Le problème de Navier-Stokes est-il résolu ?

En 2026, le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes n'est pas résolu. Personne n'a prouvé que des solutions lisses existent toujours en trois dimensions, et personne n'a montré qu'elles peuvent s'effondrer. Le prix du Millénaire de Clay — 1 million de dollars — n'a pas été réclamé.

Les équations elles-mêmes ne sont pas en question. Les ingénieurs et scientifiques utilisent Navier-Stokes tous les jours pour concevoir des avions, prévoir la météo et modéliser la circulation sanguine. Les simulations fonctionnent. Ce qui n'est pas résolu est une question mathématique : peut-on prouver que les équations produisent toujours des solutions bien comportées, ou pourraient-elles prédire quelque chose d'impossible — comme une vitesse infinie en un point ?

En 2026, le prix du Millénaire de Clay pour l'existence et la régularité de Navier-Stokes reste ouvert. Ni la régularité globale ni l'explosion en temps fini n'ont été établies pour les équations de Navier-Stokes 3D incompressibles.

Précisément : étant données des données initiales lisses, à divergence nulle $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ avec décroissance appropriée (ou sur $\mathbb{T}^3$), on ne sait pas si une solution lisse unique $(u, p)$ existe pour tout $t \geq 0$ avec $u \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0, \infty))$. Aucun contre-exemple n'a été construit.

Le problème n'est pas dans l'obscurité totale — les mathématiciens ont réalisé des progrès profonds au cours du siècle dernier :

• Les solutions faibles existent (Leray, 1934). Si l'on assouplit l'exigence que les solutions soient parfaitement lisses, l'existence de solutions globales peut être démontrée. Ces « solutions faibles » peuvent avoir des aspérités, mais elles n'explosent pas.
• Le cas 2D est résolu (Ladyzhenskaya, 1969). En deux dimensions, les solutions lisses existent pour tout temps. La difficulté est propre à la 3D.
• Les singularités sont rares (Caffarelli-Kohn-Nirenberg, 1982). Même si des singularités existent en 3D, elles sont confinées dans un ensemble de mesure unidimensionnelle nulle — un ensemble si mince qu'il n'a pas de longueur.
• Les solutions de courte durée existent. Pour toute donnée initiale lisse, une solution lisse unique existe pendant au moins un court intervalle de temps. La question est de savoir si elle peut toujours être prolongée indéfiniment.

Ainsi l'écart est étroit mais profond : nous savons que les solutions démarrent lisses et que les solutions faibles persistent globalement. Ce que nous ne pouvons pas prouver, c'est que la régularité est préservée pour tout temps en 3D.

Résultats clés établis :

• Leray (1934) : Existence globale de solutions faibles (distributionnelles) satisfaisant l'inégalité d'énergie $\|u(t)\|_{L^2}^2 + 2\nu \int_0^t \|\nabla u(s)\|_{L^2}^2 \, ds \leq \|u_0\|_{L^2}^2$. L'unicité des solutions de Leray-Hopf reste ouverte.
• Ladyzhenskaya (1969) : Régularité globale pour Navier-Stokes 2D incompressible — des données lisses produisent une solution globale lisse unique.
• Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1982) : Régularité partielle pour les solutions faibles convenables — l'ensemble singulier a une mesure de Hausdorff parabolique unidimensionnelle nulle : $\mathcal{P}^1(S) = 0$.
• Existence et unicité locale : Pour $u_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$ avec $s > 3/2$, une solution lisse unique existe sur un intervalle $[0, T^*)$. L'existence et unicité locale vaut aussi dans l'espace critique $\dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}^3)$ (Fujita-Kato, 1964), s'étendant à des espaces critiques strictement plus grands incluant $BMO^{-1}$ (Koch-Tataru, 2001). Le problème de régularité demande si $T^* = \infty$.

L'écart : l'existence globale de solutions faibles est connue. L'existence et l'unicité locales de solutions fortes sont connues. La régularité globale — si la solution forte peut toujours être prolongée — est la question ouverte.

Tous les un ou deux ans, un preprint apparaît revendiquant la résolution du problème de Navier-Stokes. Le schéma est remarquablement constant : un enthousiasme initial, suivi d'un examen par les experts, suivi de l'identification d'une lacune ou d'une erreur. Aucun n'a survécu à l'évaluation par les pairs à ce jour.

Une partie de la confusion vient du mélange de différentes significations de « résolu » :

• « Nous pouvons simuler les fluides sur ordinateur » — vrai, mais la simulation numérique n'est pas une preuve mathématique. Les simulations discrétisent l'espace et le temps ; la question porte sur les équations continues.
• « Les ingénieurs utilisent ces équations avec succès » — également vrai, mais le succès pratique ne résout pas la question de savoir si les équations sont internement cohérentes dans tous les cas.
• « Le problème 2D est résolu » — correct, mais le problème 3D est fondamentalement différent. Le mécanisme qui fait fonctionner la 2D (l'absence d'étirement des vortex, qui maintient la vorticité bornée globalement) ne s'applique pas en 3D.

Des preuves revendiquées apparaissent régulièrement. Les modes d'échec courants comprennent :

• Estimations a priori incorrectes : supposer le contrôle d'une norme critique ou supercritique qui n'a pas été réellement établie.
• Confusion entre solutions faibles et fortes : prouver des propriétés des solutions de Leray-Hopf qui nécessiteraient la régularité revendiquée.
• Erreurs d'analyse dimensionnelle : des arguments qui se referment en 2D (où l'enstrophie donne le contrôle $H^1$ et les injections de Sobolev sous-critiques suffisent) mais échouent en 3D où les mêmes injections ne contrôlent plus la non-linéarité.
• Raisonnement circulaire dans les arguments de bootstrap : l'hypothèse de bootstrap suppose implicitement ce que l'on cherche à prouver.

