Solutions exactes des équations de Navier-Stokes

Les équations de Navier-Stokes sont notoirement non linéaires. Comment est-il alors possible de les résoudre exactement ?

La réponse est la symétrie. Lorsque la géométrie de l'écoulement est suffisamment simple — un tuyau droit, deux plaques planes, un plan infini — la vitesse ne peut pointer que dans une seule direction et ne varie qu'en une ou deux coordonnées. Dans de nombreuses configurations symétriques classiques, le terme non linéaire s'annule ou se simplifie suffisamment pour que les équations se réduisent à une EDP linéaire — et dans les cas stationnaires, souvent à une EDO que l'on peut résoudre à la main.

Pensez-y ainsi : les équations de Navier-Stokes décrivent tous les mouvements possibles d'un fluide. Mais si l'on force le fluide dans une situation très ordonnée — pas de tourbillons, pas de chaos, tout avançant dans une seule direction — la majeure partie de la complexité de l'équation devient sans objet. La difficulté de Navier-Stokes réside dans la boucle de rétroaction où le fluide se pousse lui-même. Dans ces écoulements symétriques, il n'y a rien contre quoi pousser, et le terme d'auto-advection non linéaire disparaît.

Ces solutions exactes ne sont pas des curiosités. Elles constituent le fondement de l'enseignement de la mécanique des fluides, les références pour les codes numériques et le point de départ pour comprendre quand et comment les écoulements réels s'écartent des idéalisations.

Une solution exacte des équations de Navier-Stokes est un champ de vitesse $u$ et une pression $p$ satisfaisant

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \qquad \nabla \cdot u = 0$$

sous forme fermée, sans approximation numérique.

Le mécanisme clé est l'annulation ou la simplification du terme d'advection non linéaire $(u \cdot \nabla)u$. Pour les écoulements parallèles — écoulements où $u = (u(y,t),\, 0,\, 0)$ en coordonnées cartésiennes ou $u = (0,\, 0,\, u(r,t))$ en coordonnées cylindriques — le champ de vitesse est automatiquement à divergence nulle et le terme d'advection s'annule identiquement :

$$(u \cdot \nabla)u = u\,\partial_x u\, \hat{e}_x = 0$$

car $u$ ne dépend pas de la coordonnée dans la direction de l'écoulement $x$. L'équation de quantité de mouvement se réduit alors à une EDP linéaire — ou, pour les écoulements stationnaires, à une EDO.

Lorsque l'écoulement est aussi stationnaire ($\partial_t u = 0$), il reste

$$\nu \Delta u = \nabla p,$$

une équation de Poisson dont les solutions sont les solutions exactes classiques de l'écoulement visqueux : écoulement de Poiseuille, écoulement de Couette et leurs variantes.

Pour les écoulements parallèles instationnaires ($\partial_t u \neq 0$ mais l'advection s'annule toujours), l'équation devient une équation de diffusion $\partial_t u = \nu\, \partial_{yy} u$, qui donne les premier et second problèmes de Stokes.

L'écoulement de Poiseuille (aussi appelé écoulement de Hagen-Poiseuille) est la solution exacte la plus importante des équations de Navier-Stokes, et celle que la plupart des ingénieurs rencontrent en premier.

Imaginez de l'eau s'écoulant de manière régulière dans un long tuyau droit. Une différence de pression constante entre les deux extrémités entraîne l'écoulement. Les parois du tuyau sont immobiles, de sorte que le fluide en contact avec la paroi est bloqué à vitesse nulle (la condition de non-glissement). Le fluide au centre du tuyau, loin des parois, se déplace le plus rapidement.

Le profil de vitesse résultant est une parabole : nul à la paroi, maximal au centre, avec une courbe lisse entre les deux. Si l'on tranchait le tuyau et regardait la section, la vitesse ressemblerait à un bol retourné.

