème ouvert majeur avec des implications directes pour le problème du Millénaire.

Pour l'état actuel des stratégies de preuve attaquant cet écart, et pour les raisons structurelles de sa résistance, voir Why Navier-Stokes Is Hard.