La nature supercritique du problème 3D signifie que les techniques standard (estimations d'énergie, arguments de type Gronwall) fournissent un contrôle insuffisant. Le problème 3D est supercritique par rapport à la norme d'énergie naturelle, de sorte que la machinerie parabolique standard ne fournit pas d'argument de clôture.

Une résolution valide du problème de Clay doit accomplir l'une des deux choses suivantes :

1. Prouver la régularité globale : montrer que pour toute condition initiale lisse, la solution reste lisse pour toujours. Cela signifierait que les équations ne prédisent jamais rien de non physique — pas de vitesses infinies, pas d'effondrements.
2. Construire une explosion : trouver des conditions initiales lisses spécifiques où la solution développe une singularité en temps fini. Cela signifierait que les équations ont une limitation fondamentale — elles finissent par prédire quelque chose d'impossible.

L'un ou l'autre résultat serait un jalon. La régularité globale validerait les équations comme un modèle complet du mouvement des fluides. Une explosion nous forcerait à repenser ce qui se passe aux échelles extrêmes — et pourrait révéler de la physique nouvelle.

Selon la formulation de Clay par Fefferman, une résolution valide nécessite l'une des deux options :

1. (A) Existence et régularité : Pour tout $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ avec $\nabla \cdot u_0 = 0$ et $|\partial_x^\alpha u_0(x)| \leq C_{\alpha K} (1 + |x|)^{-K}$ pour tout $\alpha, K$, prouver l'existence de $(u, p) \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ satisfaisant les équations, avec $\int_{\mathbb{R}^3} |u(x,t)|^2 \, dx < C$ pour tout $t \geq 0$.
2. (B) Effondrement : Exhiber $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ (à divergence nulle, avec décroissance appropriée) et $f \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ tels qu'aucun $(u,p) \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty))$ ne satisfasse les équations.

Des formulations analogues sur $\mathbb{T}^3$ sont également acceptées. L'énoncé complet de Fefferman inclut des cas séparés avec et sans forçage extérieur ($f = 0$ et $f \neq 0$) ; ce qui précède distille les alternatives essentielles.

• 1822 — Navier dérive les équations à partir de considérations moléculaires
• 1845 — Stokes leur donne leur forme mathématique moderne
• 1934 — Leray prouve que les solutions faibles existent globalement
• 1969 — Ladyzhenskaya résout complètement le cas 2D
• 1982 — Caffarelli, Kohn et Nirenberg prouvent la régularité partielle : les singularités, si elles existent, sont extrêmement rares
• 1984 — Beale, Kato et Majda montrent que la seule voie vers l'explosion pour les équations d'Euler 3D passe par une vorticité non bornée (le critère s'étend à Navier-Stokes)
• 2000 — L'Institut Clay le désigne comme problème du prix du Millénaire
• 2014 — Tao construit une explosion pour une version moyennée des équations (preprint ; publié en 2016), montrant qu'il n'y a pas d'obstruction purement structurelle à la formation de singularités
• 2026 — Le problème reste ouvert

• 1822 — Navier : équations dérivées via un modèle de contrainte moléculaire
• 1845 — Stokes : dérivation rigoureuse en milieu continu
• 1934 — Leray : existence globale de solutions faibles dans $L^2$ ; introduction du projecteur de Leray et de l'inégalité d'énergie
• 1951 — Hopf : extension de la construction de Leray aux domaines bornés (solutions faibles de Leray-Hopf)
• 1962 — Serrin : régularité conditionnelle — lisse si $u \in L^p_t L^q_x$ avec $2/p + 3/q < 1$ (le cas limite $= 1$ complété plus tard par Fabes-Jones-Rivière et d'autres)
• 1969 — Ladyzhenskaya : régularité globale en 2D ; l'enstrophie $\|\omega\|_{L^2}^2$ est contrôlée
• 1982 — Caffarelli-Kohn-Nirenberg : régularité partielle via estimations d'énergie mises à l'échelle ; $\mathcal{P}^1(S) = 0$
• 1984 — Beale-Kato-Majda : critère d'explosion pour Euler 3D — $T^*$ est fini ssi $\int_0^{T^*} \|\omega(s)\|_{L^\infty} \, ds = \infty$ (s'étend à Navier-Stokes)
• 2000 — Désignation comme problème du Millénaire de Clay (formulation de Fefferman)
• 2014 — Tao : explosion en temps fini pour une équation de Navier-Stokes moyennée (preprint ; publié JAMS 2016), démontrant qu'aucun argument purement conservant la structure ne peut exclure les singularités
• 2026 — Ouvert

Cet article fait partie de Le Problème.

Maintenant que vous connaissez l'état des lieux, explorez les questions plus profondes : pourquoi le problème est-il si difficile ?, quels sont les sous-problèmes clés sur lesquels travaillent les mathématiciens, et quelles approches ils ont essayées.

Pour l'énoncé formel de Clay, voir la page du Problème du Millénaire. Pour comprendre quelle version des équations ce problème concerne, voir Incompressible vs. compressible.

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Pour la formulation précise de Clay et les conditions du prix, voir Le problème du Millénaire. Pour les obstacles mathématiques, voir Pourquoi c'est difficile. Pour le panorama des résultats partiels et des stratégies, voir Sous-problèmes et Approches. Pour quelle version des équations le problème de Clay étudie, voir Incompressible vs. compressible.