Ce profil parabolique a une conséquence remarquable. Le débit total à travers le tuyau est proportionnel à la puissance quatrième du rayon du tuyau. Doublez le rayon et vous obtenez seize fois le débit. C'est la loi de Hagen-Poiseuille, et elle explique pourquoi même un léger rétrécissement artériel peut réduire drastiquement le flux sanguin.

Hypothèses : L'écoulement de Poiseuille suppose que le fluide est incompressible et newtonien (viscosité constante), que l'écoulement est stationnaire et pleinement développé (pas encore en phase d'accélération depuis l'entrée), et que l'écoulement est laminaire — lisse et ordonné. En pratique, l'écoulement en conduite transite vers la turbulence à un nombre de Reynolds d'environ 2 300. Ce nombre est une observation empirique, et non quelque chose de dérivé de la théorie.

Considérons un écoulement stationnaire, pleinement développé et à symétrie axiale dans une conduite circulaire de rayon $R$, entraîné par un gradient de pression uniforme $dp/dx < 0$ dans la direction axiale $x$. En coordonnées cylindriques $(r, \theta, x)$, le champ de vitesse a la forme $u = (0,\, 0,\, u(r))$.

La condition d'incompressibilité $\nabla \cdot u = 0$ est satisfaite automatiquement. Le terme d'advection s'annule car $u$ ne dépend pas de $x$. L'équation de quantité de mouvement axiale se réduit à

$$0 = -\frac{dp}{dx} + \mu\left(\frac{d^2 u}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{du}{dr}\right),$$

ou de manière équivalente

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}.$$

Puisque $dp/dx$ est constant, il s'agit d'une EDO en $r$. En intégrant deux fois avec les conditions aux limites $u(R) = 0$ (non-glissement) et $du/dr|_{r=0} = 0$ (symétrie), on obtient le profil de vitesse parabolique :

$$u(r) = \frac{1}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)(R^2 - r^2).$$

La vitesse maximale au centre est $u_{\max} = \frac{R^2}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)$, et la vitesse moyenne est $\bar{u} = u_{\max}/2$.

L'intégration sur la section donne la loi de Hagen-Poiseuille pour le débit volumique :

$$Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8 \mu L},$$

où $\Delta p > 0$ est la chute de pression sur la longueur $L$ de la conduite.

La dépendance en $R^4$ est un trait définitoire : de petites variations du rayon produisent de grandes variations du débit. En hémodynamique, cela explique la sensibilité du flux sanguin à la sténose artérielle.

Validité : Cette solution s'applique à un écoulement incompressible, newtonien, stationnaire, pleinement développé et laminaire. La transition vers la turbulence se produit expérimentalement à $\text{Re} = \bar{u} D / \nu \approx 2{,}300$, où $D = 2R$ est le diamètre de la conduite. Ce seuil est une observation empirique — il n'existe pas de théorème le prédisant à partir des équations de Navier-Stokes. Pour une discussion du nombre de Reynolds et de la transition laminaire-turbulent, voir Nombre de Reynolds, turbulence et importance des petites échelles.

L'écoulement de Couette est la solution exacte pour un fluide emprisonné entre deux plaques parallèles lorsque l'une des plaques se déplace et l'autre reste immobile.

Imaginez un jeu de cartes posé à plat sur une table. Si vous tirez la carte du dessus latéralement, les cartes en dessous glissent aussi — chacune un peu moins que celle au-dessus. La vitesse varie linéairement de zéro en bas à la vitesse de la plaque supérieure.

C'est l'écoulement de Couette simple : un profil de vitesse linéaire. Le fluide à la plaque inférieure est immobile, le fluide à la plaque supérieure se déplace avec la plaque, et tout ce qui se trouve entre les deux interpole linéairement. Aucun gradient de pression n'est nécessaire — le mouvement est entraîné uniquement par la condition aux limites mobile.

Si l'on applique également un gradient de pression le long du canal, on obtient une combinaison d'écoulement entraîné par le cisaillement et par la pression. Le profil de vitesse devient une parabole superposée au profil linéaire. Cet écoulement combiné est parfois appelé écoulement plan de Poiseuille-Couette.

