Sous-problèmes de Navier-Stokes

En 1934, Jean Leray a fait une découverte cruciale : si l'on assouplit l'exigence que les solutions soient parfaitement lisses, on peut prouver que des solutions existent toujours. Ces solutions assouplies sont appelées solutions faibles.

Pensez-y ainsi : si vous ne pouvez pas trouver une route parfaite entre deux villes, vous pourriez accepter un chemin de terre avec quelques bosses. Leray a montré que le chemin de terre existe toujours. Le problème du Millénaire demande si la route parfaite existe aussi.

Le problème ? Nous ne savons même pas si les solutions faibles sont uniques. Étant données les mêmes conditions initiales, il pourrait exister plusieurs solutions faibles valides — et nous ne savons pas laquelle le fluide « choisit ».

Leray (1934) a prouvé l'existence de solutions faibles globales $u \in L^\infty_t L^2_x \cap L^2_t \dot{H}^1_x$ satisfaisant l'inégalité d'énergie

$$\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu \int_s^t \|\nabla u(\tau)\|_{L^2}^2 \, d\tau \leq \frac{1}{2}\|u(s)\|_{L^2}^2$$

pour p.p. $s \geq 0$ et tout $t \geq s$. Ce sont les solutions faibles de Leray-Hopf. Questions ouvertes clés :

• L'unicité dans la classe d'énergie est inconnue (en revanche : Buckmaster-Vicol (2019) ont prouvé la non-unicité des solutions faibles dans des classes inférieures à la classe d'énergie de Leray-Hopf (spécifiquement dans $C_t L^2_x$, sans le contrôle $L^2_t \dot{H}^1_x$)).
• Égalité vs. inégalité d'énergie : les solutions faibles satisfont l'inégalité, mais l'égalité (comme pour les solutions lisses) n'est pas garantie — perte d'énergie possible aux temps singuliers.
• Régularité : si une solution de Leray-Hopf est lisse, c'est l'unique solution classique. Donc la régularité implique l'unicité.

Même si nous ne pouvons pas exclure totalement les singularités, nous savons qu'elles ne peuvent pas être trop graves. Le résultat marquant de Caffarelli, Kohn et Nirenberg (1982) — le théorème CKN — prouve que l'ensemble des points où une solution pourrait exploser est incroyablement petit.

À quel point ? Dans l'espace-temps, l'ensemble des singularités possibles a une « mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle ». En termes pratiques : les singularités, si elles existent, sont des points isolés qui apparaissent et disparaissent. Elles ne peuvent pas persister, ne peuvent pas former de lignes ou de surfaces, et ne peuvent certainement pas remplir une région de l'espace.

C'est remarquable : même sans prouver la régularité complète, nous savons que les singularités sont extrêmement rares.

Le théorème de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1982) : pour toute solution faible convenable $(u,p)$ des équations de Navier-Stokes, l'ensemble singulier $\Sigma$ satisfait

$$\mathcal{P}^1(\Sigma) = 0$$

où $\mathcal{P}^1$ est la mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle. De manière équivalente, les singularités ne peuvent pas se concentrer sur des courbes dans l'espace-temps.

La preuve introduit les solutions faibles convenables satisfaisant l'inégalité d'énergie locale

$$\int |u|^2 \varphi(t) + 2\nu \int\!\!\int |\nabla u|^2 \varphi \leq \int\!\!\int |u|^2(\partial_t \varphi + \nu \Delta \varphi) + \int\!\!\int (|u|^2 + 2p)(u \cdot \nabla \varphi)$$

et utilise un critère de $\varepsilon$-régularité : si la quantité invariante d'échelle $\frac{1}{r}\int_{Q_r} |\nabla u|^2$ est suffisamment petite sur un cylindre parabolique $Q_r$, alors $u$ est régulier au centre. La borne CKN suit alors par un argument de recouvrement.

Si une singularité existe, à quoi pourrait-elle ressembler ? Les mathématiciens ont classifié les explosions potentielles en deux types :

• Type-I (auto-similaire) : l'explosion suit un taux spécifique — comme un tourbillon qui s'intensifie à un rythme prévisible. Celles-ci sont mieux comprises et ont été en grande partie exclues sous diverses conditions.
• Type-II (non auto-similaire) : l'explosion est plus rapide ou plus irrégulière que le taux prédit. Celles-ci sont bien plus mystérieuses et plus difficiles à analyser.

Prouver la régularité signifie exclure les deux types. La plupart des approches modernes les traitent comme des problèmes séparés, utilisant des outils différents pour chacun.

Supposons que $T^* < \infty$ soit un temps d'explosion hypothétique. L'explosion est :

• Type-I : $\|u(t)\|_{L^\infty} \leq \frac{C}{\sqrt{T^* - t}}$ quand $t \to T^*$. De manière équivalente, la solution remise à l'échelle $\lambda u(x_0 + \lambda x, T^* + \lambda^2 t)$ reste bornée. L'explosion de Type-I est liée aux solutions auto-similaires de la forme $u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{T^*-t}} U\left(\frac{x-x_0}{\sqrt{T^*-t}}\right)$.
• Type-II : $\limsup_{t \to T^*} \sqrt{T^* - t} \, \|u(t)\|_{L^\infty} = \infty$. Le taux d'explosion dépasse le taux auto-similaire.