Le cas purement entraîné par la pression — les deux plaques immobiles, l'écoulement entraîné par une différence de pression — est l'écoulement plan de Poiseuille, l'analogue en plaques planes de l'écoulement en conduite. Le profil est parabolique, maximal au milieu, nul aux deux parois.

Considérons un écoulement stationnaire entre deux plaques parallèles infinies séparées par un intervalle $h$. Soit $y$ la coordonnée perpendiculaire aux plaques, avec la plaque inférieure en $y = 0$ et la plaque supérieure en $y = h$. L'écoulement est parallèle : $u = (u(y),\, 0,\, 0)$.

Écoulement de Couette simple. La plaque supérieure se déplace à la vitesse $U$ dans la direction $x$ ; la plaque inférieure est immobile ; $dp/dx = 0$. L'équation de quantité de mouvement se réduit à $d^2u/dy^2 = 0$, ce qui donne

$$u(y) = U\frac{y}{h}.$$

C'est la solution exacte non triviale la plus simple des équations de Navier-Stokes : un profil de vitesse linéaire entraîné uniquement par la condition aux limites.

Écoulement plan de Poiseuille. Les deux plaques sont immobiles ; un gradient de pression constant $dp/dx < 0$ entraîne l'écoulement. L'équation de quantité de mouvement devient

$$\mu \frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{dp}{dx},$$

avec $u(0) = u(h) = 0$. La solution est

$$u(y) = \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)y(h - y),$$

un profil parabolique symétrique par rapport à la ligne médiane $y = h/2$.

Écoulement général de Couette-Poiseuille. La combinaison d'une plaque supérieure mobile et d'un gradient de pression donne la superposition

$$u(y) = U\frac{y}{h} + \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right)y(h - y).$$

Le premier terme est la contribution du cisaillement ; le second est la contribution de la pression. Selon le signe et l'amplitude de $dp/dx$ par rapport à $\mu U / h^2$, le profil peut être monotone, présenter un maximum intérieur ou même exhiber un écoulement de retour près d'une paroi.

Les écoulements de Poiseuille et de Couette sont stationnaires — rien ne change au cours du temps. Les problèmes de Stokes sont les solutions exactes instationnaires les plus simples, et ils révèlent quelque chose de fondamental : la viscosité fait diffuser la quantité de mouvement à travers un fluide, exactement comme la chaleur diffuse à travers un solide.

Premier problème de Stokes (aussi appelé problème de Rayleigh) : imaginez un vaste bassin de fluide au repos au-dessus d'une plaque plane. À l'instant zéro, la plaque commence soudainement à glisser latéralement à vitesse constante. Le fluide juste à côté de la plaque est entraîné immédiatement, mais le fluide plus éloigné met du temps à le remarquer. Une couche limite lisse croît vers l'extérieur depuis la plaque, s'épaississant au cours du temps.

La vitesse à toute hauteur au-dessus de la plaque dépend du rapport entre cette hauteur et une longueur de diffusion caractéristique $\sqrt{\nu t}$, où $\nu$ est la viscosité et $t$ le temps écoulé. Plus le fluide est visqueux, plus rapidement le mouvement se propage vers le haut.

Second problème de Stokes : la même configuration, mais cette fois la plaque oscille sinusoïdalement au lieu de se déplacer à vitesse constante. L'oscillation ne pénètre qu'à une distance finie dans le fluide — plus haut, le fluide la remarque à peine. L'amplitude du mouvement décroît exponentiellement avec la hauteur, créant une mince couche limite oscillatoire. C'est pourquoi remuer la surface d'un bassin profond ne perturbe qu'une région peu profonde près du sommet.

Les deux problèmes de Stokes concernent un fluide semi-infini ($y > 0$) au-dessus d'une plaque plane en $y = 0$. L'écoulement est parallèle : $u = (u(y,t),\, 0,\, 0)$. Le terme d'advection s'annule, et l'équation gouvernante est l'équation de diffusion unidimensionnelle :

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.$$

Premier problème de Stokes (problème de Rayleigh). Condition initiale : $u(y,0) = 0$ pour $y > 0$. Condition aux limites : $u(0,t) = U$ pour $t > 0$. Condition en champ lointain : $u \to 0$ lorsque $y \to \infty$.

La variable de similitude $\eta = y / (2\sqrt{\nu t})$ réduit l'EDP à une EDO. La solution est

$$u(y,t) = U\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{y}{2\sqrt{\nu t}}\right),$$

où $\operatorname{erfc}$ est la fonction d'erreur complémentaire. L'épaisseur de la couche limite croît comme $\delta \sim \sqrt{\nu t}$, caractéristique de la diffusion.

Second problème de Stokes. La plaque oscille : $u(0,t) = U\cos(\omega t)$. En cherchant une solution de la forme $u(y,t) = \operatorname{Re}[\hat{u}(y)\, e^{i\omega t}]$, on obtient

$$\hat{u}(y) = U\exp\!\left(-(1+i)\frac{y}{\delta_s}\right), \qquad \delta_s = \sqrt{\frac{2\nu}{\omega}},$$

de sorte que

$$u(y,t) = U\exp\!\left(-\frac{y}{\delta_s}\right)\cos\!\left(\omega t - \frac{y}{\delta_s}\right).$$

L'amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur de pénétration $\delta_s$, et la phase retarde linéairement — une onde transversale dont l'énergie est entièrement dissipée par la viscosité. Les fréquences plus élevées pénètrent moins profondément.

Les écoulements de Poiseuille, de Couette et de Stokes sont les plus célèbres, mais ce ne sont pas les seules solutions exactes. Quelques autres apparaissent fréquemment dans la littérature :

• Tourbillon de Taylor-Green — un motif décroissant de tourbillons en deux dimensions. C'est une solution exacte célèbre possédant une véritable structure tourbillonnaire, et elle est largement utilisée comme référence pour tester les codes de mécanique des fluides numérique.
• Écoulement de Jeffery-Hamel — écoulement dans un canal en forme de coin qui converge ou diverge. La solution capture la façon dont un fluide accélère en entrant dans un passage qui se rétrécit ou décélère dans un passage qui s'élargit.
• Écoulement de stagnation de Hiemenz — un fluide heurtant frontalement une paroi plane. L'écoulement ralentit jusqu'à s'annuler à la paroi et dévie latéralement, modélisant ce qui se passe lorsque le vent frappe la façade d'un bâtiment ou qu'un jet heurte une surface.

Chacune de ces solutions exploite une symétrie géométrique spécifique pour rendre les équations traitables. Elles sont importantes dans des contextes spécialisés, mais les écoulements de Poiseuille et de Couette demeurent les outils de base de l'initiation à la mécanique des fluides.

Au-delà des écoulements parallèles, plusieurs autres familles de solutions exactes exploitent des symétries spécifiques ou des structures auto-similaires :

• Tourbillon de Taylor-Green. En 2D, $u = (A\cos(ax)\sin(by),\, -B\sin(ax)\cos(by))$ avec $aA = bB$ (incompressibilité) et décroissance temporelle exponentielle $e^{-\nu(a^2+b^2)t}$. C'est une solution exacte des équations de Navier-Stokes 2D complètes, incluant le terme non linéaire (qui s'avère être un gradient et est absorbé dans la pression). Elle sert de cas de validation standard pour les codes de simulation numérique directe.
• Écoulement de Jeffery-Hamel. Écoulement stationnaire, purement radial $u_r(r,\theta)$ dans un coin de demi-angle $\alpha$. La fonction de courant $\psi = \nu f(\theta)$ satisfait une EDO non linéaire du troisième ordre en $\theta$. Des solutions existent pour les canaux convergents et divergents, avec une riche structure de bifurcation aux nombres de Reynolds plus élevés.
• Écoulement de stagnation de Hiemenz. Une solution de similitude 2D pour un écoulement heurtant une paroi plane. La fonction de courant $\psi = \sqrt{a\nu}\, x\, f(\eta)$, $\eta = y\sqrt{a/\nu}$, réduit Navier-Stokes à l'EDO de Hiemenz : $f''' + ff'' - f'^2 + 1 = 0$ avec $f(0)=f'(0)=0$, $f'(\infty)=1$.