Résultats significatifs sur le Type-I :

• Seregin (2012) : une norme $L^3$ bornée au temps d'explosion implique la régularité — excluant l'explosion de Type-I en $L^3$.
• Gallagher-Koch-Planchon (2016) : décomposition en profils pour l'explosion de Type-I ; les travaux antérieurs de Nečas-Růžička-Šverák (1996) et Tsai (1998) ont exclu l'explosion auto-similaire via l'unicité rétrograde.

L'explosion de Type-II reste le scénario principal ouvert et constitue le focus des programmes de régularité modernes.

Les mathématiciens ont identifié des mesures spécifiques d'une solution fluide qui se situent exactement à la « frontière » entre comportement contrôlé et non contrôlé. Ce sont les normes critiques.

Pensez-y comme une corde raide : si vous pouvez montrer qu'une norme critique reste bornée, la solution est lisse. Si elle explose, la solution s'effondre. L'énergie (que nous pouvons contrôler) est trop faible — elle est en dessous de la corde raide. Nous devons atteindre la corde raide par en bas.

Les normes critiques clés impliquent la mesure de la vitesse en $L^3$ (le cube de la vitesse, intégré sur l'espace) ou des espaces apparentés. Des travaux récents ont montré que si l'une de ces quantités critiques reste bornée, la solution reste lisse.

Une norme $\|\cdot\|_X$ est critique si elle est invariante sous le changement d'échelle de Navier-Stokes : $\|u_\lambda\|_X = \|u\|_X$. Les principaux critères de régularité critique :

• Escauriaza–Seregin–Šverák (2003) : $u \in L^\infty_t L^3_x$ près de l'explosion $\Rightarrow$ régularité
• Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin : $u \in L^p_t L^q_x$, $\frac{2}{p} + \frac{3}{q} = 1$, $q > 3$ $\Rightarrow$ régularité
• Beale–Kato–Majda : $\int_0^{T^*} \|\omega(t)\|_{L^\infty} dt < \infty$ $\Rightarrow$ régularité

L'écart : l'estimation d'énergie donne $u \in L^{10/3}_{t,x}$ (par injection de Sobolev), mais la condition critique de Serrin nécessite $u \in L^5_{t,x}$. Cet écart de $10/3$ à $5$ est le cœur du problème de supercriticalité.

Si une explosion se produit, où va l'énergie ? Elle doit se concentrer — se focaliser dans une région de plus en plus petite de l'espace. Comprendre cette concentration est la clé pour soit l'exclure, soit la construire.

Les outils de concentration-compacité permettent aux mathématiciens d'étudier ce qui se passe dans la limite lorsqu'on zoome sur un point d'explosion potentiel. Soit la solution se disperse (se propage vers l'infini), se concentre en un point (formant une « solution d'explosion minimale »), soit s'échappe vers l'infini spatial.

Les approches modernes tentent de montrer que chaque scénario mène à une contradiction — laissant la régularité comme seule option.

L'approche concentration-compacité/décomposition en profils (Kenig-Merle, 2006 ; adaptée à Navier-Stokes par Gallagher-Koch-Planchon, Kenig-Koch et d'autres) procède comme suit :

1. Élément critique : Si la régularité globale échoue, il existe une « solution d'explosion minimale » — celle avec la plus petite norme critique possible qui explose encore.
2. Compacité : Cette solution minimale a une propriété de compacité : modulo les symétries, son orbite $\{u(\cdot, t)\}_{t \in [0,T^*)}$ est précompacte dans l'espace critique.
3. Rigidité : Montrer que toute solution à orbite compacte doit être nulle (ou globalement régulière), contredisant l'hypothèse d'explosion.

Ce programme a été achevé pour les équations dispersives critiques en énergie (NLS, NLW) mais rencontre de sérieux obstacles pour Navier-Stokes en raison de l'absence de quantité critique conservée et de la non-localité de la pression.

Cet article fait partie de Progrès.

Les mathématiciens ont développé des outils puissants pour attaquer chacun de ces sous-problèmes. Explorez les principales approches de la régularité de Navier-Stokes pour les grandes lignes d'attaque.

Pour les obstacles mathématiques qui rendent ces sous-problèmes difficiles, voir Pourquoi c'est difficile. Pour l'énoncé précis du problème, voir Le problème du Millénaire. Pour le lien entre turbulence, petites échelles et régularité, voir Nombre de Reynolds et turbulence.

Cet article fait partie de Progrès.

Pour les outils analytiques et géométriques développés pour aborder ces sous-problèmes, voir Approches. Pour les obstacles de changement d'échelle et de supercriticalité, voir Pourquoi c'est difficile. Pour la formulation de Clay, voir Le problème du Millénaire.