Si l'on peut résoudre exactement les équations de Navier-Stokes dans tous ces cas, pourquoi existe-t-il encore un problème ouvert à un million de dollars ?

Parce que chaque solution exacte repose sur une astuce particulière. La géométrie est choisie si soigneusement que la partie la plus difficile de l'équation — le terme non linéaire — soit s'annule entièrement, soit se réduit à quelque chose de maniable. L'écoulement en conduite est effectivement unidimensionnel. L'écoulement de Couette est une droite. Même le tourbillon de Taylor-Green cache sa non-linéarité dans la pression.

Le problème du prix du Millénaire porte sur des écoulements tridimensionnels généraux, sans symétrie particulière. Conditions initiales arbitraires, aucune géométrie simplificatrice, interaction non linéaire complète à toutes les échelles. Dans ce cadre, personne n'a prouvé que les solutions restent toujours lisses, et personne n'a prouvé le contraire.

Ces solutions exactes montrent que les équations admettent des solutions lisses explicites sous de fortes hypothèses de symétrie. La question ouverte est de savoir si elles fonctionnent toujours — ou si, dans toute la généralité de la turbulence tridimensionnelle, quelque chose peut tourner catastrophiquement mal.

Chaque solution exacte discutée ci-dessus atteint la traitabilité en éliminant ou en trivialisant le terme d'advection non linéaire $(u \cdot \nabla)u$. Dans les écoulements parallèles, il s'annule identiquement. Dans le tourbillon de Taylor-Green, c'est un gradient absorbé dans la pression. Dans les solutions de similitude, il se réduit via un changement de variables à un problème de dimension inférieure.

Le problème du prix du Millénaire de Clay concerne le problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes incompressibles 3D avec des données initiales lisses et à décroissance rapide arbitraires — précisément le régime où aucune de ces simplifications ne s'applique.

La question est de savoir si les solutions de

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u, \quad \nabla \cdot u = 0, \quad u(x,0)=u_0(x)$$

sur $\mathbb{R}^3$ restent dans $C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ pour tout temps, étant donné des données initiales lisses $u_0 \in C_c^\infty(\mathbb{R}^3)$. Les solutions exactes n'abordent pas cette question parce qu'elles vivent dans des sous-espaces de l'espace des solutions où la dynamique non linéaire complète ne s'engage jamais.

En résumé : les solutions exactes fournissent des solutions lisses explicites dans des régimes hautement symétriques. Le problème ouvert est de savoir si le caractère bien posé s'étend aux écoulements 3D sans restriction. Pour la formulation précise, voir Existence et régularité de Navier-Stokes.

Pour comprendre les équations elles-mêmes et la signification de chaque terme, commencez par Que sont les équations de Navier-Stokes ?

Pour voir comment ces équations sont construites à partir de principes fondamentaux, lisez Dérivation des équations de Navier-Stokes.

Pour comprendre quand les écoulements laminaires comme ceux de Poiseuille et de Couette se brisent en turbulence, lisez Nombre de Reynolds, turbulence et importance des petites échelles.

Pour comprendre la question à un million de dollars à laquelle les solutions exactes ne peuvent pas répondre, lisez Le problème du prix du Millénaire : existence et régularité.

Pages recommandées sur ce site :

• Que sont les équations de Navier-Stokes ? — le système gouvernant et ses termes
• Dérivation des équations de Navier-Stokes — du bilan de quantité de mouvement et de la loi constitutive newtonienne à l'EDP
• Nombre de Reynolds, turbulence et importance des petites échelles — la transition des régimes laminaires décrits ici vers l'écoulement pleinement turbulent
• Le problème du prix du Millénaire : existence et régularité — la formulation précise du problème ouvert que les solutions exactes ne résolvent pas